1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (Голубев Основыu), страница 2

Автор благодарен сотрудникам кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ Д.Е.Охоцимскому, В.В. Румянцеву, В,В. Белецкому, И.Л. Антонову, А.В. Карапетину, Предисловие к 2 изданию С.В.Болотину, Я.В.Татаринову и другим сотрудникам за полезные обсуждения и рекомендации по улучшению содержания книги.

Особую признательность автор выражает Е.В.Мелкумовой, внесшей значительный вклад в подготовку контрольных вопросов и именного указателя. Предисловие к первому изданию Теоретическая механика как наука начала развиваться в глубокой древности )45, 65]. Изучая такие фундаментальные свойства, как законы движения и равновесия материальных тел, она имеет огромное практическое значение и лежит в основе современного естествознания. Отвечая потребностям научно-технического прогресса, она постоянно развивается, совершенствуя существующие и разрабатывая новые методы исследований. Будучи тесно связанной со многими естественными науками (математика, теории относительности, квантовая механика, механика сплошной среды, электротехника, теория машин и механизмов и др.), теоретическая механика не только привносит в них свои результаты, но и заимствует от них новые знания, постановки задач, подходы к решению проблем.

Изложение основ теоретической механики возможно как с точки зрения пользователя, которому достаточно узнать некоторый фиксированный набор сведений (возможно, без обоснований) для практического их применения, так и с точки зрения исследователя, которому важен не только (и не столько) набор знаний, но и методы и техника получения результатов для дальнейшего развития теории и с целью проникновения в еще не изученные сферы ее приложения. Тот и другой подходы имеют право на существование. Первый часто используется в технических вузах, где курс теоретической механики служит лишь основой для специальности.

Второй подход больше практикуется для подготовки специалистов широкого профиля в области физики, математики, механики. Настоящая книга ориентирована на подготовку специалистов широкого профиля. Она основана на лекциях автора для студентов- механиков механико-математического факультета МГУ. Тем самым излагаемый материал адресован в первую очередь читателю, решившему профессионально заняться механикой и, следовательно, решившему глубоко разобраться в понятиях, идеях и методах атой науки. Теоретическая механика, развиваясь, достигла большой глубины и мастерства в исследовании многих весьма сложных проблем. Существует также значительное число математических дисциплин (теория оптимальных процессов, симплектическая геометрия, теория потенциала, теория линейчатых поверхностей, теория возмущений, теория устойчивости, теория дифференциальных уравнений и др.), проис- 10 Предисловие к 1 изданию хождение или развитие которых обязано теоретической механике и результаты которых вносят существенный вклад, в частности, в понимание ее задач.

Ограниченные рамки университетского курса (154 часа) не позволяют включить весь этот материал и заставляют ограничивать содержание курса наиболее фундаментальными знаниями с учетом, конечно, передовых направлений научных исследований. При этом полезно использовать факт взаимопроникновения методов и понятий теоретической механики и смежных наук, что будет способствовать не только пониманию их единства, но и позволит включить новые результаты. В частности, в книге с целью экономии места опущена теория устойчивости движения, традиционно включаемая в курсы теоретической механики [69]. В настоящее время эта теория переросла в самостоятельную математическую дисциплину [26], основы которой читаются в курсе дифференциальных уравнений [53]. Компактности изложения может способствовать выделение математически родственных понятий механики. Например, алгебраическая теория скользящих векторов полностью обслуживает как раздел кинематики, изучающий свойства угловых скоростей, так и все разделы геометрической статики.

Сравнительный анализ свойств углов Эйлера, параметров Кэли-Клейна и кватернионов позволяет существенно дополнить кинематику твердого тела, экономно распорядившись объемом соответствующего раздела [23]. Лаконичности способствует также сочетание алгебраического и геометрического стиля [31, 63] аналогично тому, как это применяется в дифференциальной геометрии [28]. Принятая в книге логическая схема изложения материала достаточно традиционна [4, 12, 15, 16, 29, 39, 40, 52, 68] и соответствует установившейся за много лет последовательности проведения практических занятий.

Курс начинается с раскрытия понятия аффинного точечно-векторного пространства как формальной аксиоматической основы построений теоретической механики. Строится теория преобразований системы скользящих векторов к простейшему виду. Вводится понятие центра масс и тензора инерции и развивается геометрия масс. Весь этот аппарат, помимо теоретической механики, может быть эффективно применен и в некоторых разделах математики [7, 50]. Чтобы подчеркнуть это, ему придана векторно-алгебраическая форма. Кинематика традиционно включает вопросы, связанные с изучением геометрических аспектов движения в трехмерном аффинном пространстве.

Структура поля скоростей и поля ускорений твердых тел анализируется с помощью аппарата дифференциальной геометрии и теории ортогональных операторов. Создается теоретическая основа для введения и расчета основных динамических характери- Предисловие к 1 изданию стик (кинетической энергии, кинетического момента, энергии ускорений), а также анализа структуры виртуальных перемещений. С целью облегчения практических приложений особое внимание уделено сопоставлению различных типов координат углового положения твердого тела [23, 28].

Для изучения поступательного движения твердого тела вводится понятие материальной точки [1]. Это позволяет сделать динамику материальной точки физически ощутимой, облегчает анализ упражнений и сопоставление с опытными данными аксиоматически вводимых принципа относительности Галилея, принципа детерминированности и законов Ньютона. Анализируются ограничения на форму законов механики и физики, следующие из принципов относительности и детерминированности [5, 67].

Ставятся основные задачи механики. Выявляются преимущества различных систем криволинейных координат для описания движения точки. Доказываются основные теоремы механики и сообщаются основные приемы, применяемые для исследования движения. Как основа качественного анализа поведения механических объектов подробно изучаются фазовые портреты осцилляторов. На их примере демонстрируется влияние потенциальных и диссипативных сил, а также резонансные явления различных типов [37]. Изучается динамика материальной точки, стесненной связями [6Ц. Столь подробное изучение движения материальной точки вызвано двумя обстоятельствами. Во-первых, построенная теория имеет большое самостоятельное значение, как теория широко распространенного на практике поступательного движения реальных тел.

Вовторых, методически она создает достаточно удобный каркас для построения статики и динамики системы материальных точек, а также доставляет ряд стандартов исследования задач механики. Аналитическая статика и динамика опираются на учение о связях. Вопрос о голономности связей имеет принципиальное значение для выбора того или иного математического аппарата исследования свойств движения и равновесия системы материальных точек. В книгу включены элементы теории пфаффовых форм в объеме, достаточном для получения критериев голономности системы связей [44, 59]. Для большей доступности это дополнение осуществлено обычными средствами математического анализа.

В итоге сформулирован простой конечный алгоритм, позволяющий выделить максимальное число голономных из заданной совокупности дифференциальных связей. За основу учения о равновесии принят, как наиболее общий, метод аналитической статики [68]. С его помощью выводятся другие известные методы. В частности, как следствие получена и сведена 12 Предисловие к 1 изданию к теории скользящих векторов геометрическая статика. Показана возможность ее применения для получения условий равновесия произвольных механических систем [61]. Динамика системы материальных точек сначала излагается для случая, когда движение стеснено произвольными дифференциальными связями.

Из принципа Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) с использованием свойств структуры виртуальных перемещений [68] выводятся общие теоремы динамики об изменении кинетической энергии (живой силы), кинетического момента [момента количеств движения), количества движения. Изучается динамика системы переменного состава [1]. На основе принципа Гаусса наименьшего принуждения выводятся уравнения Аппеля н квазикоординатах. Получены также уравнения Воронца и, как их следствие, уравнения Чаплыгина.

Установлено, что воздействие неголономных связей включает реакции, имеющие гироскопическую природу [44]. Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс.