Понтрягин Л.С. - Принцип максимума в оптимальном управлении - 2004, страница 4

+4. (8) (см. Р)). Если вектор в(т), заданный в точке х (т), перенести нз момента времени т в момент времени 1, (см. А) $4), то обозначим полученный в точке х(1,) вектор через !р(М) т. е положим р(М) =й(1,). Так что в конце отрезка времени 1, ! 1 ~ 1! мы имеем х" (1!) — х (1,) = е!р (М) + о (е). 5 7. Сложение вариаций Макшейиа Определим прежде всего сумму двух одночленных вариаций Макшейиа, описанных в предложении А). Н) Пусть М=М(т; и; еп е) (9) и (10) М'= М'(т', и'; о'; е) — две одночленных вариации Макшейна, описанные в предложении А). Если т т', то их сумму определим следующим образом: М (т; а; о; е) + М'(т; о', в', в) = М (т; о, о', о, е', в) (см, С)).

Если т' чь т, то сумму М + М' вариаций (9), (!О) определим как многочленную вариацию, получаю. щуюся в результате последовательного применения ва- риаций М н М' (см. Е)). Из формул (7), (8) следует, что «э(М)+ «р(М') =«р(М+ М'). 1) Определим сумму двух вариаций Макшейна, опи- санных в пункте С), М М(т; о,, пь ..., а,.; оь о„..., е,; е), при т' чь т, как последовательное применение этих двух вариаций. Если же т' = т, то сумму определим следую.

щим образом: М+ М'= М(т: о, о, о'„..., «т', о„..., о, о', ..., о', в) Тэк же, как в предложении Н), ясно, что «э(М+ М') =«р(М) + «р(М'). Заметим, что многочленная вариация Макшейна М (см, Е)) может быть представлена в виде суммы М=М,+ ... +М„ где М« — вариация, описанная в пункте С), .)) Определим теперь сумму двух многочленных ва- риаций Макшейна, описанных в предложении Е), Для этого прежде всего заметим. что можно считать встре- чающиеся в этих вариациях т одинаковыми, так как в каждую вариацию можно ввести дополнительное т, счи. тая, что соответствующие о = О. Пусть (11) (12) М М,+...+М„ М' =М;+ ... +М,' — две такие вариации, где М, и М', — вариации, описанные в пункте С).

Сумму этих двух вариация зададим формулой г м+м'- Е (м,+м',), (13) где первоначально суммируются вариации Макшейиа, оцисаниые в пункте С) с одинаковым т~ (см. 1)), а затем берется сумма всех парных сумм. Сумма парных сумм получается в результате последовательного применения каждой парной суммы и поэтому является многочлениой вариацией Макшейиа, Для каждой парной суммы имеет место формула (см.

1) ) Ф(ма+ Мю) Ф(МЮ) + Ф(М ). Для суммы же парных сумм (13) имеет место фор. мула (см. г)) / Г Ф ~Я (М, + М;)) 2„, Ф (М, + М',). Таким образом, для суммы двух многочленных вариаций )т1акшейна (11) и (12) получаем Ф (М + М') Ф (М) + Ф (М ). ДМ(т; о; о; в) М(т; З,о; о; в), Определим теперь умножение вариации Макшейна на действительное неотрицательное число. К) Для того чтобы умножить некоторую вариацию Мзкшейнз М иа действительное неотрицательное число й,в О, следует каждое число о, входящее в определение вариации Макшейна, умяожить иа Х. В результате этой операции мы получим новую вариацию Макшейна Таи, умножение одночлениой вариации Макшейна (см. А)) На Х описывается формулой а умножение на Л вариаций Макшейнв, описанных в предложении С), задается формулой ЛМ(т; о„..., о,; вь ..., о,; а) М(т; Лпь ..., Ла,~ в„..., в,; ° ). Аналогично определяется произведение многочлевной вариации Макшейна М на число Л. Далее, непосредственно видно, что если М есть вариация Макшейна, то р(лм) ьр(м), л>о.

Таким образом, отображение ф является линейным отображением при неотрицательных коэффициентах. И потому множество всех векторов ~р(М), где М вЂ” про. извольная многочленная вариация Макшейна, представ. ляет собой выпуклый конус с вершиной х((Д. $8. Расширение класса рассматриваемых вариаций Расширим класс рассматриваемых вариаций Макшейна, присоединив к ним еше один действительный параметр а, который может быть квк положительным, так и отрицательным. Новую вариацию управления и(т) мы обозначим У(М, а) в знак того, что она зависит от вариации Макшейна М и действительного числа а.

Применяя эту вариацию к заданному управлению и(Г) г„= ~ ( рь получим новое управление и" ((), которое будет задано не на отрезке 1а:6. :(( 1ь а иа новом отрезке ~о( ~ ~ ~1+за. На отрезке го я ~: г1 будем считать, что и'(1) получено из и(1) вариацией Макшейна М, а затем вблизи. ~ ~~ определено в зависимости от а. При положительном и управление и'(г) задано на голышем отрезке, чем исходное управление и(1), а при отрицательном а — на меньшем отрезке. При определении вариации У(М,а) надо внимательно различать случаи положительного и отрицательного а. При а ) О мы определим управление и'(() иа отрезке 8, (1аь, г, -(. + еа, положив и'(г) и(1,), т, (1~(1, +ет, так что иа этом отрезке времени управляемая величина х'(1) задается формулой «' О) = л' о,) + (( — г,) г (е (г,), и (г,)) + о (а). При а < О мы определим и'(1) на отрезке 11+ еа < < 1 < 1ь ПОЛОжиь и'(1)=и(1), а(О, 1, +еа(1(1ь Так что при 11+ еа ( 1 ( 1, имеем Ф х' (1) = х' (1,) + ~ 1 (х (1), и' (1)) ~11 = ь 1 -х'(1,)+ ~ ~(х'(1), «(1)) а= ь «'(1,)+(1 — 1,)1(х(1,), и(1,))+о(е).

Таким образом, при 1 = 11 + еа имеем »*(1, + еа) =» (1,)+ еа1(х(1,), и(1,))+ о(е) (как при положительном, так и отрицательном а). Итак, новое управление и'(1) определено на отрезке 1,(~1 1',=1, + еа, и мы имеем х (1~)=х (1~)+еа)(х(11), и(1))+о(в).

(!4) Определим теперь сумму двух вариаций У(Мь а,) и У(Мм ах), положив У (М „а,) + У (Мм а2) = У (М, + Мм а, + аа). Далее, определим умножение вариаций У(М,а) иа неотрицательное число Л:) О, положив ЛУ (М, а) = У(ЛМ, Ла). Определим, далее„линейное отображение у применительно к вариации У(М, а), положив ср(У(М, а))=~р(М)+ а1(х(1,), и(1,)). Здесь % (М) есть вектор, выходящий из точки х (1,) (см. О)), а ~(х(1,), и(1,)) мы будем рассматривать как вектор, также выходящий нз точки х(1,).

Таким образом, все векторы (р(У(М, а)) выходят пз точки х(1,) и совокупность их образует выпуклый конус С с вершиной в точке х(11) (см. К) 5 7). Если к управлению и (1) применяется вариация У(М, а), то первоначально применяется вариация М к 26 управлению и(!) на отрезке 1э < Г < Гь При этом (см. О) ) для соответствующих управляемык величин выполнено соотношение х" (~,) — х (1,) еу (М) + о (е). (15) Если, далее, в окрестности точки 1, применить вариацию, соответствующую числу а, то мы получим соотно. шение (14). Таким образом, применяя к управлению и(1) вариацию 1/(М,а) получим новое управление й(г), заданное на отрезке 1 ~(1 1, + еа Гп причем для управляемой величины х'(1) имеет место соотношение (14). Сопоставляя соотношения (15) и (14), получаем х (С;) — х(г~)=мр(У(М, а))+о(е).

(16) Перенесем теперь начало координат пространства Я"+~ в точку х(Г~). При этом ось, полученную перенесе- нием х', обозначим у'. Координатную гиперплоскость, в которой лежат оси у', ..., у", обозначим У". 1.) Оказывается, что если отрицательное направле- ние оси уэ проходит внутри конуса С, то взятое нами управление и(г) не оптимально. Для доказательства этого в гиперплоскости У" выбе- рем и-мериый симплекс Т" с вершинами аэ, аь ..., а„, с центром в начале координат. Оператор проектирова- ния в направлении оси р~ на гиперплоскость У" обозна- чим т. Параллельно переместим симплекс Т" в направ- лении отрицательной полуоси уэ иа некоторую величи- ну И. Тогда для достаточно большого Ь получим сим- I — И~ плекс Ти ~с вершинами Ь0 =( ), ..., Ь,=~ ), лежащими в конусе С.

причем а, к(Ь). Кроме того, все точки Ь| имеют ненулевую координату Ь| = — Ь. Пусть а — произвольная точка симплекса Т". Тогда точка а может быть записана в виде а и а ~ Л'ао Л')О, Х Л' 1, где У вЂ” барицеитрические координаты точки а (см. 1) $5). Точка а ав Т" является проекцией точки Ь=ЕЛ'Ь, из симплекса То. Лля каждой вершины Ь, выберем такую вариацию У (М,, а,), что Ьс = ср (У (Мс «с)). Тогда и с — Й а е<с'см,,о — ю(Е ж с ос„,>). с о с-о Таким образом, точке а поставлена в соответствие ва- риация л г л л У (М, а) = ~, ХсУ (Мо а,) = У ~ ~ )'М„Я Х'ас~.

с-о с-о с-о Конец траектории соответствуюшей вариации У(М, а) записывается в виде (см. (16)) х (сс) =х(1с)+ еЬ+ о(е). Тогда отображение 1 - о(е) 6,1а) — )((х (сс) х(сс)) — со+ Ро(сс) = н е)О, где а — произвольная точка симплекса Т", определено для малых неотрицательных а, непрерывно и б,(сз) — а равномерно стремится к нулю при е- О. Следовательно, при достаточно малых е среди точек вида (),(а) содержится начало координат пространства у" (см. Л) $5). Таким образом, найдется такая вариация У(М„ а.), что соответствуюшая траектория х (с) удовлетворяет условию Хсх'(Сс) — х(Сс)) = О. При этом разность х'о(С,)— — хо ((,) = — ей+ о (е) — отрицательная величина порядка е. Следовательно, функционал ь' для управляемой траектсрии х (1) с управлением и*(с) имеет меньшее значение, чем для управляемой величины х(с) с управлением и(1).