Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 66

Определим линейное отображение Р, иг — — Рпг., пространства ЕГ в себя следующей формулон: дополнпыие 424 дает основание определить общую линейную краевую задачу для уравнения (6) как краевую задачу вида 1.и = ~ Азии+э =)к, и щ 0ь, эв К 1иг — — ф, фа Ф, (15) и между задачей иГ ' иГ иг (17) существует тесная связь. Именно, граничные значения иг — — (и,), г ш Г, каждого решения (и ), а «м0, задачи (16) удовлетворяют в силу теоремы 2 уравнениям (17). Обратно, каждое решение иг — — (и,), г «м Г, задачи (17) в силу теоремы 4 и следствия из теоремы 2 можно единственным образом доопределить всюду в 0 до решения задачи (!6). Основная идея метода внутренних граничных условий состоит в переходе от исходной разностной краевой задачи (16) к системе уравяений (!7) на границе Г.

Продвижения, которые при этом удается получить, основаны на двух обстоятельствах. Первое из них — малое по сравнению с задачей (!6) число неизвестных, участвующих в задаче (17). Второе — специальный внд системы (17), в структуру которой органически включен оператор граничного проектирования. 9. Устойчивость внутренних граничнык условий.

Можно опасаться, что внутренние граничные условия иг — Риг —— О «почти вырождены», и поэтому задача (17) плохо обусловлева независимо от вида оператора 1, так что переход от задачи (16) к задаче (17) связан с потерей вычислительной устойчивости. Будем считать, что пространство Ф вложено в пространство (гг, введем в пространстве (7Г (а значит, и в пространстве Ф ~ (Гг) норму !! (! и докажем теорему, означающую, что при переходе от задачи (16) к задаче (17) не происходит потери вычислительной устопчивости. Теорема 6.

Пусть задача (!7) имеет решение иг ири любом фщФ, причем вьтолнено оценка (! иг $ < с !! ф )!, (! 8) вде с ог ф не зависит. Пусть, далее, ог — иРоизвольнЫй элемент иэ 0Г. Обозкачим 'г — "г=ф (ог=Ф (19) Тведа справедлива оценка !)ог((<с(((Ф)+)аФ(!)+)!ф!! (20) где 1 — какой-нибудь линейный оператор, отображающий пространство (гг на некоторое линейное пространство Ф. Естественные разностные схемы, аппроксимирующие первую, вторую или третью краевые задачи для уравнения Пуассона, например, легко записать в виде (!5).

Название «общая краевая задача» несколько условно: могут встретиться разностпые краевые задачи, имеющие иной, чем (15), внд. Например, таковы естествеапые разностные схемы для дифференциальных краевых задач, в которых порядок дифференциального уравнения пихте порядка дифференциальных краевых условий. 8. Основная идея метода внутренних граничных условий. Пусть для про. стоты 1„ = — О. Между разностной краевой задачей 1.и = О, 1иг = ф (16) МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРЛНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Если рассматривать (19) как уравнения для определения ог, то оценка (20) означает, что чувствительность решения задачи (19) к возмущениям ф правой части внутренних граничных условий характеризуется постоянной с из оценки (!В), т, е чувствительностью решения к возмущениям правой части заданного грзппчпого условия (иг = йь Д ок а з а тел ь с т в о.

Обозначим гг — ог — ф = Рпг. В силу теоремы 5 имеем аг — — Риг щ (Гг. Позтому зг Рзг =0 (зг = 1(иг ф) = ф (ф, т. е а удовлетворяет системе вида (17) и в силу (18) оценке (!'Г))<'((ф — 1Ф(!«(И)+()1!)!)ф)!). Отсюда с учетом тождества гг —— ог — ф следует (20). 1О.

Дополнительная идея. Изложим полезную при чнсленполг решении краевых задач для уравнений с частными производными идею применительно к следующей задаче. Пусть функция и(х, д) определена в некоторой области д с достаточно гладкой границей у как решение задачи Днрихле дзи дзи —,+ —,=О, (,, д) =д, и! =а (з), т и требуетсн найти производную — = Ь (з) ди дп в направлении внутренней нормали.

Такая задача возникает, если по темпе- ратуре и)т — — а(з) на границе у требуется найти установившийся тепловой поток через границу. Под з понимается длина дуги вдоль границы у, причем будем считать для определенности, что полная длина границы у есть 2а. Функцию — ~ =ь() ди ди т будем искать приближено в виде частичной суммы з й(з) = ~' (а! ам М+ ()(арл )з) 1-о ее ряда Фурье. 'Для определения козффициентов аз н рт воспользуемся методом внутренних граничных условий.

Зададим й ) О, построим сетку (х , д ) — (п,й, а й) и разностное уравнение ин,ь! и +и„~ +и„„ч~+ишш ~ — 4и =0 ь Отнесем к ()о ()н асс те точки сетки, котоРые вместе со всеми четыРьмн ДОПОЛИЕИИЕ 425 соседними точками принадлежат Л/у. Тогда определится сеточная область Р = Р", ее граница Г = Г" и внутренние граппчпыс условия и! — Рььг — — О Идея состоит в том, чтобы по функции и(» — — а(з) и фукпции — 1 = Ь(з), ди ап записанной в виде ряда с неопределенными коэффициентами, продолжить решение по формуле Тейлора с границы у в приграничную полоску, где лежит граница сеточной области Г"; затем подобрать неопределенные коэффициенты а; = а,", (1; = (3," из условия минимизации певязки, возникающей прп подстановке пропал!копной с границы у в приграничную полоску функции и(х,у), во внутренние граничные условия.

11. Сопоставление метода внутренних граничных условий с методом сиигулярмых имтегральмых уравнений. В начале Дополнения мы указывали па аналогию между методом яяутренних граничных услоянй и методом сингулярных интегральных уравнений, которая не является полной. Здесь мы сопоставил! эти методы, уточняя аналогию и выявляя существенные различия. Для сопоставления сначала опишем идею метода сингулярных интегральных уравнений для дифференциальных краевых задач иа примере задачи д'и дти — + — — ри=б, х=(хь, хо)шд, (2!) дхз дхз ! 3 (т2) аоио + аьи, = йь(х), х = (хь, хо) ьм У, ди ду1 и (х) = ~ ~д(х — у) — — и — з! даь„ д» д»з (22) где у(х) — фундаментальное решение уравнения (21), стремящееся к пьло на бесконечности.

Устремим х к границе у. Воспользовавшись сгойстазми потенциалов простого и двойного слоев, полу шм иа границе у соотношение вида ио = Ьоио + Ь,и „ (2!) связывающее решение и(х) и его нормальную производную дьь/д» = ьь,(т) па границе области; Ьо и Ь! — некоторые известные иптегралыьые операторы.

Переход от задачи (2!), (22) к равносильной системе уравнений (22), (24) относителыьо функций ио(х) н иь(х), определенных иа грашьце у, и составляет сущност! льетода сингулярных интегральных уравненпт!. Для сравнения рассмотрим теперь метод внутренних граничных условий применительно к следующей общей краевой задаче для разпостпого аналога уравнения (21) н квадратной сеточной области ип,-! л + ььп, пь+ь+ ил +! л + ил, ль — ! (4+ р) ььл, ьь — йг < пь, пь < ЬГ, !иг = 'Р. (25) (26) где р = сонэ! ) О, д — ограниченная область, у — се граница.

Краевсс условие (22) связывает решение и = ио(х) па границе областл и его пропзподпуьо по направлению внутренней нормали диьд» = иь(х). Коэффициенты а, п а,— заданные операторы. Выпишем классическую формулу Грина для уравнения (2!): МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРЛНИЧГГЫХ УСЗГОВИИ 427 Запишем внутренние граничные условия иг — Риг —— О в удобной для дальнейшего форме. Легко проверить, что формула (9) в этом случае может быть переписана в форме ипа— м ~ (6„„(Л и,) — и,(Л 0„„))+ ~ и,й,"и л ш(), (27) ,юоо "" '' ' '"" гюцо ип = ~ (Оп-г (Ланг) ггг (Л»Оп г)1+ ил, л ом Оо гы Я ип = 2 (Оп-г (Лонг) — иг(Л»Оп-г)) л ее Г, Яо.

гы Оо (28) (29) отвечаоощих, соответственно, точкам л ом Яо внешнего и точкам л ш Г ' Яо внутреннего слоев двойной границы Г. В качестве С в равенствах (28) и (29) будем использовать ограниченное фундаментальное решение. Можно показать, что внутренние граничные условия иг — Риг — — О, т.е. система уравнений (28), (29), алгебраически равносильна каждой из отдельно взятых подсистем (28) или (29). Подсистема (28) аналогична интегральному соотношению (24), так что разностным аналогом задачи (22), (24) является задача (27), (28), по не задача г ф ггг 'иг записываемая равенствами (27) — (29), которав рассматривается в методе внутренних граничных условий. Имеется очевидная разница между внутренними граничными условиями иг — Риг — — О, т. е.

системой (28), (29), и одной только подсистемой (28). Внутренние гронпчпые условия иг Риг=й содержат избыточные равенства (29). В этом смысле разностные внутренние граничные условия иг Риг=о больше похожи пе на интегральное соотношение (24), а на условия Сохоцкого — Племеля для аналитических функций.

Эти последние представляют собой два вещестоенньох соотношения, связывающих две вещественных функции, по опи не независимы, и многообразие удовлетворяющих условиям Сохошюго — Племеля пар функций зависит от одной произвольной вещественгхой функции. где Оо — совокупность точек Г, лежащих на сторонах квадрата (ло(= Лг, )ло) = Й, т. е па внешнем слое двухслойной границы Г сеточной квадратной области (рис. 57), а Л вЂ” разносшый аналог производной по направлению внутренней нормали.