Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование под ред. Г.А.Тимофеева, Н.В.Умнова 2012г (Тимофеев Г.А., Умнов Н.В. - Курсовое проектирование), страница 6

Относительное положение звена, длина которого равна нулю, т. е. точки, определяется положением вращательной пары звена относительно неподвижной точки направляющей. Функции положения звеньев проще определять графическим построением кинематической схемы механизма для нескольких заданных положений криво- шипа (обычно 12 или 24), что позволяет проверить правильность определения параметров при кинематическом синтезе механизма. Функцию положения ведомого звена находят графическими или аналитическими методами в тех случаях, когда характеристика внешней технологической силы задана как функция перемещения выходного звена и для динамических расчетов обычно требуется определить ее зависимость от положения начального звена.

Чтобы определить параметры динамической модели (приведенные моменты и массы), требуется найти передаточные функции (аналоги скоростей), расчет которых проводят на этапе кинематического анализа. 2.1.2. Кинематические передаточные функции Для плоского механизма с одной степенью свободы, 6' = 1, кинематические передаточные функции (аналоги) являются геометрическими характеристиками преобразования движения входного звена в движение других звеньев механизма. Они зависят от структуры механизма, размеров его звеньев и от обобщенной координаты — угла <р„ поворота начального звена. Для определения кинематических передаточных функций необходимо знать положения звеньев и точек, которые, в свою очередь, зависят от положения начального звена.

Для любого у-го звена и любой выбранной точки М какого-либо звена в общем случае можно записать: (2.1) (2.2) где У вЂ” Угол повоРота 1'-го звена; гм — РадиУс- вектор точки М в выбранной системе координат; <р„— угол поворота начального звена. Первые производные величин у и гм по обобщенной координате ср называют аналогами скорости (кинематические передаточные функции); вторые производные величин ср и гм по обобщенной координате <р — аналогами ускорения. Аналог угловой скорости 1-го звена езду — — йрэ/йр = иу„, где ив — отношение угловой скорости 1-го звена к угловой скорости начального. Аналог скорости точки М Аналог углового ускорения у-го звена г12<р (фр2 фю (~фр Аналог ускорения точки М а м =г12гм(Др2 Здесь в отличие от обычных скоростей и ускорений к обозначениям аналогов скоростей и ускорений добавлен индекс «д» (от лат.

диая' — как бы, почти). Аналоги угловой скорости и углового ускорения — безразмерные величины, аналоги скорости и ускорения — имеют размерность длины. При выборе в качестве обобщенной другой координаты, не являющейся углом, размерности аналогов изменяются — в этом случае их следует поделить на размерность новой обобщенной координаты. В любом случае аналоги являются относительными величинами. Аналоги скорости и ускорения численно равны скоростям и ускорениям при движении начального звена с постоянной угловой скоростью: ю„= +1 и в„= О.

Чтобы их определить, можно, например, построить для рассматриваемого положения механизма план скоростей и ускорений при ю„ = +1 и е„= О. Аналоги скоростей можно также определить графическими методами из плана возможньп скоростей, построенного без масштаба, для произвольной угловой скорости начального звена. Так, на рис. 2.2, б для кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.2, а) построен план возможных скоростей.

При этом длина отрезка Р,Ь, мм, известна или может быть измерена, тогда модуль аналога скорости точки С гс "с гяс = — = юп вЯ где 1~ — длина кривошипа АВ, м; Р,с и Р„Ь вЂ” отрезки, изображающие скорости гс и 1в, мм. 16 Рис. 2.2 Рис. 2.3 (2.4) (2.5) гс= гв+! вша = Ув/1. (2.7) 17 Аналитические расчетные формулы для аналогов можно получить методом замкнутых векторных контуров Зиновьева.

Согласно этому методу связи в механизме, определяемые характером кинематических пар и размерами звеньев, выражаются в форме условий замкнутости векторных контуров, построенных на базе кинематической схемы механизма. В скалярной форме соответствующие зависимости получают, проецируя векторные контуры на оси координат. Число независимых замкнутых контуров определяют по формуле Гохмана, /с = и — р„„, (и — число подвижных звеньев; р„„, — число низших пар).

При построении контуров механизмов можно также руководствоваться следующим простым правилом: четырехзвенный механизм имеет один замкнутый векторный юнтур, шестизвенный — два. При этом все звенья механизма должны входить хотя бы в один замкнутый векторный контур. Если механизм имеет несколько векторных контуров, анализ начинают с контура, включающего начальное звено, и результаты анализа этого контура используют при анализе последующих контуров.

Например, исследование кривошипно-ползунного механизма (см. рис. 2.2, а) сводится к анализу одного контура АВСА, состоящего из входного звена 1, звеньев 2, 3 и стойки 4. В векторном контуре АВСА (рис. 2.3, а) радиус- вектор гв — — АВ направлен вдоль входного (начального) звена 1, начало и конец радиус-вектора совпадает с вращательными парами А и В, а угол <р1 его наклона к оси абсцисс х выбран в качестве обобщенной юординаты.

Радиус-вектор гв считается известным, поскольку известны его модуль (длина 1~в кривошипа АВ) и координаты (угол ~р~ поворота кривошипа). Направление отсчета углов совпадает с направлением ш1 вращения входного звена механизма. В этом случае входное звено вращается лро- тив хода часовой стрелки, т. е. в положительном направлении (за положительное направление отсчета в механике принято вращение звена против хода часовой стрелки).

Проекции радиус-вектора гв на оси координат х и у равны: хв = "в соз фп ув= гв яп (рп (2.3) Если в механизме кривошип вращается по ходу часовой стрелки, координаты точки В определяют по формулам (2.3). При этом угол <р1 отсчитывается в положительном направлении. Дифференцируя выражение (2.3) по обобщенной координате <рп находят координаты точки В: гдов = Ув гдгв = хв пдхв хв пдрв ув Уравнение замкнутого векторного контура АВСА (см. рнс. 2.3, а) имеет вид Углы наклона векторов контура, кроме уже рассмотренного радиус-вектора гв, всегда отсчитываются по правилам задания координат векторов— от положительного направления оси абсцисс до положительного направления соответствующего вектора против хода часовой стрелки. Проецируя радиус-векторы гс и гв (2.5) на оси координат, находят координаты точки С: хс — — хв + 1соз <Рз, Ус = Ув + 1з1п 92 —— О.

(2.6) Из второго уравнения (2.6) следует, что Анализ схемы механизма показывает, что угол <рз в выражении (2.7) изменяется в диапазоне значе- ний 0 < «рг < и, поэтому его можно вычислить по формуле соз«рг — — 1 — з(п «рг. г 0 = у В + 1соз «рг ю г, 0 = ачув — 1(з!п«Р2 Ог~~г — соз «Рг вчг), из которых находят передаточные функции учув 1з!и «рг ш «2 адув 2 ю =-, в 2=- .

(2.8) 1соз«рг 1соз«рг Аналоги скорости ччс и ускорения ачс точки С звена 3 соответствуют первой и второй производным функции хс(«р): Учс «дхв 1з«п«Р2 'шу2 (2.9) ц,с = а в 1(соз«рг ' щ„г +з!п«рг 'ечг). 2 Если на звеньях механизма есть еше и другие точки, координаты, скорость и ускорение которых представляют интерес, то их кинематические параметры находят после определения всех кинематических параметров векторов, входящих в замкнутый контур.

Так, радиус-вектор гв, определяющий положение центра масс Вг звена 2 (см. рис. 2.3, б), г, =гв+б, 2 а его проекции на оси координат хв —— хв+ «усов «рг, ув — ув+ «узун«рг, (2.10) Дифференцируя уравнения (2.10) дважды, находят проекции аналогов скорости и ускорения ТОЧКИ Яг'. учх52 у~ухВ «1з!и «рг ' шу2 Удувг = Уч«в + «(с0$ «!Уг ' шаг, (2. 11) Ц,вг =ачхв «У(соз«Рг'Озчг+з)"«Рг'адг) 2 (2.12) очаг а«уув «1(з!п«Р2 'пзбг соз«!22.вчг). Соотношения (2.10) — (2.12) справедливы при направлении отсчета угла «рг от положительного направления оси х до положительного направления вектора ВС против хода часовой стрелки. Положение центра масс Вз звена 3 в системе координат хлу определяется координатой хс и может быть найдено из первого уравнения системы (2.6). Чтобы вычислить аналоги угловой скорости «О 2 —— =иг! и Углового УскоРениЯ в 2 звена 2, дважды дифференцируют второе уравнение системы (2.6) и получают следующие соотношения: Кинематический анализ, как правило, ограничивают определением функций положения звеньев и аналогов скоростей (угловых и линейных).

Кинематические параметры обычно вычисляют не для всех звеньев и точек механизма, а только для тех, которые необходимы для расчета динамических параметров, т. е. для тех, с которыми так или иначе связаны приложенные к механизму внешние силы. При этом руководствуются изложенными ниже соображениями. ! . Функции положения вычисляют только для тех звеньев и точек, к которым приложены силы, зависящие от положения этого звена или точки. 2. Для звена, у которого задана масса, вычисляют аналог скорости его центра масс (по соображениям, которые станут понятными далее, можно ограничиться вычислением только нроек«уии аналога на ось у). 3.

Для звена, у которого задан или может быть вычислен момент инерции, определяют аналог угловой скорости этого звена. 4. Для звена, к которому приложен внешний момент, также вычисляют аналог угловой скорости. 5. Для всех точек приложения внешних сил вычисляют аналоги линейной скорости точек их приложения. Если сила приложена к точке звена, входящего в поступательную пару, и ориентирована вдоль направляющей этой пары, то рекомендуется вычислять проекцию аналога на эту направляюшую, например, в случае расположения направляюшей вдоль осей координат.

Однако при наклонном расположении направляющих (например, у Ъ'-образного двигателя или компрессора) можно для каждой поступательной пары ввести дополнительно локальную систему координат, начало координат которой лежит на направляющей пары, а одна из осей ориентирована вдоль нее, и определять проекцию аналога на эту ось локальной системы, т. е. на проекцию аналога вдоль направляющей поступательной пары. Эта проекция будет иметь знак, определяемый знаком проекции аналога скорости на ось локальной системы координат. Очень важно, что впоследствии и знак силы, действующей на поступательную пару, также будет определяться в выбранной локальной системе координат.

Поскольку локальные системы координат выбирают произвольно, то можно ограничиться только положительным направлением вдоль направляюшей и определять знак проекции аналогов скорости и ускорения по совпадению или несовпадению проекций векторов аналогов на ось положительного направления поступательной пары с вектором положительного направления. Математически это можно оценить знаком скалярного произведения этих векторов. Еще раз подчеркнем, что знак силы также будет определяться знаком скалярного произведения векторов силы и вектора положительного направления поступательной пары. При вычислении приведенного момента от внешней силы необходимо определить знак проекции действительной скорости точки на направляющую поступательной пары, а не знак проекции аналога.