1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 109

Однородные координаты точки М можно рассматривать как проектнвиые, есгш ввести ич на плоскости П при помощи общей декартовой системы координат оси 5х' и 5у', Ог которой параллельны пло кости л (пополпепием ко!арой несобственныыи точками получается проективная плоскость П),а еднпи шая прямая 5Е' проходит через елипичну!о точку Е' той системы координат ХОУ, при помощи косарей пд плоскости П хф вводятся олпоролцые координаты (рис.

296) 5 Таким образом, х, у, г (см. й 98) являются линейными олпородпымн Рис 296 функциями от хх, хг, хз, причеч определитель из коэффициентов при х,, х„х„в этих формулах отличен от нуля. Докажем, что эти формулы меж!!о зависать в виде к=а!,ртх,+а, рзх +а,трахм у=а,,р,х, + агар,х, +а„оахз, г=аатргхг+аазр,х,+авэо„х, 22ч ДОНОЛЫННПВ 1Ч ГДЕ а,з ИМЕЮЗ ! КаваПНЫй НЫШЕ ГЕОМЕтРПЧСС Нй СМЫСЛ (ОДПОРОДНЫЕ ~ ООРДННа1Ы точек 01, О,, Озй а Рт, Ры Рт — отличные от пУлн чиста, котоРые лзы сей ~ас определим. В с 1О ~ ДЕЛЕ, нв фОРмул 1!) след)ет, чзО одпОРодеые координаты точки О„ имеюшей нроективные 1.ооодянаты х, = 1, х,= О, хз=-О, будут (а„р ) (а„р,)нпш Рт) =от,:а„ам, однородные коорзтннаты точки 02 прогктивные ~ оордипаты которой хз =- О, хз 1, 33=.0, будут (ашп,) (аззрз):(аззрз) ==а,з:изз аз„ наконен, ош!оролные координаты точки 01 (п13РЗ) (оззрз) (оззрз) — нзз пзз Ззз в соответствии с поставленной задачей.

Что касается чисел рз, рз, Рз, то их надо выбрать так, чтобы однородные координаты единичной точки Е, проективпые координаты «отарой 1:1,'1, были рваны е,:ез:ез, т. е пыо, ' аыр,-';атзрз-ем п21Р1+п22Р2 н2зрз ез амрт+ аыр, + ажрз =. е,. а21 Р азз ЕЗ авз ОЗЗ а„х~ оы у 1'132 "з= Р (2) Хз =- а,т пш аш ЕЗ азз е азз ез а„ а,з Е, ПЗЗ 32 аЗЗ ЕЗ, Так как х, р, г через тм х,, хз выражаются линейньшн однороднымн соотнон1енигии с определнтелет, отличныч от нуля, 1о прямая на проектнвной плоскости а роеш явных координатах выражаегся однородным уравненнеч изхз-, изхз+изхз=О, а линия второго порядка на проективной плоскости выражается уравнением второй степени относительно нроективных координат: п11хз+пззхз+ пззхз+ 2п12х1хз+ 2пззхзхз+ 2п31хзх1 Теорема 1 з 202 имеет место и в точ случае, когда тогки заданы проективными координатами.

Огре,' слепне неособон то п,н,пп пп пгорого ~ оря,ла бе.1 изменения „гяе~ся ь Дпя тсгО случая, когда лич п1 зада ~а Е нРое«званых ~ ооРднпачаХ Не ме. няется уравнение касательной к линии второго порядка, уравнение поляры Зта система имеет 1 притом только одно реп.ение р,, р,, рз, так как Ое1(а;3) Ф 0 (~очки О,, О,, О„не пРннадлежат одной пРЯхоч). Это Решение рз, рз, рз состоит нз трет чисел, не равных пулю, гак как то1ка Е пе ле кит па одной прямой с любыми ш умя из трех тачек О,, Оз, 02.

Но гак как общая декнртова снсгсма координат определяется (с точностью до выбора на единичной прямой едннн п1ой ~ОЧКИ) выборе«1 тРех враных о,, оз, оз связки, не прннадлежашпх одной пря1ой и единичной пряной е (той гке связки), пе «омнлзнзрной нн с какими дну«1я из трех прямых оз, оз, оз, то формулами (!) определяется преобразование одной нз систем координат 501„ 502, 50,, 5Е и 5х', 5у', 53', 5Е' в другую Из соотношений (1) находим выражения для проектнвных координат точ.

ки !врез однородные: ТСОРЕМЫ ДЕЭЛРГЛ, ПЛСКЛЛЯ И ЬРИЛИПгоИЛ точки отиосителщ!о ланпои линии еэорого порядка, заданной уравнением в просктиэиых ! Оордииагах и т. д, . Покаигем, как с!роится точка М по ес проектаэиым координатам в первой модели проектизной плоскости 71. Пргтползгэя. что на плоскости 1! аие- Рис.

297 дена проектиеиая система координат (Оь 0„0з, Е), заметим, что прямые МО«, МО«, МОз перссекаготся с прямыми 0.,0«, 0«07, О,О« соответственна в точках ЛЛ! (О!г:хэ), Мэ(х!.'0:хэ), Мз(х!.'х«.'0). Пусть Е, (О:1:1), Еэ(1:0:1), !:Х(1:1:0) — точки пересечен и прямых ЕОг, ЕОэ, ЕО« соотвстствекио с прямы- Йа рис. 297 и 298 изображс- Ог ны прямые ог, о„оэ, е, е,, еэ, е„ ш, глт, щ«, лгз, соответствующие точкам 0„0«, Оэ, Е Е, Е Еэ ГМ, Л1ь М,, М, э перспектив- Е УХ О з ном соотпетстиии со святкой. 7 3 Прямую щ, легко построить, зная ~ Мг прямыс О. О э п тоскостн ко!О 07 рых «гежйт эта прямая, н зная хх~ «едини шый луч« этой плоскости.

хг«- )«ля этого надо в системе коорди х ищ с началом 5, осями оэ, оз н единичной точкон леищщей иа прямой е! (отличной от 5), по- 7)тд строить точку р, !г,, х,). Прямая Зр, и буд т прямой шт, Так как Рггс. 293 (по дакаэзнному выше) зто построспие не зависит от выбора пситра свнэки, то в первой модели точку ЛЛ, можно построить, выбирая общую декартову. систему координат с началом 0', пе лежащим на прямой ЕТО О., ю чин О'0«и О'О«и единичной то !кой Е! Гнс 299) Чи рис 30) построеий точки Л!, !рм172), М.,— 170 2), Л1э(-171:0) и гочка,1! ( — !.'1: '7 дополыспиь го 3 а м е ч а п не. 1)рсдполо ким, час проектаппая плоскость (1 рсализоааиа а виде шраой модели и ато все |очки Ог, Оа, Оа, Е собствеипыс Заметим.

чго. приравнивая нулю числители формул (2;, выражающих проективпые коордипа. ты х,, х,, ха точки М черсз ее однородные коорлипаты, мы получим уравиеипя прямых ОаОа, О,От и 0,0а в ошаородиых координатах х, у, г. Зпамепатели ягс упомяиутых формул (2) являются рсзульта.ааы подстаповок одпоротпых кооРдинат сдииичиой точки Е в левые части УРтвиешщ стоРоп ОаОа, О„Ог, О,Оь базисного трс) гольиикз 0,0,0а. Значит, (х,).

)ха), (ха) процорциопальны рассто. Рис 299 Рис 300 яииям И„а(а, а(а от гочки Л( ..о сторон базисного трсугольиика, причем коэффициентами прапорциоиальаости служат расстояния йы 1г„(га от единя шой точки Е до сторон базисиого треугольника: (ха~=)гала (ха)=яаг(а, (ха(у йаг(а а что касаетса знака хм го в формулах (2) будет х, > О, есяи точки Еа п М лежат по одну сторону от прямой ОаОа, и ха<0, если — по разные.

Лпалогдчпо определяются злаки х, и хт в формулах (2). Выбором сдиипчпой точки можае добиться разли шыа илгерирсташшй Так, если Š— центр окрул кости, вписанной в Ет О,ОаО, ао (х,), ~ха( (ха~ гропорциоиальпы расстояниям от точка М до сторон бависиаго треугольипка, а знаки х„ха, ха выбираются, как указано выше. Если то ~ка Е совпадает с точкой псрессчеиия медиан базисного треуголь. ника, то х,:ха:ха= ЙВС:МСА:МАЕи такая система коордппат ичзыгастся бзрппеитрической.

Сцециальиые просктивпые сисаечы коор.ппшг широко прпмспялись в геоаасарии треугольника (в в прострапгаво — а гсочстрпч тстраэдра). )гоордвнаты точек аа плоскости называли при атом;рплппсйпы ап (и пространстве — тетраэзрическими) 2, Аптополярный треугольник Пусаь иа проектигиоп плоскости аадааа исраспадающаяся ливия С второ го порядка. Возьмем произво аьцую точку О,, ке лежащую иа линии С, и построим повару точки О, относительно лилии С. Эта поляра пе пройдет через точку О, Возьмем па этой поляра ~очку 0„ пс леясаптуао пт линии С, и построп а сс попару. Пусть Оа †точ пересечения поляр точек О, и О,,; тоглз точка Оа брист полаосоаг пРЯмой 0,0,.

ПРимсм точки О,, О,, Оа за базисные ишки пРоектпвпой системы координат. Треугольник ОаО,Оа обладает тем свойством, что творимы дгзлргл, плсклля и Грилн!поил каждая его вершина является по:пасом противоположной стороны (рис, 301). Такой треугольник пззывастся авзополяриым отпосптсльио ливии второго порядка С Пвппеч автополярный треугольвпк ОтОзОз линии С за базисный треуголь. щщ проскгивпой системы координат и пусть амхз+аззхз-',— аззхз+2а,зх,х +2а зхзтз-';2аззхэтг О (1) урзвпсипс линии С в этой сисгемс коорлиазт. Уравпспие поляры то пси Оз(1:О:О) имеет вид атзхт + из эхх + ас хз = О и эквивалсппю уравпепщо прямой ОзОз, т, е, уравпсппю х,=О. Отсюда следует, что аы = а„ =О. Лпалогичпо доказывается, что а,„ =- О Итак, уравпепие линии С пмсст вид Оз <Р=имх', фаззгз+и,„ге=О, (2) где ам за О, а,з ~ О, азз эа О.

Обратрхк для хиппи, закдпвой уравпеписл (2), при условии ат, ф О, азз Ф О, аз. Ф О, О, О каждая точка О, (1;О;О), О, (О:1:О), е Оз (О:О:1) является полюсом прямой, Рпс. 301 проходящей через две другие точки. Таким образом, для того чтобы уравпепие пераспадающейся линии второго порядка в проективиых координатах пс содсрэкало членов с произведениями координат, неооходиио я достаточно, чтобы базиспый треугольник ОтОзОз про- ективной системы коордипа| бьщ звтополярным, Преобразуем проектпвпую систему коорлиггат (0,0зОзЕ), сохраняя базисные точки О„Оз, Оз и п(щпимая в качестве новой единя шоп точки любую пз че- тырсх гогах: е'(х )Г ! ад,1: -' г' ) и„(: х р ',аю)) (набор злаков любой).