Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 68

См., например, [5], [15), [23], [27], [28), монографию Е Г. Дьяконова, Разпостпые методы решения краевых задач, ч. 1 (197Ц и ч. 2 (1972), нзд-во МГУ, и имеющуюся там библиографию. Видоизменение метода переменных направлений, получающееся путем объединения его с аариационным методом Ритца, предложено и использовано для вычисления собственных значений сильноэллиптических операторов и для решения разностпого уравнения Лапласа в работах: Г. П. Прокопов, ЖВМ и Л1Ф 8, № 1 (1968); С. К Годунов и Г. П. Прокопов, ЖВМ и МФ 9, № 2 (1969).

С К. Годунов, В. В. Огнева, Г. П. Прокопов, Сб. «Дифференц. уравнения с частными производнымн», Труды симпозиума, посвященного 60.летию акад. С Л. Соболева, 1970. Оригияальная конструкция локально-одномерных схем предложена И. В. Фрязиповым (ЖВМ и МФ 13, № 1, 3, 1973). К гл. 1О, й 33.

Относительно метода крупных частиц О. М: Белоцерковского и Ю. М. Давыдова и его прилои<ений, помимо работы, цитированной в й 33, см. монографию [3); текст обзорного доклада О. М. Белоцерковского и В. Г. Япипкого на !Уу Всесоюзп копф. по динамике разреженного газа в 1975 году в Звенигороде; текст лскцни О. М. Белоцерковского на Кармаповских чтениях 1976 года в Брюсселе. К гл. 11, 9 34. Для разиостпого уравнения Пуассона в прямоугольншге самым экономным способом вычисления решения являстся быстрое преобразование Фурье (см.

примечание к 6 27). Разностными схемами для уравнений Лапласа и Пуассона в криволинейных областях, начиная от работы Л. А. Люстерннка 1924 года, занимались многие авторы. См., например, [4), [16), [23] п имеющуюся там библиографию. Оценки погрешности, выражающиеся непосредственно через исходные данные, получены для ряда схем, аппроксимирующих задачи Дирихле, Неймана н смешанную краевую задачу для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике, прямоугольном параллелепипеде и некоторых треугольниках см. Е. А. Волков, Тр. й!атем. ин-та им. В. А.

Стеклова ?4 (1966), 105 (!969), И А. Султанова, ЖВМ и МФ 11, № 5 (1971) и бпбл. там же. Е. А Волков пивлиогеха ические коммгитлрии установил также( Тр. Матем. нп-та нм. В. А. Стеклова 128 (!972)), что если разносгпый оператор в граничных узлах удовлетворяет некоторому условшо адекватности стандартному пятиточечному разностному оператору Лапласа, то разностиое решение уравнения Пуассона, продолженное с сетки на замкнутую область с криволинейной границей, при достаточно гладких данных задпчп аппроксимпруЕт со вторым порядкоч относительно шага пскочос решение вместе с производнымн до порядка и включительно, и ) 0 любое. К гл. 11, 0 35.

Идея рассмотрения решений стационарных задач как предела решений нестационарных при возрастании времени впервые использована в 30-х годах А. Н. Тихоновым. Одна из разпостных схем установления для расчета стационарного сверхзвукового обтекания тел газом предложена С. К. Годуновым, А. В. Забродиныь~ и Г.

П. Прокоповым, ЖВМ и МФ 1, № 6 (!961), см. [9). Интересно отметить, что обоснование устойчивости этой схемы, описанное в работе К. А. Багриновского н С. К. Годунова, ДАН СССР 115, № 3 (!957), использует расщепление разностных операторов. Имеется ряд работ многих авторов в направлении расчета стационарных задач установлением. Один нэ первых эффективных методов ускорения сходимости прн решении разнос«ного уравнения Пуассона указал Л. А, Люстерпнк, Тр. Матем. пн-та им. В.

А. Стеклова 20 (1947). К гл. 11, 0 30. Многочлены Чебышева для выбора оптимального набора итерационных параметров используются в различных задачах, начиная с работ А. А. Абрамова, М. К. Гавурина, Фландерса и Шортли, относящихся к !950 году. Новые результаты, библиография и обзоры с различных точек зрения итерационных методов решения разностных эллиппгческих краевых задач содержатся в книгах [5), [16), [23), [28[; в монографиях Е. Г. Дьяконова, Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнеюп~ эллиптического типа, Киев, 1970 (ротапринт); Г. И. Марчука и Ю. А. Кузнецова, Итерационные методы и квадратичные функционалы, Новосибирск, «Наука» СО, !972 (ротапринт); в обзорной статье Р. П. Федоренко, УМН 28, № 2 (!973) и в др.

К гл. 12. Основная идея получения вариационно-разностиых схем содержится в работе Р. Куранта (Сопгап1 Я., Впи. Ашег. Мабж Бос. 49, № ! (1943)). Независимо в инженерных расчетах прочности часто пользовались без теоретического обоснования различными реализациями вариационно-разиостных схем под названием метода конечных элементов. Систематическому изложению основ теории вариационно-раэностных схем и некоторых их приложений посвящена монография Л. А. Оганесяна, В. Я. Рнвкипда и Л. Л. Руховца «Вариационно-разносюгые методы решения эллиптических уравнений», ч.

1 и 2, Тр. семинара по дифференц. уравнениям, Ин-т физики и математики АН Литовской ССР, в. 5, Вильнюс, !973 и в. 8, Вильнюс, !974. Ротапр., которую мы испольэовали при работе над этой главой. См. также, например,[!2[,[18[,[25!. В настоящее время вариационно-раэностные схемы реализованы в виде хорошо отработанных программ на быстродействующие вычислительные машины для ряда задач теории упругости. Сл~., например, [!2). Илгеются численные реализации проекционпо-разиостного метода и длн некоторых других задач, не только эллиптических. Ряд работ последнего времени помещен в двух сборниках «Вариационно-разностиые методы в математической физике», Новосибирск, 1974 и Новосибирск, !976. К гл. 13, 3 42. Стационарные решения часто используют длн выяснении характера сходимости вблизи границ.

См., например, С. К. Годунов, Матем. сб. 47 (89), 3 (1957). К гл. 13, 3 43, п. 4. Здесь использован написанный А. Ф. Филипповым и. 4 из 9 6 книги [22[. пипл!!ОГРАФические КОмментАРии 433 К гл. 13, 5 43, п. 5. Выбор скалярного умножения (и, о) в! по формуле 3 (21), по-вндимому, впервые предложен Н. Миньо в !953 году в частном случае раэностного аналога уравнения теплопроводностн с переменнымн козффнцнентал»н, а в более общей форме — в 5 !5 книги [22), где имеется также модифицированное изложение упомянутой работы Н. Л!иньо. К гл. 13, $43, п.

6. Первый нз критериев устойчивости А. А. Самарского, приведенных в этом пункте, получается нз теоремы 5, п. 6, 6 ! гл. У! книга [23], если вместо гильбертова пространства рассматривать евклидоно н положить р = 1. См. также п. 7, 5 1 гл. У! книги [23]. К гл.

14, 6 44. Понятие спектра семейства разностных операторов введено в книге [!О], где авторы с помощью этого понятия, в частности, обосновалн признак К. И. Бабенко и И. М. Гельфанда устойчивости нестацнонарных задач на отрезке. Там же доказано, что расположение спектра семейства операторов в единичном круге необходимо для устойчивостн. Теорема 2 получена В. С. Рябеньким, ДАГ) СССР 185, № 2 (1969).

К гл. 14, 6 46. Понятие ядра спектра семейства операторов введено В. С Рябенькнм, ДАН СССР 185, № 2 (!969). Там же сформулированы теоремы 1 — 4. Теорема А. В. Соколова для случая скалярных ноэффициентов А», В» опубликована в ДАН СССР 268, № 2 (1973). Доказательсзво в общем случае матричных коэффициентов содержится в его статье, Тр. Моск. матем. общ. 35, Изд-во ЛТГУ, !976, К гл.

14, 6 47. Здесь изложена статья В. С. Рябенького, ДАН СССР 193, 3 (1970). К Дополнению. Метод внутренних граничных условий (МВГУ) предложен Б С. Рябенькнм, Докт. днес., Ин-т прикл. математики АН СССР (!969). В пп. 1 — 9 н 1! изложена часть статьи В. С. Рябенького, УМН 26, № 3 (!971). В этой статье даны также некоторые приложения МВГУ к исследованию н вычислению решений разностных краевых задач в простых и сос~авных областях. Содержание п.

10 опубликовано в докладе В С. Рябенького на конференции, посвященной семидесятипятилетию акад. И. Г. Петровского в МГУ (январь 1976). К п. 2 Дополнения. А. Я. Белянков, Матем. заметки 18, № 5 (1975), доказал существование фундаментального решения, растущего при [ п [' = п! + + ... + и~ -» оо не быстрее некоторой степени ! н !!. Им же построено так называемое циклическое фундалгептальное решение, позволяющее строить внутренние граничные условия и допускающее эффективное построение с помощью быстрого преобразовання Фурье, статья в сб.

»Задачи механики п матем. физики», посвященном памяти акад. И. Г. Петровского, «Наука», 1976. А. В; Заброднн н В. В. Огнепа, препрннт ИПМ АН СССР (1973), испольэовали модпфнцпрованпый имн вариант МВГУ для расчета целине!шой задачи теплопроводностн на графах. ЛИТЕРАТУРА 1. Алалыкин Г. Б., Годунов С К., Киреева Н Л., Плинер Л. А., Репгешы одномерных задач газовоп динамики в иадви1кпых сетках, М., «Наука», !970. 2. Б а б с и к о К. И., В о с к р е с е и с и и й Г. П, Л ю б п м о в А. Н., Р у с ан о в В. В., Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом, М., «Наука», !961. 3.

Бел о ц е р ко в с к и й О. М. и др., Численное исследование современных задач газовой динамики, М., «Наука», 1974 4. Б з х в а л о в Н. С., Численные методы, М., «Наука», ! 975. 5. В азов В, Форс а йт Дж., Разностпые методы решения уравнений в частпьш производных, М, ИЛ, 1963. 6. Г а в у р и и М. К., Лекции по методам вычислений, М.. «Наука», 1971. 7. Г ел ьф о и д А. О., Исчисление конечных разностей, М., «Наука», !967. 8. Г од у но в С. К., Уравнения математической физики, М., «Наука», 197!. 9. Годунов С.

К., Забродип А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., П р о к оп он Г. П., Численное решение многомерных задач газовой динамики, М., *!!вука», 1976. !О. Году н о в С. К., Р яб е н ь к и й В. С., Введение в теоршо разностных схем, 51, Физматгиз, 1962. 11 Д ь я ч е и ко В. Ф., Основные понития вычислительной математики, М., «Науна», 1972. 12.

3 е н к е в и ч О., Метод конечаых элементов в технике, М., «Л1пр», 1975. 13. Л а д ы ж е н с н а я О. А., Краевые задачи математической физики, М., «Наука», !973. 11. Л ю б п м о в А. Н., Р ус а по а В. В., Течение газа около тупых тел, ч. 1, М., !'70. 15. М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики, Новосибирск, «Паука', 1978. 16 гЯа р ч у к Г. И., Лебедев В. Н., Численные погоды в теории псреиоса нейтронов, М., Атомиздат, 197!.