Понтрягин Л.С. - Принцип максимума в оптимальном управлении - 2004, страница 3

Конус С называется выпуклым, если он является выпуклым множеством. Если выпуклый конус С не совпадает со всем пространством Я", то его вершина о является граничной точкой выпуклого множества С. По доказанному ранее через иее можно провести опорную гиперплоскость Г к выпуклому конусу С. О) Конус С является выпуклым, если наряду с любыми двумя своими точками а, Ь он содержит точку а+ Ь. Действительно, если точки а, Ь входят в конус С, то лучи, ведушие в этн точки, также входят в конус и точки аа, (1 — а)Ь, 0(а(1, входят в С. Следовательно, наряду с двумя точками и и Ь в конус С входит точка па+(1 — а)Ь, 0 ( а ( 1. А это означает, что конус С является выпуклым множеством.

Н) Пусть С вЂ” выпуклый конус из пространства 5" ~' с вершиной о и 1 — некоторый луч, выходящий из вершины о конуса С и не проходящий во внутренности С. Тогда существует опорная гиперплоскость Г в точке о к конусу С такая, что луч 1 и конус С лежат по разные стороны от гнперплоскости Г. Для доказательства утверждения Н) рассмотрим разность С вЂ” 1 конуса С и луча 1, т. е.

множество точек вида а — Ь, где точка а принадлежит С, а точка Ь вЂ” лучу 1. Непосредственно видяо, что множество С вЂ” 1 — выпуклый конус с вершиной в начале координат. Далее, луч 1 не пересекается с внутренностью конуса С и, следовательно, начало координат не является внутренней точкой конуса С вЂ” 1, а лежит на его границе. Отсюда в силу предложения Е) получаем, что через начало координат можно провести гнперплоскость Г', опорную к конусу С вЂ” !. Тогда луч 1 и конус С лежат по разные стороны от гиперплоскостн Г, параллельной гиперпло.

скости Г' и проходящей через точку о. Опишем простейшее выпуклое множество — и-мерный симплекс. 1) Пусть хо, хс, ..., х„— и+ 1 точек евклидова про. страиства Я', г и. Предположим, что векторы х, — х„..., х„— хо линейно независимы. В каждую точку хс поместим груз Лс) О. Тогда центр тяжести х определяется формулой Лохо х — — ' о (8) с-о Предполагая, что Я Л'=1, с-о (9) формула (8) принимает вид я=Л х,. а (10) где Лс — уже необязательно неотрицательные числа, ио соотношение (9) сохраняется.

Для доказательства этого достаточно разрешить относительно Ло, Л', ..., Л" си- Совокупность всех точек вида (1О), где Ло, ..., Ло — неотрицательные числа, удовлетворяющие условию (9), иа. зывается симплексом. Из самого определения симплекса видно, что он представляет собой выпуклое множество. Числа Ло, ..., Л" называются барицентрическими коор. динатами точки х симплекса, который мы обозначим через Т". Точку симплекса, для которой все барицентрические координаты равны между собой, будем называть центром симплекса. Если одна из координат Лс равна нулю, то формула (1О) описывает и — 1-мерный симплекс, составляющий л — 1-мерную грань л-мерного симплекса Т".

Совокупность всех и — 1-мерных граней симплекса Т" будем называть границей симплекса Т". Если г = л, то каждую точку х = (х', ..., х") пространства Я" можно записать в виде х Лх, ГЛАВА 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 5 6. Вариации Макшейна Если величина принимает числовые значения, то малое ее изменение принято называть приращением. Аналогично малое изменение функции принято называть ее вариацией. Здесь мы будем заниматься вариациями управления и(1) (1с = 1( 1!). Обычно считается, что замена управления и(1) управлением и'(г) является вариацией„ если выполнено условие ( и' (1) — и (г) ! < э, ! ! ! ! ! ! ! ! где в — малое положительное число.

Макшейн предложил изменить и (1) не иа всем протяжении Ряс. 1 Го ( г ~ г! на малую ве- личину э, а на малом промежутке значений г на конечную величину. В этом его главное, на мой взгляд, нововведение. Дадим точное определение вариации Макшейна. А) Пусть т — некоторое значение 1, принадлежащее интервалу 1: гс(1 «-'1!, являющееся точкой непрерывности управления и(1), и о в некоторое неотрицательное число, в — малое положительное число. Изменим теперь !управление и(1) на отрезке У = У(т,' о; е): т — ео <1(~т, заменив функцию и(1) на этом отрезке некоторым постоянным значением о ~ 1) (см. $1А) ). Говорят, что так полученное управление и'(1) получается из и(1) при помощи одночленной вариации Макшейиа, которую обозначим через М(т; о; о; е) (рис.

1). Выясним теперь, как изменится управляемая величина »(1), определяемая уравнением » 1(», и(1)) при замене управления и(1) управлением и'(г) и при сохранении начального значения, т. е. при условии 1э Ъ х,(!э) = х(10), Именно, мы хотим сравнять значения х'(т) и х(т), т. е, сравнить обе управляемые величины, после прохождения отрезка 1. В) Оказывается, что х'(т) — х(т)=ео(!(х(т), и) — !(х(т), и(т)))+о(е). (1) Докажем соотношение ()).

Ясно, что % э=х (т) — х(т) ~ (К(х*(1), о) — 7(х(1), «(1)))сСС. (2) Далее, 1(х'(1), е) — К(х'(т), о) О(е), где д(е) стремится к нулю вместе с е. Аналогично при т — ао (1 = т и в силу непрерывности и(1) в точке ъ С(х(1), «(1)) — С(х(т), «(ч)) Ь(е). Таким образом, С(х (1), о) — С(х(С), «(1))= =Йх (т). и) — 7(х(т), и(тЫ+О(е). Следовательно, интеграл (2) может быть записан в виде ь (С(х' (1), о) — С(х(1), и (1))) сСС ю-ео = $ У(*'(т), в) — Т(х(т), «(т)))с(1+аоО(а). Т-60 19 Таким образом, ь = еа (сз(х' (т), и) — 7 (х (т), и (т))) + о (е).

(3) В силу формул (2) и (3) имеем х'(т> — х (т) = ео (! (х' Ст), о) — с (х (т), и (т))) + о (е). (4) Заменяя в первом члене правой части формулы (4) С(х [т), и) на 7(х(т), е), получим изменение правой части этого равенства на величину о(е). Таким образом, будем иметь ь = ео (~ (х (т), е) — ~ (х (т), и (тц) -)- о (е). Следовательно, х'(т) — х(т)=вам(х(т), а) — 1(х(т), и(т)))+о(е). (5) Эта последняя формула (5) дает ответ на вопрос, сфориулированный перед предложением В). Усложним несколько одиочлениую вариацию Макшейна (см. А)), изменив управление и(Г) не на одном отрезке времени У вблизи т, а на нескольких отрезках У„Уа, ..., У„близких к т.

С) На отрезке времени Го< 1( Г~ выберем момент времени т, Га ( т ( ~ь являющийся точкой непрерывности управления и(1), а затем з отрезков времени и Уь Ум... У, слева от момента времени т так, чтобы эти отрезки шли, при. ! мыкая друг к другу в иаправлении возрастания 3 времени, причем так, что! бы з-й отрезок заканчивался в моментвременит. 0 $ т гг г Длина отрезка Уь, й = Рис. 2 = 1, ..., з, равна еам где е — малое положительное число, а ах — неотрицательное число.

На отрезке У, управление и(У) заменим постоянным управлением оь ен ан й. Вне отрезков Уь ..., У, управление и(У) менять не будем. В результате этой операции получим новое управление и'(~). Будем говорить, что новое управление и*(У) получено из управления и(1) при помощи вариации Макшейна, которую обозначим через М(т; ао ..., а,г иь ..., а,; в) (6) (рис. 2). О) Сравним теперь управляемую величину х, заданную уравнением х=~(х, и(У)), с управляемой величиной х", определяемой уравнением х' =У(х', и'(1)), в момент времени т, т. е. после прохождения времени У через отрезки У,, Уь ..., У., где и'(1) получается из и(У) вариацией (6). 20 Так же, как в предложении В), доказывается формула х (т) — х(т) =в ~ ос(~(х(т), о,) — 7(х(т), и(т)))+ о(е).

(7) Е) Определим теперь многочленную вариацию Макшейна М как вариацию, полученную з результате последовательного применения конечного числа вариаций Рис. 3 Мь Мь ..., М,, где каждое М~ представляет собой вариацию, описанную в пункте С) с т = то при этом 10<т,<т~< ... <т,<1, — точки непрерывности управления и(Г) (рис. 3). г) Сравним управляемую величину х, заданную урав. некием х=1(х, и(г)), с управляемой величиной х, определяемой уравнением х = ~ (х', и* (~)), в момент времени т = т„ т. е. после прохождения вре. мени ) всея отрезков, на которых и (г) подвергалось изменению, где й(1) получается из и(1) многочленной вариацией Макшейиа М, описанной в пункте Е).

Пусть Мь Мь ..., М,— вариации Макшейна, описанные в пункте С), последовательное применение которых образует вариацию М. Для простоты изложения рассмотрим только случай г = 2. Обозначим через еа, + о(е) и 4т+ о (е) те приращения, которые получает управляемая величина х(г) в результате применения ва- риаций М, и М, в точках т, и т! соответственно (см. 0)). В результате последовательного грнменения вариаций Макшейна М, и М; управляемая величина получит в точке т =тг приращение (см. пункт .4) 5 4) еА„, Д! + еьг + о (е). С!) Если управление и(1) подвергается вариации Макшейна М (см. А), С), Е)), то мы получаем новое управление и*(1).

Если исходная управляемая величина х(1) задавалась управлением и(1), а новая управляемая величина х" (1) задается управлением и" (1), то в момент времени т, взятый после прохождения всех отрезков времени, на которых и(1) подверглось изменению, управляемые величины х(1) и х'(1) имеют, вообще говоря, разные значения. Именно, х (т) — х(т) = ев(т) + о(е). Если примененная вариация Макшейна была одночленной, то в(т) =о (1(х(т), о) — 1(х(т), и(т))) (см, В)). В случае вариации Макшейна, описанной в предложении С), вь(т) = Х о!(1 (х(т), т!!) — 1з(х(т), и(т))) ! ! (см. О!), В случае многочленной вариации Макшейна т=т, н 3(т)=А,, „$!+ А,, Дт+,.