1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 16

— Зее. 37.7. Пусть полуторалинейная функция у в двумерном комплексном пространстве с базисол) (ем еа) задана матрицсй В. Найти матрицу В' функции 1 в базисе (е1, е!а), где: е, = е1 + )еа, ) е!~ = +1е) + еа, е', = 2е) — 1е), е, = бе1+еа. 37.8. Пусть билинейная функция у задана в некотором базисе матрицей Р. Найти Дх, д), если: х = (1,0, 3), д=( — 1,2,— 4); х = (1+1, 1 — г, 1), д = ( — 2+ 1, — 1б 3+ 21), 0 2 — 1 1 — 1 37.9.

Найти значение Д(х, д) полуторачинейной функции, заданной в некотором базисе комплексного пространства матрицей В, ес- б) В= — 1 2+31 37.10. Пусть д — билинейная функция с матрицей С в некотором базисе пространства 1', А - линейный оператор в 1б с матрицей А. Найти в этом базисе матрицу билинейной функции 1(иб о) = д(и, А(е)), если) 37.11. Пусть д полуторалинейная функция с матрицей С в некотором базисе линейного пространства 1~, А линейный оператор 1 — 1 1 а) г'= — 2 — 1 3 0 4 5 1+ б) Е= — 1+1 О 2+1 3— 1 — 1 О а)С= 2 Π— 2 3 4 5 О 1 2 б)С= 4 О 3 5 6 О х = (г, — 2), у = (1 — г, 3+1); х = (2,1+ 3), у = ( — г,б — 21), А= — 3 — 4 2 А= 4 — 1 — 2 12О Гл.

1П1. Билинейные и веаднатиянме фднввви в 1' с матрицей А. Найти в этом базисе матрицу полуторалинейной функции Д(п,е) = д(и, А(е)), если: "=(' -') — и+1 0 б)С=( 37.12. Найти левое и правое ядра билинейной функции 1, заданной в базисе (ем ея, ез) матрицеи: а) 3 — 5 5; б) 1 3 5 ЗТ.13.

Пусть Е = Я(у'3) и х = а — Ьт/3, если х = а+ бтУЗ, где а,б б С). Найти в двумерном векторном пространстве над Г левое и правое ядра полуторалинейной функции, заданной в базисе (ем ее) матрипей: 1 ь ъ'3 — 1 — ъ'3 — 3 — 2 3 37.14. Найти левое и правое ядра билинейной функции 1(х, д) = = (х, А(у)), где А линейный оператор с матрицей .4 в ортонормированном базисе (ем ея, ез) евклидова пространства: а)А= 3 — 5 — 2; б)А= 3 — 2 2 ЗТ.15. Пусть Е, х из 37.13.

Найти левое и правое ядра полутора- линейной функции 1(х, д) = д(х, А(д)), где А линейный оператор с матрицей А, д ..полуторалинейная функция в двумерном пространстве, имеющая в базисе (ем ез) единичную матрицу; 0 ' ) 2у' 0 37.16. Пусть 1" билинейная функция с матрицей Р на векторном пространстве Ъ', П вЂ” подпространство в 1'. Найти левое и правое ортогональные дополнения к Г относительно 1 (т.е.

максимальные подпространства (1~ и оз такие, что Д(ГмП) = Д11, Пе) = 0), если: 4 1 3 а) Г = 3 3 6, П = ((1,— 1,0),( — 2,3,1)); 5 9 х 37. Общие билинейные и иолуторалинейные функции 121 6 — 8 5 б) Е = 5 — 5 3, Г = ((2,0,— 3),(3,1,— 5)). 1 — 3 2 ъгз 2, П = ((1гО, Л),(0,2,1)); 0 2 1, Г = ((1, -уУ3,2)). ъ'3 1+ АЗ 2 а)С= 0 1 1 — АЗ 2 1 — багз б)С= 2 0 1 1 — ъ/3 37.18. Пусть Е' конечное поле из пз элементов, причем х = хе для всех х Е Е. Предположим, что К конечное поле, содержагцее Е и и = с11щк К.

Доказать, что: а) х — у х автоморфизм второго порядка в Г; б) функция г г г — г я(х,р) =ху'+х' у' +...+хо р' является полуторалинейной функцией в К как векторном пространстве над Е; в) функция 1(х, у) из б) невырождена; г) найти яевое и правое ортогональные дополнения к Е в К относительно ф(х,у). 37.19. Пусть Е = Я[г), К = Г[ггГ2[. Рассмотрим К как векторное пространство над Е.

Доказать,что: а) с1ппр Л = 2; б) функция л'(зг тзз'/2,1г+1зьг2) = зг1г+2зз1з, где черта означает комплексное сопряжение, является полуторалинейной функцией в К как векторном пространстве над Е; в) найти матрицу. 1 в базисе ег = 1г ея = ъ'2; г) доказать, что функция у невырождена; д) найти левое. и правое ортогональные дополнения к К в Х относительно 1.

37.20. Пусть Е = С(х) поле рациональных функций с автоморфизмом, при котором х — ~ ех', где е, т = х1, (е, т) у'= (1, 1). 37.17. При Р, х из 37.13, и 1 полуторалинейнал функция с матрипей С на векторном пространстве 1', Г подпространство в 1'. Найти левое и правое ортогональные дополнения к Г относительно 1, если; 122 Гл. УП1. Бнлинейньге н кеадратнннме функции а) Доказать, что многочлон у~ — х Е Г[у) неприводим над Г. б) Доказать, что в поле К = Г[у)/(ул — х) как векторном пространстве над Г функция ф(и, и) = и(х, у)и(гх", у) + и(х,1у)и(ех',1у)+ +()(г)+(,)(г;) является полуторалинейной. в) Найти матрицу 1'(и,и) в базисе 1,у,дз,уз пространства К над полем Г. г) Доказать невырожденность функции 1.

д) Найти левое и правое ортогональные дополнения к линейной оболочке (1, д) в К. е) Найти в К такой базис ие, иг, из, из, что 1(иг, У') = 4„где 1,1 = 0,1,2,3. 37.21. При каких из следующих элементарных преобразований базиса матрица билинейной функции меняется так же, как матрица линейного оператора: а) (ег,...,ео ..,,ен) — г (ег,...,Ле;,...,е„); б) (ем..,,ео...,ен) — з (ем...,ее+ Ле,...,е„) Ц 7'-1); в) (ег,...,е,,....,е,,....,.ен) З (ег,...,е,,е„...,ен)? 37.22. Найти связь между матрицами А, В, С линейных операторов А, В и билинейной (полуторалинейной) функции д в некотором базисе пространства и матрицей Г билинейной (полутораяинейной) функции ф(х, д) = д(А(х), В(у)) 37.23.

Доказать, что всякая билинейнзл (полу.торалинейная) функция 1 ранга 1 может быть представлена в виде произведения двух линейных функций р(х)д(у) (соответственно р(х)д(у)). К какому простейшему виду можно привести матрицу функции 1 с помощью замены базиса? 37.24. Пусть е = (ег,..., ен), е' = (е',,..., е'„) два базиса пространства 1', С матрица перехода от е к е', 1 — — билинейная (полуторачинейная) функция на 1' с матрицами Г и Г' в этих базисах.

Найти связь между матрицами Г, Г'. 37.25. Доказать, что билинейные и полуторалинейныс функции гг(АВ), сг(А'В), гг(АВ), гг(.4'В) на пространстве Мн(К) являются невырожденными. я а7. Общие билинейные и ««алуторалинейные функции 123 37.26. Доказать, что размерности левого и правого ядер билинейной (полуторалинейной) функции совпадают, однако сами ядра могут и не совпадать. 37.27.

Пусть 7" -- невырожденная билинейная (полуторалинейная) функция на пространстве Г. Доказать, что для любой линейной функции р найдется единственный вектор и Е И такой, что р(л) = = 7" (т«и) для лн>бого ж Е И, и отображение р «-1 и является изоморфизмом пространств И' и 1'. 37.28. Пусть г" .- - матрица невырожденной билинейной функции 7 на вещественном пространстве размерности п. а) Доказать, что при нечетном п матрица — г' не является матрипей функции 7' ни в каком базисе пространства И, б) Верно ли утверждение а) для четного п? в) Верно ли утверждение а) при четном и для диагональной матрицы Г? 37.29.

Пусть для ненулевой билинейной (полуторалинейной) функции 7" на пространстве И существует такое число е, что для любых л,у Е 1'' ф(у«я) = еф(ж«у) (соответственно 7(у, ж) = еу'(х, у)). Доказать, что: а) е равно 1 или -1; б) если Г«и Гд вполне изотропные подпространства относительно 7, имеющие одинаковую размерность, и Г«Г1 Ц = О, то ограничение 7' на их сумму Г«+ Г~ - — невырожденная функция; в) если И««и И'«максимальные вполне изотропные подпростРанства относительно 7" и И'«Р1 И'а = О, то «11п«И«« = с11ш И'я; г) если невырожденные билинейные функции 7«и уа удовлетворяют рассматриваемому условию (при одном и том же е) и относительно каждой из них И является прямой суммой двух изотропных поДпРостРанств,то фУнкпии 7« и 72 зквивалентны.

37.30. Пусть 7" билинейная (полуторалинейная) функция на пространстве Ъ и для любых ж,у Е й' из равенства 7(я,у) = О вытекает 1(у,л) = О. Доказать,что: а) если 7" билинейная функция, то 7' симметричная или кососимметричная функция; б) если 7" полуторалинейная функция,то 7" либо зрмитова, либо косоэрмитова функция. Гл. й'1П. Билинейнлле и кеадуатинные функции 37.31. Пусть 1ы 1г билинейные (полуторалинейные) функции на пространстве йз с базисом (еы...,еи). На пространстве И' с базисом (аы,аю,, ..,апо азы...,аги,...,аны...,а,„„) определим билинейную функцию 1, положив 1йа„, аы) = 1л (еь еь)1г(е1, ел).

а) Найти матрицу функции 1 в заданном базисе. б) Доказать, что если пространство й' является прямой суммой вполне изотропных надпространств относительно 1м то И' является прямой суммой вполне изотропных надпространств относительно 1. 37.32. Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли билинейные функции: а) фл(х,у) = 2хлуг — Зхлуз+хгуз — 2хгул — хзуг+Зхзуы фг(х,у) = хлуг — хгдл + 2хгуг + Зхлуз Зхзуб б) 1л(х, у) = хлуз + лхлуг, 1г(х, у) = 2хлул + (1+ г)хлуг + (1 — л)хгдл — гхгуг.