Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 65

е для решений снстсхни уравнений Коши — Римана, а также для решении более обьцих систем уравнении с чзстиымн пропзводнымн, применяется метод сингулярных интегральных уравнений. Он состоит в сведении краевых задач к некоторым интегральным уравнениям иа границе рассматриваемой области. При этом в дополнение к заданным граничным условиям используются следствия самой системы дифференциальных уравнений — соотношения, которым должны удовлетворять фуннции (и их нормальные производные) на границе области, чтобы нх можно было доопределить внутри области до некоторого решения соответствующей системы.

В случае аналитических функций в это илассиьесное условие Сохоьького — Племеля, которое возникает при переходе в интегрзльной формуле Коши 1 Г((и 2м(зь — г 7 к пределу при стремлении и к границе у. В случае дифференциальных уравнений второго порядка соответствующее условие возникает из формулы Грина, выражающей решение в каждой точке области через значения этого решения и его нормальной производной иа границе. Чтобы получить это условие, также надо перейти к пределу при стремлении точки изнутри области н ее границе, воспользовавшись свойствами потенциалов простого и двойного слоев.

Метод внутренних граничных условий па идее аналогичен описанному методу редукции краевых задач для уравнений с частными производными к интегральным уравнениям па границе. Роль дополнительных граничных условий, аналогичных условьио Сохоьького — Племеля, играьот внутренние грапичпьье условия, возникавшие пз разностного аналога интегральной формулы Коши (илп разиостного аналога формулы Грина).

1. Класс систем разностных уравнений. Рассматриваются краевые задачи для общих систем разностпых уравнений с постоянными коэффициентами, к ьторые в векторной записи имеют вид 1.п= ~ Ааьья+з — (п, (1) зс К (и ) й — (й й, й ) — мультиипдексы, А х — ивадртт иые матрицы, ьь. — заданная п и — искомая вектор-функции, К вЂ” конечное ;шожество (шаблон). Будем предполагать, что система (1) удовлетворяет следуьощему алгебраическому условию. характеристическая матрица АК)= Х АЖ (2) ЗыК 420 ДОПОЛь!ЕНИЕ где в = в, ... с,г и $„ ..., в, — комплексные параметры, не является тож.

— г дествеино по $ вырожденной: (4') ~К ' А,О„, = — й1 ... й1 дй, ... йй, = б"„В, 1 Г Г А ($] А !($) (2н!)~ ~"!+' ~"т+ ашК ! ' ' г 1 Г Г А !(Е) А ($) а ы К е 3. Граница сеточной области. Рассмотрим уравнение (1) на некотором Ограниченном множестве (и= — ~ Аьи„+ь )я, аш Рь ашК (б) где Рь — проиавольная сеточная область определения правой части )ь. Тогда область определения решения и„ есть множество Р, которое пробегает точка де1 А (й) ма О. (з) Это ограничение естественно: можно показать, что в случае де1А(С) О уравнение (!) имеет решение не при всякой финитной (по а) правой части ! .

2. Фундаментальное решение. Матричную функцию О назовем фундаментальньгм решением системы (!), если она одновременно удовлетворяет следующим двум уравнениям: А„О„ь б",Е, (4) ЬшК О„ьА = баЕ. емК Лемма. Пусть 9(С» ..., В!) есть произвольный многочлен от произвольного числа ! комплексных аргульентое, не обращающийся тождественно в нуль.

Тогда можно выбрать радиусь! т! окружностей Я,) = т! так, чтобы еыполнялось нераоенстео Сг($» ° ° ° $~) чь О, если )$~) = т» ..., (В,( = т» )х о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией по числу аргументов !. При 1 = 1 число корней Я($,) = О конечно и утверждение очевидно. Считая, что утверждение доказано для ! = р, установим его в случае ! = р + 1.

Много- член гг(ьь, Ьь!) расположим по степеням В ьп О6! " ~р!)=Ооб! " ~р)~о+!+ " +Она! "" $р) где М вЂ” некоторое натуральное число и Яь(в!, ..., йь) не обращается тотндественно в нуль. Выберем т!, ..., тр так, чтобы Оь(с» ..., $р) ~ О при ( в! ) = т» ..., ) в р ) = т ю Это возможно по предположению индукции. Выбирая теперь трь! достаточно большим, можно добиться, чтобы при )и!) = т!. ! = 1, ..., р+ 1, выполнялось неравенство О(Ь ., ать!) Ф О. Т е о р е м а 1. Матрица О, определяемая равенством (1!(-т! '! '" 'г является фундаментальным решением. Здесь т! в соответствии с леммой выбраны так, чтобы де1 А(в) чь О, если (Ы= т!.

Д о и а з а т е л ь с т в о получается непосредственной проверкой. Учитывая сиойства вычетов, получаем 421 МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ л+ й, если л и й пробегают независимо Вг и К соответственно. Сопоставим каждому г ш В подмножество К, множества К, состоящее из всех тех й гм К, для которых г — й гм Ве.

Границей Г назовем совокупность всех тех точек г гж В, для которых К, непусто. Наприлгер, для простейшего разностного аналога уравнения Пуассона ьи = — ии;г л, + или и,+г + ии,+~ л, + ) л, ( < йг, 1 пг ( < Лг; дгй = 1, множество Ва состоит нз тех точек (лгй, лгй) кото% ые попали внутрь квадрата (х~) < 1, )хг~ < 1. ножество К вЂ” из пяти векторов (1, 0), (О, 1), ( — 1, 0), (О, — !), (О, 0).

Множество  — соао- Рис. 57. нупность всех целочисленных точек квадрата лг( ~ гу, )пг( < АГ, кроме четырех угловых гч) = )лг) = Аг. Граница Г состоит нэ двух слоев точек, отмеченных на рис. 57 крестиками. 4. Разностные аналоги интегральных формул Коши и типа Коши. Л е м м а.

Врать  — произвольная матрица-функция, для когорой имеет смысл умножение справа па квадратную матрицу порядка т, определенная ~а всей целочисленной сетке. Справедливо следующее тождество: В л ~ Аэил+А—= имог А ад ( ~ В-п+ААА'1 ил- ~ ( Е В г<-ААА)ио лшрташК 7 гшГАА Д о к а з а т е л ь с т в о.

Вектор-функцию и, л ш Р, можно записать в виде ил = ~ Ь„ил. гшр Левая и правая части тождества (7) линейно зависят от и. Поэтому для доказательства достаточно проверить справедливость тождества(7) для вектор-функции ~0, если л Мг, о ив и о = — 6'и л и и л (и если п=С р при каждом фиксированном ( ш ГИ В-л ~ Аьо +а ли 2 ~, В-иААоиже— л Р, А К А ш К л ш Рг Ьр АВ г+АААо, лл ~ В +ААеог — ~ В г+ААаог = АшК АшК А К, ( й В и+ААА1 ои — йи ( ~ В +КАА1 о, г А (1, если à — йгмВш где бр АО, если 1 — йшВ„. ДОПОЛЫЦЫИЦ Т е о р е м а 2. Пусть (и ), л щ О, — произвольное решение уравнения (6)', а 6„— произвольное фундаментальное решение.

Тогда справедлива формула 6 ьАь')и + ~ 6 г — ) и», если лщ0, (8) гтГ)ьтн / тып ( О, если л гм О. ггн = ~ / ~ 6н-г+нАнтзот+ ~' Сн-т'яг, л щ О, (9) гтР(,ьтК / теаг задает некоторое решение уравненил (6). Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим оператор В к вектор-функции (и„), определенной формулой (9): 1-ин = ~ Г )' (Вбн-г+ь)Аь ~ о, + ~ ((.6н-т) (т, л гш Оь (10) г е Г ( Ь й7( г т т Ог Вычислим правую часть. В силу (4) имеем Е. если л=г — й, Ю~-гьз= О. если л Ф г — й. По в силу определения множества К, точка л = г — й не принадлежит Ое, так что первое слагаемое в правой части формулы (10) есть нулевой вектор, Второе слагаемое есть, очевидно, („, так что Ви = г' .

и теорема доказана. Равенство (8) аналогично интегральной формуле Коши для аналитических функций Ф(г) в ограниченной области д с грапицсй у: Ф гг) ~ ф (г), если з щ д, д~= 2ти' д Ь вЂ” г ( О, если г гж д() у. ьтт (П) Пшг этоы роль аналитических функций, гранины области и ядра Коши 1 — — играют соответственно решения (и ) задачи (6), грашща Г се2ги Ь вЂ” з точной области 0 и выражение 1' ~ 6н — генАн), учитывающее через множество Кн по которому ведется суммирование, структуру границы вблизи точка г щ Г. Формулу (9) в таком случае естественно сравнить с интегральной формулой типа Коши. Формула (8) аналогична также формуле Грина для уравнения Лапласа.

Подчеркнем, однако, следующее существенное различие между формулами (11) и (8): интегральная формула Коши справедлива только строго внутри области д, а разностная формула( 8) — всюду ча О, вклгочая точка границы Г. Аналогичное различие имеется также между формулой (9) и формулой Грина. Д о к а з а т е л ь с т а о. Помиожим обе части равенства (6) слева на матрицу 6~ п просуммируем по всем и щ Ое. Воспользовавшись тождеством (7), а затем равенством (4'), получим формулу (8). С лед стаи е.

Каждое решение (н„) уравнения (6) лолносгьго определяется своими значениязш на Г и восстанавливается ло эгии значенаялг но формуле (8). Т е о р е м а 3. Пусть (о,) — произвольная векгор-функция размерности ш, определенная на Г, и пусть 6 — произвольное фундалгенгаяьное решенне. Тоеда формула метод ВнутРенних ГРлничных услОВий 423 5. Внутренние граничные условия. Теорем а 4. Пусть 0 — какое-нибудь фундаментальное решение урааненил (1). Для того чтобы заданную иа Г вектор-функцию (и,), г «Г, лгожио было доопределить ашоду в ограниченной сеточной области 0 до некоторого решения уравнения (8), необходилю и достатото, чтобы прп всех п « Г выполнялись рааенства ( ~ Пл — ле)и + ~ Пя-т)т=ил, и«Г. (12) г«ГЛ,Е Лг / тюпа ии = ~ ( ~ Пл-г+лАЛ) иг, а «Г.

° ы Г ( Л ы ЛГ Г (13) Теорем а 5. Оператор Р есть оператор проекйгрования ( Г на 0',. Дох аз а тел ьст в о. Действительно, прп любом ог «()Г в силу теоl релгы 3 элемент ир = Риг принадлежит ПГ. Если ор «ПГ, то в силу теоремы 2 получим Ри„= иг. Теорема доказана. Оператор Р, определеипын формулой (13), будем называть оператором грини того проектирования. С его помощью внутренние граничные условия (12) в случае («»вЂ” т 0 записываются в форме иГ Рир =8. (14) Подчеркнем, что оператор граничного проеитированпя зависит ог выбора фундаментального решения П . 7. Общая краевая задача. В силу следствия нг теоремы 2 каждое реше«1е уравнения (8) восстанавливается по его значениям на границе Г. Это Дона з а тельство.

Если (и,), ггж Г, можно доопределить всюду на 0 до некоторого решения (и ), и «О, то, применив к этому решению формулу (8), а затем рассматривая полученное равенство только при и « Г, убедимся а выполнении (12). Обратно, если (и,), г « Г, удовлетворяет (12), то примем о„ = и, и построим некоторое решение (и ), и « (), по формуле (9). В силу (12) граничные значения этого решения (и,), г « Г, совпадут с заданными. Доказанная теорема 4 дает основание назвать равенства (12) внутрениилш граничнылги условиями; эти условия не задаются извне, а являются следствиями самого разностного уравнения. Если формулы (8) и (9) трактовать как аналоги интегральных формул Коши и типа Коши, то внутренние граничные условия аналогичны классическим условиям Оохоцкого — Племеля, при которых заданную на границе у области й на комплексной плоскости функцию ф(г) можно доопределить вс1оду в области й до некоторой аналитической фу.пкции.

Формулу (8) можно понимать как адекватпу1о системе (б) разностную формулу Грина, которая неявно учитывает «скачки потенциалов» па границе Г и приводит к внутренним граничным условиям (12). 6. Оператор граничного проектирования. Возможна отличная ог (12) запись внутренних граничных условий. Будем обозначать через (7Г линейное пространство всех сеточных вектор-функций ир = (и ), г лы Г, а через ПГ— надпространство тех из них, которые можно доопределить всюду в 0 до решений (и„), и гм П, однородного уравнения, соответствующего уравнению (6).