1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 12

В условиях задачи 28.32 доказать, что 1ь равно сумме т1„д для всех делителей т числа Й. 28.34. Пусть 1 из 28.32. Доказать, что 2 29. Рациональные дроби 91 3 29. Рациональные дроби 2 з) хь + 27' 2оь л),, гп(п. Х2а 2х — 1 и) ( + 1)г(хг + . + 1)2 ' 1 ( ' — 1)2 1 29.3. Разложить на простейшие дроби над Хю хо — х 29.4. Доказать, что для любых ненулевых многочленов 7, д (й)' Г д' — = — + —.

19 1 д 29.5. Пусть 1 = (х — аь)... (х — аи). Доказать, что 1 1 +...+ х — аг х — и„ 29.1. Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей над полем комплексных чисел: х' 1 х (х — Ц(х + 2)(х + 3) ха + 4' (х' — 1) бхг + бх — 23 1 г) ; д) (х — 1)2(х + Цг(х — 2)' (х — 1)(х — 2)(х — 3)(х — 4)' 3+х хг 1 (х — 1)(хг + 1) хл — 1' хз — 1 ий 1 1 и) ; к) , ; л) х(х — Ц ...(х — и) (х2 1)2 ' ' (ха 1)2 ' 29.2. Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей над полем вещественных чисс.г; х х а) ; б) ; в) ха — 16' ) л + 4' ( + 1)( 2 1)г' 1 1 г); д) (. 4 1)г' сов(п асс сов х) 1 е) —, где много шен 1(х) степени п имеет и различных вещест,((х) ' венных корней; 1 ж) хд — 1 рл.

$'й Мнозочлеяы 3 30. Интерполяция 30.1. Найти многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений: а) б) 30.2. Доказать, что многочлен степени < и, принимающий целые значения при п последовательных целых значениях переменной, принимает пелые значения при всех целых значениях переменной. Верно ли., что такой многочлен имеет целые коэффициентыд 30.3. Доказать. что всякая функция 1: Р— ~ Е на конечном поле Е нз д элементов однозначно представляется в видо многочлена степени < д. 30.4.

Доказать, что многочлен степени < и., принимающий в точках .гы..., х значения уы..., у„, равен д(х)'Г '- (х — хц)д'(х,,) где д(х) = (х — х1)...(х — хо). 30.5. Многочлен ((х) степени не выше и — 1 принимает значения уы..., уо в корнях степени и из 1. 11айти 1(0). 30.6. Доказать, что точки хы...,хо Е С являются вершинами правильного и-угольника с центром в точке хо тогда и только тогда,когда для любого многочлена ((х) степени < п выполняется равенство 1 )'(хо) = -„У(х1) + + ((х.)) 30.7. Пусть все корни х,,..., хо многочлена ) (х) различны.

а) Доказать, что при любом неотрицательном целом в < и — 2 б) Вычислить сумму и о Х ~оч Г(х;)' у Уб Симметрические мноеочлены и формулы Виета 93 30.8. Найти многочлен степени 2пч дающий при делении на х(х — 2)... (х — 2п) остаток — 1. 30.9.

Построить над Хр многочлен 1(х) наименьшей степени с условием 1(1е) = л 1 для й = 1, 2,..., р — 1. 30.10. Построить над Хт многочлен 1(х) наименьшей степени с условием 1(О) = 1, 1(1) = О и 1(к) = й для й = 2, 3,4, 5, 6. 30.11. Пусть Уо -- поле из д ) 2 элементов, с -- образующий циклической группы У". Доказать, что группа подстановок Яю реатизуемая на Уд, порождается отображениями ((х) = х + 1, 6(х) = сх, д(х) = хо 30.12. В усжовии 30.11 доказать, что знакопеременная группа Ао порождается многочленами сэх, х + 1, (хо э + 1)о 30.13. Пусть 1о,..., ки — натураиьные числа и х„бб - элементы поля Р нулевой характеристики, где ю, '= О,..., гц 1 = О,..., к, — 1. Предполагается, что элементы хо,..., хи различны. Доказать, что существует единственный многочлен 1(х) Е Е(х) степени не выше Йо + ...

+ Йи — 1 такой, что уо(х,) = бо дла всех 1,11 30.14. В условии задачи 30.13 положим где С,;(х) = П,,(х — хо)» . Доказать, что 1(х) — - многочлен степени не выше Йо+... + й„— 1 и (О~(хе) = 6,. длл всех г, 11 3 31. Симметрические многочлены и формулы Виета 31.1.

Построить многочлен степени 4 со старшим коэффициентом 1, имеющий: а) корни1,2, — 3, — 4; б) тройной корень -1 и простой корень с:, в) корни 2, — 1, 1+1 и — г; г) двойной корень 3 и простые корни — 2 и — 4. 31.2. Найти сулему квадратов и произведение всех комплексных корней многочлена: 1'л.

Р1. Мнооонленог а) Зхз+ 2хг — 1; б) хл — хг — х — 1. 31.3. Найти сумму чисел, обратных комплексным корням много- члена: а) Зхз+ 2хг — 1; б) Х4 — хг — х — 1. 31.4. Найти значения всех элементарных симметрических много- членов от комплексных корней и-й степени из единицы.

31.5. Определить Л так, чтобы один из корней многочлена хз — 7Х + Л равнялся удвоенному другому. 31.6. Сумма двух корней многочлена 2хз — хг — 7х + Л равна 1. Найти Л. 31.7. Определить соотношение между р и о, при выполнении которого корни хг, тг, хг многочлена хз+рх+ о удовлетворяют условию 1 1 хз = — 4- —.

Х2 Х1 31.8. (Критерий Вильсона.) Доказать, что (р — 1)! = — 1 (щоб р) тогда и только тогда, когда р простое число. 31.9. Следующие многочлены выразить в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов: а) х,тг+ Х1хг+ х,хз + хгхз + хгхз+ хгхз' 2 2 2 2 2 2. б),4+ 4 4 22 г 2хгхг 2г1. В) (Х1Х2 + ХЗУ4)(Х1ХЗ + Х2Х4)(Х1Х4 + Х2ХЗ); Г) (Х1 + Х2 — ХЗ вЂ” Х4) (Х1 — Х2 + ХЗ вЂ” Х4) (Х1 — Х2 — ХЗ + Х4) ) Д) (хг + хг + 1)(х1 + хз + 1)(хз + хз + 1); е) (Х1хг + г з)(хгхз + хг)(хгхз + Х1) ж) (2х1 — хг — хз)(2х2 — х1 — хз)(2хз — х1 — х2); 3) (х1 + хг)(Х1 + хз)(Х1 + Х4)(тг + хз)Фг + Х4)(хз + Х4):, И) ХЗХ2 + Х2Хо 4 Хох2 + Х2ХЗ + Х5 '2 + Х2Х5 к) (Х1 — 1)(Х2 — 1)(хз — 1); л) хг + ...; м) х, + ...; н) х",хгхз + ..., о) х;хг + ...; п) хгхгхз + ...; р) х:х, + ... 31.10.

Найти значение симметрического многочлена Е от корней многочлена 1(х)1 а) г = хг(хг+хз)+хг(хг+хз)+хз(х~+хг), 1(х) = х — х — 4х+1; З ЗК Симметрические мноеочлены и формулы Бисти 95 б) г = 21(х2хз + х2х4 + хзх4) + хг(х1хз + х1х4 + хзх4) + »-ХЗ(Х1Х2 + Х1Х4 + 22Х4) + Х1(Х1Х2 + Х1ТЗ + Х2ТЗ), ~(х) = х4 + хз — 2хг — Зх+ 1; в) е = (х1 — хг) (х1 — хз)г(хг — хз), ((х) = х + птх + пгх+ я», г) Г = 2 х' х„т"(х) = Зхз — 5хг+ 1; »=1 з д) Г = ~ хзх,, ~(х) = Зхя — 2х'+2Х'+х — 1.

1<1<1 <4 е) Г = (х1 + хгхг + хгг) (х,"' ,+ х хз + хз) (х1 + хгхз + хгз), У(х) = 5хз — бтг — 7х — 8 31.11. Пусть х1,...,х„корни много тена х" + о„гхи ' +... ... + по. Доказать, что любой симметрический многочлен от хг, хз,..., х, можно представить в виде многочлена от х1. 31.12. Пусть ах, элементарный симметрический многочлен СТЕПЕНИ К От Х1,..., Х, 1, Хост,..., Х„. ДОКаэатЬ., Чта сть, = ая — х,аы 1 +... + ( — 1)" х,"1 а, + ( — 1) "х," (считается, что а = О при т > п и а„н = О при т > и). 31.13. Рассмотрим многочлен Л, = (1 + .11)... (1 + .„1) от переменных 2:1,..., Хю 1,. Доказать, что Ле — — 1+ст11+агсг+...+а„з".

31.14. Пусть Ле из задачи 31.13 и зг = Х11'+... + х г Доказать, что — (1пЛ,) = ~ (-1)"зхз"-'. сгс 1>О 31.15. Доказать формулу Ньютона зя — а1зь 1+ 1тгзх г+ + ( — 1)1 ~ао 1з1+ ( — 1)акая = О (считается, что ах = О при й > и). 31.16. Доказать, что в условиях задачи 31.15 а1 1 О ... О О 2о2 ст1 1 ... О О (й — 1)аь-1 аь-г аь-з ... с 1 алсос о1,, а1 г ... 1тг Стт рл. 'е'2'.

Мноеочиенбб 96 31.17. Доказать, что в условиях задачи 31.15 1 О ... О О зг з1 2 ... 0 О 1 нь = И зь-г зь-з ... з1 Й вЂ” 1 ЗЬ вЂ” 1 Зз' — г . зг з1 31.18. Найти з„, от корней многочлена Ф„(х). 31.10. Найти з1,... б зи от корней многочлена и — 1, и — г 1 Х + + + ° ° ° + 1! 2! и! 31.20. Вычислить значения симметрических многочленов еь от комплексных корней Й-й степени из 1.

31.21. Рсгпить над полом комплексных чисел систему уравнений: '( б1 ( хг+хг+хг = 6, з— х1 + хг + хз хгхгхз = 4 з з з Х1хг + Х1ха + хгх4 = — 3. хг+хг+хз =О, х1+хг + ха = 0; хз + хз + хз з—— 24; 31.22. Доказать, что значение от корней степени и из 1 всякого симкеетричсского многочлсна от п, переменных с целыми коэффициентами является целым числом. (х — а)(х( — а)... (Х( — а) = ( — 1) ~ (х — а ). 31.24. Пусть ( первообразный комплексный корень степени к из 1 и Д~х) .

многочлен с комплексными коэффициентами. Доказать, что а) )б,х)1б',х().. 1'б,х(~ ') = ьб,хь)б где 6(х) -- многочлен; б) корнями ецх) являются в точности й-е степени корней много- члена Дх). 31.25. Найти многочлен третьей степени, корнями которого являются: а) кубы комплексных корней многочлена хз — х — 1; б) четвертые степени комплексных корней многочяена 2хз — хг+ 2. 31.23. Пусть ( — первообразный комплексный корень степени й из 1. Доказать, что для любого комплексного числа а у З7. Симметрическое многочнены и формунсн Виста 97 31.26. Найти многочлен четвертой степени, корнями которого являются: а) квадраты комплексных корней многочлсна х' + 2х — х + 3; 1 г б) кубы консплексных корней многочлена х — х — 1.

31.27. а) Пусть 7"(хм...,хн) кососимметрический многочлен от хм..., х„. Доказать, что 7(хм. х ) =гз(хс . х )9(хс . х ) где Ь(хы, .., хо) -- определитель Вандермонда, а д(хм, .,, х„) симметрический многочлен. б) ПУсть И,хы...., хн) — симметРический многочлсн, пРичем ее(хм хм хе,...,х„) = О. Доказать, что а(хм..., х ) = Ь(хм..., х„) и(хм, .., х„), где и(хм..., х„) симметрический многочлен. 31.28. Пусть й 7 <а «...еи <о и Лс из задачи 31.13. Доказать, что: а) л = Е( — 1)ьья1Ф; я>о б) ось — 7сспн 7 + ...