Понтрягин Л.С. - Принцип максимума в оптимальном управлении - 2004, страница 8

Эти разделы зачастую обладают большой стройностью и некоторого рода красотой. Однако такого рода красота не может служить оправданием их существования. Математика — не музыка, красоты которой доступны большому количеству людей. Математические красоты могут быть поняты лишь немчогими специалистами. Создавая такие красоты, математики практически работают только на себя. Невозможно, однако, утверждать, что обладающие внутренней стройностью, но лишенные приложений разделы математики не имеют права на существование, Они составляют внутреннюю ткань науки, иссечение которой могло бы привести к нарушению всего организма в целом Кроме того, оказывается, что некоторые отделы математики, лишенные приложений в течение многих веков, позже находят эти приложения.

Классическим при- ') Впервые опубликовано в <Вестнике АН СССР», !976, ла 7, е. 10 — !7, 51 мером служат кривые второго порядка, созданные в древности из внутренних потребностей науки н нашедшие лишь позже очень важное применение. С другой стороны, некоторые разделы математики, занимающиеся лишь внутреннимн проблемами, постепенно вырождаются н почти наверняка оказываются ни для чего не нужными.

В этой обстановке вопрос о выборе тематики исследований становится для математиков весьма тревожным. Я считаю, что если не все, то во всяком случае многие математики должны в своей работе обращаться к первоисточникам, то есть к приложениям магематики. Это необходимо как для того, чтобы оправдагь свое существование, так и для того, чтобы влить новую свежую струю в научные исследования. Исходя из этих соображений, а также находясь под некоторым давлением руководства Математического института им. В.

А. Стеклова, я и три моих сотрудника Е. Ф. Мищенко, Р. В. Гамкрелидзе и В. Г. Болтянский решили заняться поиском прикладных тем для своих исследований в теории колебаний, точнее, в математическом изучении электронных приборов и в теории регулирования, которую более общб теперь разумнее назвать теорией управления. Мы заранее исключили из своего рассмотрения математические задачи, уже сформулированные техниками. А основали свой поиск на ознакомлении с техническими проблемами, устанавливая контакты с многими специалистами в области техника. Прн этом мы не просто стремились найти приложения математики, но старались найти новые постановки математических задач, интересные с точки зрения самой математики.

Среди многих технических задач, с которыми мы овна. комились, была следующая. Некий специалист в области авиации сказал: «Если один самолет преследует другой самолет, то пилот преследователя, конечно, умеет это делать, но интересно было бы иметь теорию, быть может, даже такую, которая позволяла бы осуществлять преследование при помощи автомата>. Мы все понаслышке знаем, что су1цествуют самонаводящиеся ракеты.

Но ракета обладает такими преимуществами в скорости и маневренности перед самолетом, что теория, на которой основано ее поведение, может быть очень грубой. Хочу сразу обратить внимание на странность этой задачи, которая на первых порах казалась нам совершенно неприступной. В самом деле, самолет-преследователь 52 очевидным образом не должен лететь в то место, где в настоящее время находится убегающий самолет, так как последний, конечно же, уйдет с того места, где он сейчас находнгся.

В то же время бессмысленно предполагать, что убегающий самолет движется по прямой: ои может повернуть, причем, неизвестно куда. Задача о преследовании одного самолета другим самолетом, насколько я знаю, до снх пор не решена. Рассмотрены упрощенные модели преследования, которые составляют предмет так называемой теории дифференциальных игр. Слово чиграз указывает на то обстоятельство, что будущее поведение каждого из самолетов неизвестно: оно зависит от воли пилота. Дифференциальной эта игра называется потому, что закон движения самолета описывается дифференциальными уравнениями. Для того чтобы применить математику к решению какой-либо технической задачи, прежде всего надо дать ее математическое описание. В данном случае мы начнем с матема гического описания движения самолета.

При этом, как всегда это делают математики, мы будем отвлекаться от излишней конкретности, стремясь уловить лишь главные характерные черты технической задачи, подлежащей решению. Мы будем рассматривать самолет как точку, движущуюся в пространстве. Известно, что положение точки в пространстве определяется тремя координатами. Ик мы обозначим через хь хм хь Так как точка (самолет) движется, то она имеет и некоторую скорость-вектор, Компоненты этого вектора мы обозначим через хм хм хм Величины хь хм ..., х, определяют состояние движущейся точки в данный момент времени и называются ее фазовыми координатами.

Для того чтобы отвлечься от излишней конкретности, мы будем рассматривать объект, состояние которого в данный момент времени определяется не шесгью, а произвольным числом фазовых координат. Ик мы обозначим через х„х,,... ..., х„. Совокупность всех этих величии вместе принято обозначать одной буквой, так что мы полагаеч х = = (х,, хм ..., х„). Здесь х есть точка фазового пространства нашего объекта, нлн фазовый вектор нашего объекта.

Произвольную фаэовую координату объекта обозначают через хь где 1 может принимать любое значение: 1= 1, 2, ..., и. Так как состояние объекта меняется со временем, то величина х~ также меняется со временем, и скорость ее изменения обозначается обычно через хь Это есть производная величины х~ по времени д Физическая закономерность поведения объекта, как правило, заключается в том, что скорость «~ изменения фазовой координаты х~ нашего объекта однозначно определяется фазовыми координатами объекта хь х„..., х„, что математически записывается в виде формулы х, ~,(х„хь ..., х„) =7,(х), 1=1, 2, ..., л. (1) Это значит, что х, есть функция величин хь хэ, ..., х„, то есть может быть вычислена, если величины хь хэ,...

...,х„известны. Здесь мы имеем л неизвестных величин хь х~,..., х„, которые меняются со временем, то есть являются функциями времени «~ — — х~(1), и и дифферен. циальных уравнений, так что задачу можно решать математически, то есть получить закономерность изменения состояния объекта со временем, найти х как функцию времени: х = х(1).

При помощи уравнений вида (1) могут быть описаны весьма разнообразные объекты. Объекты могут быть ие только механическими, но и другого рода, например, химический процесс может быть описан уравнениями типа (1). В этом случае массы различных веществ, входящих в реакцию, являются фазовыми координатами х„хм... ...,х, нашего объекта. Такими же уравнениями может быть описан и биологический процесс, например сосуществование на острове волков, зайцев и травы. Экономические закономерности также допускают описание при помощи системы уравнений типа (1). Приведенное здесь описание движения самолета ие содержит главного для нас элемента. В самолете сидит пилот, который по своей воле может менять закономерность его движения, приводя в действие рули управления.

Так, пилот может менять тягу двигателя, положение хвостового руля, положение закрылков. Положение каждого из элементов управления определяется некоторым числом. Все эти числа мы обозначим через и„иь..., и„ а их совокупность обозначим одной буквой, положив и = (иь иь..., и,). Здесь и есть вектор, компоненты которого определяют положение рулей.

Таким образом, движение самолета описывается не уравнениями (1), а уравнениями х, = ), (х, и), 1 = 1, ..., и, (2) где в правую часть входит вектор управления а. Вектор управления и меняется со временем по воле пилота самолета и потому является заданной функцией времени: и = и((). Таким образом, уравнения (2) в действительности имеют вид й, = ~, (х, и (г)], е = 1,..., л, (3) где и(1) есть конкретно осушествляемое в течение времени управление объектом.

Систему уравнений (3) уже можно решать. Следует отметить одно очень важное обстоятельство. Величины иь им..., и„определяюшие положение рулей, не могут быть произвольными. Так, если и, есть величина тяги двигателя, то ясно, что она может меняться лишь в некоторых пределах от О до некоторой величины а, О ( и, ~о. Точно так же и хвостовой руль может поворачиваться лишь в определенных пределах, так что если ир есть угол его поворота, то он удовлетворяет некоторым неравенствам: — Ь ( иэ я Ь. Чтобы отвлечься от излишней конкретности, мы может просто сказать, что вектор и не есть произвольный вектор г-мерного пространства, а принадлежит некоторому заданному множеству этого пространства. Система дифференциальных уравнений (2) вместе с заданным множеством Й дает математическое описание возможностей поведения управляемого объекта.

Такой объект мы будем называть управляемым, поскольку поведение его зависит от того, какой функцией и(8) времени 1 является управление и объекта. Для того чтобы начать решать задачу о преследовании одного самолета другим самолетом, мы дол «ны были бы и второй самолет описать в виде управляемого объекта, а затем точно сформулировать задачу преследования. Но, как я уже сказал раньше, сама игровая постановка задачи содержит в себе настолько большую странность, что мы предпочли вначале попытаться решить другую задачу, в которой элемент игры отсутствует.

Мы предположили, что второй объект неподвижен, или, говоря в терминах самолета, речь стала идти о том, чтобы перевести самолет из одного состояния в другое в кратчайшее время. Математически эта задача формулируется так. В начальный момент времени задается некое исходное фазовое состояние объекта, которое мы обозначаем через х'. Кроме того, имеется какое-то другое фазовое состояние объекта — к'. Если, управляя объектом каким-нибудь способом, мы можем перевестн его нз фазового состояния х' в фазовое состояние х', го возникает задача о том, каково должно быть управление, которое переводит объект нз фазового состояния х' в фазовое состояние х' в кратчайшее время.

Это есть задача оптимизации на быстродействие. Получаемое в результате решения этой задачи управление и(г) называется оптимальным в смысле быстродействия, а само движение объекта оптимальным движением в смысле быстродействия. Если в процессе движения объекта меняется не только время, но и какая-либо другая величина, представляющая для нас особый интерес, например, расходуется топливо, то можно поставить вопрос об оптимизации расхода топлива при переходе из состояния х0 в состояние х'. Такая задача весьма важна, например, при рассмотрении перехода космического корабля с одной орбиты на другую, где минимальность расхода топлива играет огромную роль.

Так сформулированную задачу оптимизации могло бы решать варнационное исчисление, если бы не было ограниченна на управляющий вектор и, то есть если бы вектор и был произвольным вектором. То обстоятельство, что вектор и принадлежит к заданному множеству Й, сразу выводнт сформулированную задачу оптимизации из круга тех, которые способно решать классическое вариационное исчисление. Если вектор и произволен, то сформулированная задача является задачей классического вариационного исчисления.