1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 15

пз —— ( — 1,0,1, — Ц, 35.16. Найти систему линейных уравнений, задающую систему векторов: а) ((1,-1,1,0), (1,1,0,Ц, (2,0,1, Ц); б) Я1, — 1, 1, — 1, .Ц, (1, 1, О, О, 3), (3, 1, 1, — 1, 7)). 35.17. Пусть Г,ы ...,Аь подпространства векторного пространства. Доказать,что: а) сумма этих подпространств является прямой тогда и только тогда, когда хотя бы один ее вектор однозначно представляется в виде хе+...+хм х,ЕА,; 3=1,...,к: б) условие А, Рг А = 0 для любых различных г и 1 от 1 до Ь не является достаточным для того, чтобы сумма этих подпространств была прямой. 35.18. Пусть подпространства 11,1' С К" заданы уравнениями х~ +хе+...+хп =О., хг =хе =...=х,.

Доказать, что К" = П бг 1', и найти проекции единичных векторов на 11 параллельно 1' и на 1' параллельно О. 35.19. Пусть в пространстве мл Г = ((1, 1, 1, Ц, (-1, -2, О, Ц), 1л = ((-1, — 1, 1, — Ц, (2, 2, О, Ц). к" 36. Лоднространстаа Доказать, что Ка = Г 6~ И, и найти проекцию вектора (4, 2,4,4) на подпространство Г параллельно И.

35.20. Доказать, что для любого подпространства Г С К" существует такое подпространство И,что К" = Г ЕЭ И. 35.21. Доказать, что пространство матриц М„(К) является прямой суммой подпространства симметрических и подпространства кососимметрических матриц, и найти проекции матрицы 1 1 ... 1 О 1 ... 1 О О .. 1 на каждое из этих подпространств параллельно другому подпространству. 35.22.

Пусть Г -- подпространство кососимметрических матриц, И --- подпространство верхнетреугольных матриц в Мп®. а) Доказать, что Г ю И = М„(К). б) Найти проекцию матриц Ео на Г и 1'. 35.23. Пусть Г -- подпространство симметрических матриц, подпространство верхненильтреугольных матриц в М„К). а) Доказать, что Г 6.' И = Мп(К).

б) Найти проекцию матрицы Е, на Г и И. 35.24. Пусть Р поле из е элементов, Г подпространство размерности т в пространстве И размерности п. Найти число таких подпространств И' в И,что 1' = Г 9 И'. 35.25. Пусть И линейное пространство над бесконечным полем Е и Ъ;,...,Ъь подпространства в И, причем И = 1'1 0 ... 0 1'ь. Доказать,что 1' = 1', для некоторого 1 = 1,...,к. 35.26. Пусть И линейное пространство над полем Р, Г, Их подпространства в 1',причем Г 0 И' = И. Доказать, что 1' = Г или 1 =И'. 35.27. Привести пример такого пространства И над конечным полем, что И = Г1 0 Га 'с1 Гз, где Гм Га, Гз — собственные подпространства в И. 8 Л.И.

Кастрикин 114 Гл. гХХ. Векторные пространства 3 36. Линейные функции и отображения 36.1. Пусть )л ~.' г р Лл 1 ~".. + 1; последовательность линейных отображений векторных пространств. Доказать, что П2 пв с1ппКетА; — ~ ЙщД;,/ 1гпАг) = с11пг 'во — Сйщ1'вл г=1 в=1 36.2. Пусть Р поле из 4 элементов.

Найти: а) число линейных отображений Е" в пространство Хль; б) число линейных инъективных отображений Гл в г ь; в) число линейных сюръективных отображений Е" в Е~. 36.3. Пусть линейное отображение А: И вЂ” в И' в базисах (еы ег, ег) ХО 1 2'1 пространства И и (Хы Хг) пространства 1И имеет матрицу Найти матрицу отображения А в базисах (еы ег + ег, ег + ег + ег) и Уы.Хг +.Хг). 36.4. Пусть Х, = Л ~х) г (см.

34.12), Л поле. Найти матрицу. ли- нейного отображения А: 1 (и) в-г Х" 1В) пространства Х в пространство Ха Ь1 ЛХ = Мг(Л), где Я = фиксированная матрица, если в Ь вы)с 4/ бран базис (1, л), а в ЛХ вЂ” базис из матричных единиц. 36.5. Пусть А,В: И вЂ” г И' - линейные отображения, причем с1пп11щ А) ( с1пп11щ В). Доказать, что существуют такие операторы С, в в 1' и И', что А = РВС, причем С 1или Р) можно выбрать невы- рожденным.

36.6. Пусть А,В: р — > И' линейные отображения. Доказать, что следующие усювия эквивалентны: а) КетА < КетВ, б) В = СА для некоторого оператора С в И'. 36.7. Пусть А,В: \х — > И' линейныс отображения. Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) 1щА С 1щВ: б) А = Вгг для некоторого оператора в в И. 36.8. Пусть А; 1г — г И' линейное отображение. Доказать,что существует такое линейное отображение В: Их -о И,что А = АВА, В = ВАВ. е Зб.,Пинеяньсе отобуаэеения 36.9. Пусть 1' = Н(х)„и отображения о' (а 6 К), Д', ус пространства Ъ' в Й заданы правкпами с.стс о'(1) = 1(а), сз'® = усб(0), ус® = / 11х) с1х.

а Доказать, что системы: а) ое ос с„а. б) 6а Д~ еесь в), О, с, а. являются базисами сопряженного пространства Г*. 36.10. а) Доказать, что для каждого базиса сопряженного пространства 1'* существует единственный базис пространства К, для которого данный базис является сопряженным. б) Найти этот базис в задаче 36.9, а). в) Найти этот базис в задаче 36.9, б). 36.11. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции )' на п-мерном пространстве К существует базис (еы..., еа) пространства 1' такой, что Дхсес +... -~-х„е„) = хз для любых коэффициентов хы, .., х„. 36.12.

Доказать, что всякое к-мерное подпространство и-мерного пространства является пересечением ядер некоторых п — Й линейныи функции. 36.13. Пусть 1 ненулевая линейная функция на векторном пространстве К (не обязательно конечномерном), бс = Кег )'.

Доказать, что; а) Г максимальное подпространство 7,т.е. не содержится ни в каком другом подпространстве, отличном от 1'; б) е' = Г б1 (а) для любого а ф Н. 36.14. Доказать, что если две линейные функции на векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они различаются линейным ьсножителеьс. 36.15. Доказать, что п линейных функций на и-мерном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство. 36.16. Доказать, что векторы еы .,,,еь конечномерного пространства К линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют линейные функции 1'с....., С"е Е К' такие, что с1ет (1с(е, )) ф О. Гл. У1!.

Венторнь~е провтрпнстпвп 36.17. Для всякого подмножества (1 конечномерного пространства Р и для всякого подмножества, И~ сопряженного пространства 1л* положим По =(У б 1л*~ 1(х) = О для любого х е Г), И'~ =(х Е Ц т" (х) = 0 для любой функции ( Е Ъ"). Доказать, что; а) По ---подпространство в 1'*,и если П --.

подпространство,то сйпо'+ вйюою = вйю'в'; б) если 1Д и О'з - - подпространства в 1~, то 11~~ — — Г~з тогда и только тогда, когда 11~ = Пз; в) для любого надпространства 11 пространства 1т (о.о)о (в1~ 0Г~) С +П 36.18. Доказать, что пространство многочленов Я(х) не изоморфно своему сопряженному. 36.19. Пусть 1в, 1я -- две линейные функции на линейном пространстве )", причем 1в(х)1з(х) = 0 для всех х Е 1'.

Доказать, что одна из функций нулевая. 36.20. Пусть !ы ...,1ь — линейные функции на линейном векторном пространстве 1л над бесконечным полем. Доказать, что если 1в(т)...1ь(х) = О для всех х е 1Г,то одна нз функций нулевая. 36.21. Пусть К .. конечное поле из д" элементов, Р -. подполе в К из д элементов, 1(х) = х + хв +... + хв, х б К. Доказать, что: а) 1(х) — линейный оператор в К как векторном пространстве над Х'; б) ядро оператора 1(х) состоит из всех элементов вида а — ав, где не К; в) Е лежит в ядре оператора 1(х) тогда и только тогда, когда характеристика поля К делит и. Глава Ъ'111 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИх1НЫЕ ФУНКЦИИ 5 37. Общие билинейные н полуторалннейные функции В этом параграфе предполагается, что характеристика основного поля отлична от двух.

37.1. Какие из следующих функций двух аргументов являются билинейными функциями в соответствующих пространствах: а) У(х, У) = т У (и, у с г'" .. столбцы, Ь . - поле); б) 1(А, В) = Гг(АВ) (А, В е М„(г'), и' --- поле); в) 1(А, В) = гг(Л — ВА); г) 1(А, В) = бег(АВ); д) 1(Л,В) =Ь (А+В); е) У(А, В) = 1х(А . 'В); ж) У(А,В) = Ьг('Л. В); з) ((А, В) — — коэффициент на месте (г,1) матрицы АВ; и) 1(и,и) = Ве(ии) (и,и е С., С векторное пространслво над Щ; к) 1(и,и) = Ве(ир): л) 1(и,.и) = ~ии~:, м) ((и,и) = 1ш(ии); га н) 1(и, и) = / ии й (и, и непрерывные функции аргумента Ь 6 на отрезке [а, Ь)); га о) 1(и,и) = / ии с(Ь (и,и — дифференцируемые функции наоть резке [и, Ь), причем и(а) = и(Ь) = и(п) = и(Ь) = 0); га п) 1(и, и) = / (и+ и) Л1: Гп.

'еП1. Бнпннейнлле и кеадуалпнннме функции 118 р) 1(и, о) = (ио)(о) (и, о Е Р(т), о Е г'); с) 1(и,о) = — (ио)(а), е11 т) 1(и,о) = ~и+о~ — ~и~ — ~о~ (и,о е ллз); у) у(и,о) = -(и х о) (х - - векторное умножение, е(т) -- сумма координат вектора т в заданном базисе). 37.2. В конечномерных пространствах из задачи 37.1 выбрать ба:зис и найти матрицы соответствующих билинейных функций. 37.3.

Пусть Е поле и Р(т) поле рациональных функций от переменной и. Доказать., что отображения я е-л еи" задают автоморфизмы второго порядка в Р(л), где е, т = ж1 и (е, т) ф (1, 1). 37.4. Пусть р,а различные простые числа. Доказать, что вещественные числа вида а+ Ь lр+ с Я+ е1 ра, где а, Ь,с,е) Е Я, образуют подполе ф /р...Я) в К. Проверить, что отображение т -э т, = а — Ь,~р+ сЯ вЂ” е1л/рд является автоморфизмом второго порядка в этом поле. 37.5. Пусть Е поле с автоморфизмом а — л а второго порядка. Какие из следующих функций двух аргументов являются полуторалинейными функциями в соответствующих векторных пространствах: а) 1(а, Ь) = 'а.

Ь (а, Ь Е Е" столбцы); б) 1(А,В) =1г(АВ) (А, В Е Мп(Е)); в) 1"(А,В) = е1е1(АВ); г) 1(А,В) = сг(А 'В); д) у'(А,В) = лг(А 'В); е) 1(А, В) элемент, стоящий на месте (л, Я матрицы АВ; ж) у(А, В) — элеллент, стоящий на месте (л, 1) матрицы А'В; а' з) 1(и, о) = — (ио) (а), (и, о Е г'(т), а Е г'; применение автоморфизах ма к ллногочлену означает применение его ко всем коэффициентам). 37.6. Найти матрицу билинейной функции 1 в новом базисе, если заданы ее матрица в старом базисе и формулы перехода: з 1 2 3 е1 е! е2 а) 4 5 6 , е~ = ел + ез, 7 8 9 е', = ел + ез + ез; у У7. Общие билинейные и нолуторалинейные функции П9 с О 2 1 е)1 — — е) + 2еа — ез б) — 2 2 О, е!~ =еа — ез, — 1 0 3 е', = — е1+е.