Понтрягин Л.С. - Принцип максимума в оптимальном управлении - 2004, страница 2

Для удобства номера координат векторов х и С будем писать вверху, а вектора ф — внизу. Т со р е м а 1. Рассмотрим систему уравнений дК(к, 4 «) (7) деч дК(к, $ «) (8) дк~ Система уравнений (7), (8) содержит 2(л+ 1) уравнений. Она неполна, так как наряду с 2(л+ 1) неизвестными функциями х', Фь != О, 1, ..., л, содержит еще неизвестную точку и(С)ж И.

Система уравнений (7) содержит систему (5) уиравляемого объекта, а также определение функционала Е (см. (6)). Оказывается, что для того чтобы управление и(С) было оптимальным ири заданном функционале Е, необходимо, чтобы существовала ненулевая векторная функция ф(С), удовлетворяющая системе уравнений (7), (8), и, кроме того, чтобы для любого С из отрезка Сь ~ С а; С1 и для любой точки о ы й выиолнялось неравенство К(х(С), ъФ(С), и(С))~К(х(С), 1р(С), о). (9) Последнее неравенство так дополняет неполную систему (7), (8), что система уравнений (7), (8) вместе с (9), вообше говоря, определяет величины х(С), ф(С) и и (С).

Неравенство (9), составляюшее центральный пункт теоремы 1, дало основание назвать теорему 1 принципом максимума. ГЛАВА Э НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой главе будут даны некоторые вспомогательные результаты из математики, которые я буду испольэовать, но которые я не считаю общеизвестными.

й 4. Уравнение в вариацняк Здесь мы рассмотрим систему уравнений х' 7'(х', х', ..., х', 1)=7'(х, Г). Здесь х=(х', х', ..., х") есть вектор л+ 1-мерного векторного пространства 5"+', так что систему (1) в векторной форме можно записать в виде (2) х=у(х, !) В дальнейшем иам придется рассматривать частную производную от функции 1'(х, г) по хА Поэтому мы введем для нее обозначение. Именно, положим — ф-с ~~(х, 1). дх~ Система уравнений (1) имеет бесконечное множество решений; для того чтобы выделить одно определенное решение х(1), нужно задать начальное значение.

Именно, для заданного значения 1э задать начальное значение функции х(1), Это начальное значение обозначим Тогда начальным условием х(гэ) =т) решение х(г) однозначно определяется. Поскольку решение х(г) определяется величинами га и тЬ, выпишем зависимость функции х(Г) от этих величин в явном виде, положив х(Г) = Р(т1, Г„Г). Функция <р, состоящая в правой части последнего равен. ства, удовлетворяет условию т(т1 ~о го) Ч 1о Лопустим, что в момент «=Ро функция х(г) имеет начальное значение хо. Заменим теперь это начальное значение начальным значением а) = хо + еео + о (е), где е — малое положительное число, йа — некоторый век- тор, а о(е) — величина более высокого порядка малости, чем е, т. е.

Ип) — = О. о (а) е-еа а Посмотрим, как будет себя вести решение х(г) с этим начальным значением. Мы имеем — «Р (ха+ еоо+ о (в) «о «) = =«(«Р(хо+еао+о(в), го, г), г) (3) (см. (2) ). Разложим обе части последнего равенства по степеням е. Разлагая левую часть равенства (3) по степеням е, получим д««Р (Ха+ Ееа+О(Е), еа, Г)= д д д «а «Р (ха.

«о, 1) + е — — а «Р (хо, Го. !) Ва + О (е). д« ' ' д«дч Разлагая правую часть равенства (3) по степеням е, получим 7«(«Р(ха+ веча+ о(е), Га, 8), «) =)«(«Р(х„«о, Ф), С)+ д«' + е — («Р(ха~ Со~ Г) !) а оео + 0(е). Положим аь (!) = «Р (ха го !)оьа. дч Тогда функции $«(г) удовлетворяют системе о« ~«ва (4) и начальным условиям а («о) = $о. Решение уравнения (2) с начальным значением х,+е4,+ + о(е) записывается в виде л(1)+ ева(1)+ о(е), где 3(1) — решение уравнения (4) с начальным значением а(1е) ае. здесь о(е) непрерывно зависит от вв, и — равномерно стремится к О при е -в О.

Уравнение (4) о (е) в называется уравнением в вариациях для уравнения (2). А) Если в точке 1 = т начальное значение управляемой величины равно х(т)+з$(т)+о(е), то в любой точке 1 отрезка 1е(1(1, значение управляемой величины х(1)„по доказанному ранее, будет иметь вид л(1)+ е4(1)+ о(е), н вектор в(1) будем считать переносом 1зектора $(т) из момента времени т в момент времени 1.

Перенося вектор в(т) нз момента времени т в момент времени 1, мы получим вектор а(1). Будем считать, что вектор 3(т) задан в точке х(т), а вектор $(1) — в точке х(1). Положим а (1) = А, Д (т). В силу линейности и однородности уравнения в вариациях (4) оператор Ас т — линейный, А,, есть тождественное преобразование и, кроме того, выполнено соотношение АпвАвв=Аь где 1, з, т — точки отрезка 1е е- 1( 1ь Вектор ер (1), являющийся решением системы (8) главы ! с начальным условием ф(т) в момент времени т, будем считать переносом вектора 4>(т) нз момента времена т в момент времени 1. В) Если 4(1) — вектор, являющийся решением урав.

пения в вариациях (4), а ~р(1) — вектор, являющийся решением системы (8) главы 1, то скалярное произведение этих векторов постоянно: (в (1), ~Р (1)) = ь' (1) 1Р, (1) = со из(. Для доказательства последнего соотношения покажем, что производная по 1 скалярного произведения 12 (а, ч) есть нуль, используя при этом уравнение (4) и уравнение (8) из главы 1: МЧ.=Ф Ф.+$ Ф.=)в$'9.— $ арв=о $6. Выпуклые множества С) Множество М точек евклидова пространства Я" называется выпуклым, если вместе с двумя точками а и Ь, принадлежащими множеству М, множеству М принадлежит и весь отрезок, соединяющий точки а и Ь. Точка пыжа" называется граничной для множества М, если она является предельной для М и для множества Р"~М, дополнительного к М в пространстве Я".

Здесь под предельной точкой некоторого множества А подразумевается точка, к которой сходится последовательность точек из А. Совокупность всех точек множества М, не являю- шихся его граничными точками, называется внутренностью М, а совокупность всех граничных точек М называется границей.

0) Координаты вектора ~Ь~ Я" естественно считать координатами гиперплоскости, проходящей через начало координат в пространстве Я". Именно, вектору (1ро ° °" Ф») ставится в соответствие гнперплоскость Г из )г", определяемая уравнением (Ф, я)=ср х© О, а=), ..., и. (5) Так поставленная в соответствии вектору ~р гиперплоскость Г разбивает пространство Я" на две части: отрицательную, состоящую нз тех точек х, для которых (~р, л>~(О, (6) и положительную, для которой Щ, х)=эО. (У) Каждая гиперплоскость Г пространства Й", проходящая через начало координат, может быть задана уравнением вида (5).

Будем считать, что два множества А, В пространства Я отделены друг от друга гиперплоскостью Г, если одно нз этих множеств находится в отрицательном полу- гз пространстве (6), а другое — в положительном (7). В смысле этого определения два множества А и В, лежащие в гиперплоскости Г, отделены друг от друга этой гиперплоскостью, даже если они пересекаются илн совпадают. Так что слово «отделены» не имеет здесь того интуитивного смысла, который ему естественно приписать, Если некоторая гиперплоскость Г' не проходит через начало координат, то она может быть задана гиперплоскостью Г, параллельной ей, проходящей через начало координат, и некоторой точкой а, через которую она проходит.

Произвольная гиперплоскость Г' также разбивает пространство Я" на две части — положительную и отрицательную, и в отношении нее также можно говорить, что она отделяет друг от друга два множества А и В из Д". Е) Пусть а — граничная точка выпуклого множества М. Гиперплоскость Г пространства Я" называется опорной гиперплоскостью к множеству М в точке а, если она проходит через точку а и множество М лежит целиком по одну сторону от гиперплоскости Г. Докажем, что для каждой граничной точки а выпуклого множества М существует опорная гиперплоскость. Пусть с — некоторая точка пространства Я", не принадлежащая ни множеству М, ии его границе. Пусть, далее, Ь вЂ” точка из множества М или его границы, ближайшая к с.

Проведем через точку Ь гиперплоскость Г, перпендикулярную отрезку сЬ, и покажем, что все множество М лежит по одну сторону («слева») от гиперплоскостн Г. Для этого спроектируем ортогонально множество М на прямую, содержащую отрезок сЬ, и покажем, что все точки этой проекции М" лежат по одну сторону («слева») от точки Ь. Если это не так, то найдется точка и из множества М, проекция которой иа прямую, содержащую отрезок «Ь, лежит правее точки Ь, и в этом случае точка Н лежит правее гиперплоскости Г. Проведем через точки с, Ь, Ю двумерную плоскость Р и будем рассматривать чертежи в этой плоскости. Геометрически ясно, что угол сйп'— острый и на отрезке НЬ найдется точка Ь', лежащая к с ближе, чем Ь, что противоречит предположению.

Пусть теперь а — произвольная граничная точка выпуклого множества М. Пусть аь ам ..., ам ...— последовательность точек из й", не принадлежащих ни М, ни его границе, сходящаяся к точке а, и пусть Ь„ †точ 14 из М или его границы, ближайшая к иь. По доказанному через точку Ь, проходит опорная гиперплоскость Г». Из последовательности гиперплоскостей Га можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой гиперплоскости Г, и эта гиперплоскость является опорной к множеству М в тачке и. Итак, через каждую граничную точку а выпуклого множества М можно провести опорную гиперплоскость. Р) Конусом С в пространстве Р" с вершиной о называется такое множество, которое наряду с любой точкой а из множества С содержит весь луч 1, выходящий из о н проходящий через точку а.