1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 111

в праективном пространстве, вполне определяются заданием проективной снеге. 0,(1:о:О.о), О,(О:1:Огй), о,(о:о;1:О), о,(о:о:о:!), Е (1.1с1:1! Если все точки О,, О,, Ов, 0„ Š— собственные, то проективиые координа. ты П х,, хл х, гочки М нрапорпнональпы произведениям Лтс(ы Лзс)з. Лзс(з сгьпч расстояний йы Л„Л„Л От Единичной точки Е до граней ОзОвО«ОсОзО« ОсО«0« ОсОэОз ба:иснаго четраэдра, нз расстояния с(,, с(„ бз, с( от гочки М соответственно до чех же гранеи Этим расстояниям приписывается янаи.

й, и с(, †одно знака, если точ- ки О, и М лежат па одну сторону от грани 0,0,0,, п разного знака, если точки О, и М лежат по равные стороны от плоскости О,Оа0, (аиалогнчно при- писывиотся знаки Л, н с(з й, и с)з Л„ и с(,) Выбором точкй Е получаютгя раз. личные проектнвные системы каордйнат относительно базисного тетраэдра. Одпородпая система координат теперь сама может быть рассматриваема как прасктпвпая Базигнычи точками однородной системы координат являются ггесобстзеппые точки осей каор«инат и начало координат; точкой Е будет едп- пичн я гочка Е общес) декартовой системы координат Покажем, какой геомет- рический смысл ссссеют проесст ивпые координаты точки М.

Рассмотрим две плос. кости, праходяшне череа прямую 0«0« и каждую нз точек М, (хОхз:хз'.хч) и Е (1:1с1:1). Эти плоскости пересекают прямую 0,0, в точках Е,з (1:1:0:0) и Мтв(х>.'х,:0:0) Рассмотрич четыре точки Ос (1:0:0:0), Оэ(О:1:0:0), Е„и Мсэ Координаты точек Е, и М„через координаты точек О, и Оз выражаются соотношениями ТЕОРЕЫЪ| ДЕЗЛРГЛ, НЛСКЛЛЯ И гРИЛНШОНЛ ббУ мы координзт (0,0зОэО,Е) (и не зависят ат выбора той вспомогательной обплей декартовой сйстсиы координат, ири полю~ни которой проскмпшыс коор ликаты определялись как линейные однородиыс фупкпни однородных) Х, Вместе с тем из полученного соотношении (О,О,ЕНМ,з) = — зытскзег гго- х, метрический способ построения точки в просктивиом прострапстке по ес ироектнзным коордияатам: сзроим точку Е,а, в которой плоское~а 0„0лЕ исрссе- Ри~ 3)2 кает прямую 0,0,.

Пусть 5„— произвольная точка, нс лежащая на пряной 0,9е. Проводим прямые Ол5ы, Ое5,з и Е„5, ~а прямой ЕН5„берсл| произвольную точку, с,личн)чо от точки 5гю и принимаем ес за единичную точку обшей декартовой системы координат с 1лзчалолз координат в точке 5„и осялпл координат 5лз0, и 5,зОа Б этой системе координат строим точку (хт, хз) Тогда прямая, ироходяшая через эту точку и точку Сы, псрсссчет пряллуло 0,0з в точке ЛМлз Ляалогпчио строим точки Л(зл, Л(зм Л)лл 7 очка Ы (хл:хз. га.хл) является точкой пересечении прямых Мл,Мал и М,Мал.

ДОПГУЛНГН4!В ГН Ыа рве 312 построена точку Л1 (1:2Гдп2) Отметим также, что х44хз;хз— просктняпые координаты роскнип Л14 ~о" и Л! аа плоскость 0,0202 из точки О, если эа Гюзисные точки припять соохВС~СГсЕИИО О„, Г)2 02 а Зз Еднин уиуЮ точку принять проекциуо единичной точки Е (1:1:1.1) из гощы О, на плос. кость 0,0,02. Аналогичный геометрический смысл илуеют отиощгпия х,:х,,:хз и т. д.

5. Автопод я о я ы й тетра эдр Рагсмотрнм вевырождающуюся поверхность торого парилка. Возьмеч произвольную точку О,, ис лежащую на рзссмз! ри4 згчой по ерхности и по. строим для пее полярнуо плоскость ов очна ительио данной поверхности. В плоскости ы, возьлуел4 проязпольпууо точку О,, пе 44224а~ную иа даууной поверх. ности; ее полярная плоскость оп пройлст через точку О, На праной, по которой пересскаютгя плоскости оу, и щз, возымев проуывольную точку 02, не лежащую на данной поверхности, ес по".яриэя площсогть щ пройдет и через точку 02, и через точку 02 Пу ть, пакоисп, 0„— тачка пересечен~ я плоскостей щл, ыз, вв, Тогда О,— полюс плоскости 0402Г42 Тетраэдр 0,020„04 обладает тем с,юйством, что кьжлая его грань явлвется полярной плоскостью ууротивополоукной верупипы.

Таков тетраэдр называется автополяриыч относнтельяо лзнной овсрхности второго порядка. Для того чтобы уравнение нсвьуролкдаюшсйся по44ерхности второго порядка имело внд а,лх",-)-а„х'+а,зхз+аллл4 =О, необходимо и лостаточно, 'ыобы базиспьп~ тетрзэдр 0,020,0, проективпой системы координат был автополярпым. Это дока:ыввегся аналогично 444от14ет~ твующей теореме для линий второуо пор ьт44з (п 2 уузгт4444щего дополнения) Сохраняя в качестве базисного тетраэдры автополяриья! тетрвэщ4 относительно поверхности второго порядка в принимая зз новую единичную точку любую из точеку Е(л )Гам!'.

ч- у !а,!, ч- г ! 22!. ч- У)а44!), (2) приведем уравнение (1) к виду ф=яух,+в х,+езхл+ е4х,=-о, где '21=1 (3) Если все е; одного знака, получаса мн уч)ю поверхность. Если трв иэ кггэрф44циеуутов в; одного знака, в четпертый пчсст противопотожный ливк, то получаем действительную овальную поясрхпость второго порядка: (ч) Если два иэ в; равны +1, а два -1, то получаем тороидалыуую поверхносты ф=х,+х,— х — х =О 2 2 2 2 2 4 Выбор единичной точки для овальных и тороидалы4ых поверхностей второго порядка имеет следующий геометрический смысл Если базисный тетраэдр 0,0,0404 ДЕйетвитЕльцой иевырождающЕйев па.

верхности является автополярпым, то уравнение поверхности имеет вид аых', + а,х, '— с аюл 2+ а„чх„'= О (6) Будем считать, что в случае ова. ьпой поверхпосн алл > О аз, > О, ам > О, а44 < О ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА, ПАСКАЛЯ И БРИАНШОНА (тогда и только тогда точки О,, Ою Оз являются внешнимн точками поверхно. сти, а Оч — внутренней), а в случае торондальной поверхности ам>0, а„>0, а,<0, а„<0. В случае овальной лействчтельнои поверхности ребра ОхОм ОзОМ ОзОч пересекают поверхность (6), каждое в двух действительных точнах. Пусть Еы, Еьм Ею — точки пересечения прямых 0,0,, 0 О, и 0,0з с ова ~аной поверхйостью (нз указанных двух точек пересечения берем по одйой на каждой прямой 0,0», ОзО„Оз0,).

Плоскости ОзО,Еьм ОзО,Езм ОхОзЕз4 нмс~ат и пригон только одну общую точку Е'. Примем се за еднничнуго точку проектнвной системы ко. ординат [О,О,ОаО,Е'), Пусть в этой системе координат уравнение [6) имеет вид Ьггх Ьтзх + Ьззх + Ьюх 0 (7) Точки Еы. Егм Е„в системе [0,0зОзОаЕ') имеют координаты Е (1 о о П Е 4 (о 1 о 1) Е (о о 1 1» и тан как они лежат на поверхности (7), то Ьы+Ьем Ь„+бам Ь„+Ь„-О. н уравнение (7) приводится к виду 8 х„+х, +х, — х О. () Обратно, для овальной поверхности (8), заданной уравнением вида (8), базисный тетраэдр 0,0,0,0, — автополярный, а точна Š— ~очна пересечения плоскостей ОзОаЕЫ ОзОтЕы ОтОзЕзг где Еы, Еы, Еы — соответственно точки пересечения с поверхностью прямых О,Ою О,Ою 0,0,.

Если поверхность (6) — тороидальная (и а„> О, а„> О, аза < О, аы < 0), то ребра О,ОМ ОзОз н, например, ОТОз пересекают поверхность (6) каждая в двух действительных и различных точках. Выбнрая соответственно по одной нз них Еы, Е, и Ехи примем за единичную точку Е' точку пересечения плоскостей ОзОзЕы, ОзОхЕЫ, ОзОчЕгз Тогда в системе [О,О,О,О,Е') точки Еы, Еы, Е„имеют координаты Етз (1:0".0:1), Е тл (О: 1:0:1), Езх [1:0:1:0), а уравнение поверхности (6) примет внд (7).

Но так как точки Еь„Езм Е лежат на поверхности (7), то Ьтх+Ьы=О, Ью+Ьч,=О, Ь,х+Ьзз=О н уравнение (8) првводится н виду х +х — х — х =О. 1 3 3 4 Заметим, что единичная точка лежит на поверхности. Обратно, уравнение (8) является уравненгем тороидальной поверхности в проективиой системе коордннзт (ОгОзОзО,Е'), для которой базисный тетраэдр 0,0зОзОч является ввтополярныч, а едйпичная точка Е лежит па поверхности и является тачкой пересечения плосностей ОзОзЕЫ, ОзОП Езю ОзОзЕы, где Еьн Езм Ею — точки пересечения прямых ОТОР О,О, н О,Оа с поверхностью.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 5 ~ного двумя 7 8 1О 10' Глава П Глава 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ 6 1. Направленныс отрезки . 7 2. Ось Координата направленного отрезка й 3. Ось координат. Координата точки 6 4. Теорема Шаля. Координата направленного отрезка, зада~ двумя точкамн декартовой оси координат. Расстояпнемежду точкаши лежащими на оси координат 4 5. Деление направленного отрезка в даяном отношении .. 4 6. Преобразование системы координат па прямои у 7.

Векторы . ПРОСТЕЙШИЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛО. СКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 1, Координаты точки и вектора на плоскости и в пространстве 6 8. Параллельное проектирование 6 9. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат на плоскости 10, Общая декартова н декартова прямоугольная системы координат в пространстве 6 11. Координаты вектора на плоскости н в пространстве . 11, Рзссзош1ие между двумя точками, деление направленного отрезка в данном отношении, площадь треугольника, объем тетраэдра 6 12. Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространст~ с 4 13. Деление направленного отрезка в дшшом отношении 4 14 Орнентнроввпный треугольник.

Ориентированная плоскость. Пло шадь треугольника 6 15. Ориентированный тетраэдр. Ориентированное пространство Объем тетраздра . 5 16 Углы 1 Определение угла 2 Орнентированнын угол. Его величина, Равенство, сумма н разпосгь вели ~ни ориентированных углов 3. Угол между двумя осяьш. Угол от одной оси до другой и его величина 4. Углы иен;лу двумя прямыми Угол от о поп прямой до другон н сто величина 15 Рб 17 18 21 25 25 28 2д 30 38 43 43 43 46 огллвлвыив 48 50 50 52 54 54 58 Глава 1ту ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 4 17. Теорема Шаля для ориентированных углов 11!.

Полярная система координат на плоскости н в пространстве 4 18. Полирпая система координат па плоскости $ 19. Полярная сне~сна координат в пространстве. Полярные и сфери. ческпе координаты, 5 20. Задачи к главе !! 1. Задачи с решепнямн 2. Зада ш для самостоятельного решения Глава П! ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ 1. Линия и ее уравнения 4 21. О пояятии линии и ее уравнениях 5 22. Примеры составления уравнений линии П. Поверхности и линии в пространстве 9 23. Поверхность н се уравнение 5 24. Првмеры составления уравнений поверхностей 9 25. Нилиндрнчсскпе и конические поверхности 1.