Понтрягин Л.С. - Принцип максимума в оптимальном управлении - 2004

ББК 22.1я44 22.18 22.19 Поатрягии Лев Семеиовяч Пршшив максимума в оптимальном управлении. Изд. 2-е, стереоппгное. Мл Едиториат УРСС, 2004. — 64 с. 15ВХ 5 — 354 — 00817 — 4 Иэлагеоспю Еаиторггав УРСС . 117112, г. Москва, пр-г 60-лепи Окгабрв, 9.

Лилеээвв ИД Я405175 аг 25.06.2001 г. Полписэио к печати 07.06.2004 г. агэриаг 60 х90/16. Тггрэи 500 экэ. Печ. л. 4. Зэк эя 2-1410/587. Опичаэаио в типографги ООО «РОХОС . 117112, г. Москва, пр-г 60-лепи Окглбрк, 9. 1ЯВ19 5-354-00817-4 44 Л. С. Понтрягин, 1989. 2004 42 Елиторнап УРСС, 2004 209910 22436 11 111111 11 111 785354 008179 В небольшой по объему книге дано чепсое и очень ясное изложение основного результата теории оптиматьного управления, известного в литературе под названием принципа максимума Понтрягина, Кроме того, излспкены основные применения этого принципа к линейным оптимальным системам. Лля широкого круга читателей — математиков н инженеров, изучающих оптэьчальное управление или исподъзуюших принцип максимума в своей практической деятельности. Ичл, 14.

ОГЛАВЛЕНКЕ Предисловие Глава 3. Доказательство принципа максимума....., 18 ф 5. Вариации Макшейиа ........ 18 $7. Сложение вариаций Макшейна...,..... 23 ф 8. Расширеияе класса рассматриваемых вариаций... 25 Г л а в а 5. Синтез векоторык задач быстродействия . . . . . 39 $10. Быстрейшая остановка движущейся по инерции точки в заданном месте....,......., . Э9 $1!. Быстрейшая остановка математического маятника ограниченной по модулю силой,......., 44 Приложение. Оптимизация и дн$9еренцнальные игры ..

51 Г л а в а 1. Принцип максимума, формулировка 5 !. Управляемые системы $ 2. Задача оптимального управления $ 3. Основной результат: «Принцип максимума» Глава 2. Некоторые вспомогательные сведеяня 4. Уравнение в вариациях 5 5. Выпуклые множества . Глава 4, Задача быстродейстния . ф 9. Линейная задача быстродействия 5 5 8 9 10 10 1Э ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книжка имеет целью изложить важнейшие результаты. входящие в книгу «Математическая теория оптимальных процессов» четырех авторов— Л.

С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидве, Е. Ф. Мищенко, не нанося при этом ущерба полноте и точности изложения. При написании ее я старался дать наиболее простые доказательства всем излагаемым результатам. Не знаю, удалось ли мне упростить доказательства, имеющиеся в книге четырех авторов, но, зо всяком случае, объем книги резко сокращен — вместо двадцати печатных листов предлагаемая книжка содержит ие более трех. В процессе написания книжки я часто встречался с трудностями при проведении доказательств. В этих случаях мне было достаточно обратиться за помощью к Р. В, Гамкрелидзе, который безотказно и немедленно давал разумный совет, за что я ему горячо благодарен.

Выражаю также благодарность С. М. Асееву за помощь при редактировании рукописи. Л. Понтрягин д сентября 1987 г. ГЛАНА! ПРИНЦИП МАКСИМУМА, ФОРМУЛИРОВКА Всюду в дальнейшем будут употребляться сокращенные обозначения для суммирования: именно, если в одночлене два раза встречается греческий индекс — один раз вверху и один раз внизу,— то одночлен этот означает сумму по всем значениям индекса. Так, например, >)> х, а О, 1, .

„ и, означает сумму ф,х = ф,х'+ ф,х' +... + ф„х". в 1. Управляемые системы Работа многих физических процессов и технических приборов описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых независимым переменным является время 1. Осуществляется это следующим образом. Предполагается, что состояние технического прибора в данный момент времени определяется несколькими величинами. Обозначим их через х', хэ, ..., х". Величины эти называются фазовыми координатами прибора, а пространство )г", в котором они являются координатами, называется фазовым пространством прибора. В соответствии с этим вектор х=(х', хт, ..., х") называется фазовым вектором прибора.

Оказывается, что скорость изменения каждой фазовой координаты х' »х~ со временем, т. е. — =х, определяется фазовым век- >И тором х, так что мы имеем х' — 1'(х', хэ, ...> х") Г-'(х), (2) или, в векторной форме, х = — = 1(х). и'х лг (3) Система уравнений (2), записанная в векторной форме (3), определяет поведение прибора в процессе изменения времени. Для того чтобы получить конкретное изменение вектора состояния х(г), достаточно задать начальное состояние х(ге) хл в момент времени (о. Тогда решение х(г) системы (3) даст определенное поведение прибора во времени.

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки в трехмерном евклидовом пространстве. Механическое состояние втой точки в каждый момент времени определяется шестью величинами: геометрическими координатами точки у', уз, у' и скоростями у', у', у'. Совокупность у', у', у' объединим в один вектор у= =(у', уз, уз). Тогда совокупность скоростей у', у, ул будет составлять векторную скорость у=(уз, уз, у'), Движение точки в пространстве определяется следующим уравнением: плу= /(у).

лля Здесь т — масса точки, у= — „, — ее ускорение, а /(у) — сила, действующая на точку, которая предполагается здесь зависящей от положения у точки в пространстве. Для того чтобы переписать (4) в форме (2), (3), введем в рассмотрение вектор х, состоящий из двух частей: вектора х~ — — у и вектора х, = у, т. е. х=(хо хл) =(у, у). Тогда чравнение (4) перепишется в виде *'=(',,*,)=(., — „" ). )'(х ) Моххет случиться, что процесс изменения фазового вектора х в уравнении (3) зависит ие только ат фазового состояния х объекта, но также от некоторых других величин.

Наиболее ярким примером может служить самолет, в котором мы следим за движением его центра тяжести, так что здесь речь идет о движении точки в пространстве. Однако в действительности движение са. полета зависит от его ориентации в пространстве как твердого тела и тяги двигателя. Ориентация твердого тела в пространстве определяется тремя числами гь зь зз, а тягу двигателя обозначим гь Правая часть дифференциального уравнения (4) определяется не только вектором положения у центра тяжести самолета, но и значениями параметров хь аи а„з,. Объединяя эти параметры вместе, получаем параметр и. Тогда уравнение (4) запишется в виде ~вй г(у, и). Величина и называется управлением.

В общем случае мы можем уравнению (3) придать вид (5) х=у(х, и). Здесь и называется управлением и определяется несколькими величинами. Предполагается, что функция у непрерывна по совокупности всех переменных и имеет непрерывные производные по каждому х/. Для того чтобы получить определенное решение уравнения (5), нужно задать ие только начальное значение х(~о)=хи ио также задать управление и как функцию времени г: и =и(г).

В дальнейшем будем считать, что управление и(г) — кусочнонепрерывная функция со значениями в г-мерном пространстве Я', непрерывная слева в каждой точке разрыва и имеющая предел справа. В нашем примере с самолетом величина и определялась в зависимости от ориентации самолета в пространстве и тяги двигателя. Утверждение, что ориентация самолета в пространстве определяется тремя числами, неточно.

Ориентация твердого тела в пространстве определяется тремя числами только локально. В действительности же совокупность всех положений твердого тела в пространстве при фиксированном центре тяжести представляет собой множество, являющееся естественным образом некоторым топологическим пространством. Таким образом, в случае самолета управление и не является просто числовой функцией, а принадлежит некоторому топологическому пространству Й. Система (5) называется управляемой системой уравнений, а и — ее управлением. Как правило, управление и принадлежит некоторому множеству Й, которое будем считать подмножеством г-мерного евклидова пространства Р'.

$ 2. Задача оптимального управления Пусть х=у(х, и), мы1т, (см. (б)) — управляемая система, заданная в и-мерном фазовом пространстве )с". Допустим, что существует та- кое управление и =и(1), которое переводит фазовое состояние хо в фазовое состояние хь Это значит, что су- ществуют два таких значения времени 1о ( 1ь что ре- шение уравнения х=у(х, и(1)) удовлетворяет условиям х (8э) = хм х (1,) хь Здесь предполагаются фиксированными только точки хь и х„но не моменты времени >о и (ь Задача заключается в том, чтобы выбрать такое наи. более выгодное управление и(1) а= Й, которое также пе- реводит фазовую точку хо в фазовую точку х,, Выгодность управления и(1) описывается функцио- налом Г.

Управление считается наиболее выгодным, если функционал Е имеет минимальное значение. В нашем случае функционал С задается в виде интеграла а С= $)" (х(Г), и(1)) ж, (6) 1 ° где (о(х, и) = T(х'(С), ..., х" (С), и(г)) — заданная функция указанных переменных. Важным частным случаем является тот, когда 1'(х, и) ~ 1. В этом случае "о т. е. наиболее выгодным управлением считается такое, которое переводит фазовое состояние хо в фазовое состояние х, за наименьшее время.

Это задача быстродействия. Математика обладает свойством универсальности. Именно, решая конкретную задачу, мы получаем результат, пригодный для решения многих других задач. Так, например, функционал 1, может оценивать количество тсплива для придания космическому объекту за. данной ориентации. В виде задачи оптимального управления могут быть сформулированы некоторые экономические задачи и задачи естествознания. $ 3. Основной результат: «Принцип максимума» Включим фазовое пространство Я" в л + 1-мерное пространство 5"+', присоединив к координатам к'... х" координату хь. Вектор пространства В"+1 будем обозначать х=(хь, х', ..., х"). Наряду с вектором х рассмотрим вектор 'Ф Иь Ф ° °" М и вспомогательную функцию К(х, ф, и)=ф,С'(х, и), а=О, 1, ..., л, двух л+ 1-мерных векторов х, ф и точки и множества П.