Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 67

Заметим, что формула (27) была бы полным аналогом классической формулы Грина (23), если бы в ее правой части отсутствовало асингулярное слагаемое» ~ 6'„и,. Однако в таком случае равенство (27) имело бы место не при всех л я 77, а лишь при лом 0». Из него нельзя было бы получить тогда внутренние граничные условия иг — Риг — — О. Эти условия получаются из (27), если л пробегает не всю область »7, а только точки границы Г, и записываются двумя системами равенств 428 дополнения Отметим, что внутренние граничные условия иг Р"г=й выгодно отличаются от равносильной им подсистемы (28) тем, что в их структуру входит оператор граничного проектирования.

Благодаря этому обстоятельству задача (иг= 9 "г ""г=ф устойчива в смысле теоремы б относнтедьно возмущение правой части ф. В общем случае при вычеркивании части уравнений из числа составляющих систему иг — Рнг — — 0 может получиться подсистема, алгебраически равносильная исходной, но уже не обладающая свойством устойчивости. Можно показать, что в нашем примере (25), (2б) вместо нг- Рв„= б удобнее использовать не подсистему (28), а подсистему (29), которая устойчива и в отличие от подсистемы (28) состоит из независимых уравнений— ее ранг равен числу составляющих ее уравнений. Итак, п рассматриваемом прилгере аналогия между методом внутренних граяичных условий и методом сингулярных интегральных уравнений, аналогичных условию Сохоцкого — Племеля, не является полной.

Тем более, нет полной аналогии с классическим методом интегральных уравнений, в котором искомой функцией является не само решение исходной задачи (2)], (22) на границе, а некоторая вспомогательная плотность потенциала простого или двойного слоя. В заключение заметим, что мы употребляем выражение «метод сингулярных интегральных уравнений», поскольку условие Сохоцкого — Племеля содержит сингулярный интеграл.

В примере этого пункта условие (2б) содержит сходящиеся несобственные интегралы. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ К гл. 1, Я 1, 2. С общей теорией линейных разностных уравнений моигно познакомиться, например, по гл. Н книги [7]. К гл. 2, 5 5. С »~столом прогонки и его обоснованием для некоторого класса разностных краевых задач авторы впервые познакомились в !953 году по рукописи статьи И. М. Гельфанда и О, В. Локуцпеиского «Метод прогонки для решения раэностньи уравнений» (см., например, [10)). Существуют варианты прогонки, предназначенные для вычисления решений разностиых краевых задач, не рассмотренных в нашей кинге.

С результатами и библиографией можно познакомиться по книгам [4), [15), [23) и др. К гл. 3. Идея испольэовать при обосновании прогонки непосредственно свойство хорошей обусловленности разностной краевой задачи была высказана Н. С. Бахваловым. Некоторые шаги в осуществление этой идеи были сделаны при изложении прогонки в книге [10], а затем В. В. Огневой, ЖВМ и МФ 7, № 4 (!967), которой принадлежит идея рассмотрения урезанных систем. Модифицированное изложение этой работы имеется в книге [8). Приведенное в 5 6 обоснование хорошей обусловленности разпостнои краевой задачи использует дипломную работу студента Новосибирского университета Багнсбаева, которому, в частности, принадлежит пример, показывающий, что условие гладкости коэффицнентов нельзя игнорировать. К гл.

6, Я 19, 20. Подробнее познакомиться с методами численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно по книге [4] и указанной в ней литературе. Разностные схемы для некоторых важных классов дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами построены в теории однородных разностных схем А. Н.

Тихонова и А. А. Самарского и изложены в одной из глав книги [23) К гл. 7, $ 21. Понятие устойчивости вазностных схем относительно ошибок округления прп задании начальных данных впервые описано Дж. фон Нейманом и Р. Д. Рнхтмайером в 1950 году (см. сб, переводов «Механика», в. 1, 1951) в работе, посвященной расчету газодинамических сначков.

Первая система определений устойчивости и аппроксимации, при которой сходнмость является следствием аппроксимации и устойчивости, была предлогкена В. С. Рябеньким, ДАН СССР 66, № 6 (1952), н случае разностных аналогов задачи Коши для систем уравнений с частными производпымн. Принятая в нашей кинге система основных определений и теорема о том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, близки к предложенным А.

Ф. Филипповым, ДАН СССР 100, № 6 (!955). См. также [22] пли [1О]. Отличие состоит главным образом в том, что мы используем более универсальное, чем А Ф. Филиппов, определение аппроксимации Существуют другие естественные системы определений основных понятий, при ноторых аппрокснмапня и устойчивость обеспечивают сходимость. Среди них наиболее известна система определений П. Д. Лакса, предложенная в !956 году (см., например,[20]). В теории Лакса рассматриваются разностные схемы для нестационарных задач, причем предполагается, чго эти 430 БиБлиОГРлФичпс!(ик КОммгцтлР>ги разпостные схеьгы депстьую1 зь в пространстве сеточцых функций, а в том н«е ф>нкпиональном пространстве, что и дифференциальное уравнение.

Прп этом (дополнительном) предположении доказывается, что для аппрг>кспыирующей разпостноп схемы устойчивость и сходимость имеют место одновременно. Эта теорема эквивалентности Лекса является одной из конкретизаций болсе обшей конструкции Л. В.

Канторовича, УМН 3, в 6 (1948). В последние годы А. А. Самарский предложил а развил в соавторстве с А. В Гулпиым теорию устойчивости, применимую к вссьма широкому классу разпостных схем (ель [23), [24) и 6 43 настоящей книги). С новыми результатамп, бполиографией и обзорамп работ по устойчивости разностных схем можно познакомиться по книгам [10), [15), [20) †[2.

След>ет сказа О„ что в работе !923 года Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви (см. УМН 8 (1940)) и во многих других работах, где метод конечных разностей используется для доказательства существования решений дифференциальных уравнений, устанавливаются неравенства, которые в современной терминологии можно истолковать как устойчивость в тех или иных нормах. Однако понятие устойчивости возникло в связи с использованием разностных схем для приближенного вычисления решений в предположении, что этн решения существуют. Поэтому устойчивость изучается обычно в более слабых нормах, чем это нужно для доказательства существования. Отметим, что впервые метод конечных разностей был использован для доказательства существования решений уравнений с частными производнь>ьп> в 1924 году Л.

А. Люстерником (см. УМН 8 (!940)), который рассматривал уравнение Лапласа. К гл. 7, Б 22, п. 3. Излагаемый здесь прием построения разностных схем предложен в работах: Р. !.. !. ВПап, А. !. СЬ. Е. 3. 7 (196!); Л Ооп01аз, Нпш. Ма)Ц 4 (1962); Л. Поцй!аз, Тгапэ. А>пег. 5ос. 89 (1958); С. К. Годунов, Разиостные методы решения уравнений газовой динамики, Новосибирск, 1962 (ротапринт], )(вуыериый вариант рассмотренной в этом пункте схемы с пересчетом Лакса — Вендрова [20), для газодпнаьшческпх задач предложен Л. А Чудовым (см.

обзорную статью Г. С Рослякова и Г. Ф. Теленина в сб. «Численные методы в газовой динамике», М., Изд-во МГУ, в. 2, 1963). Идея метода Рунге — Кутта была применена В. В. Русановым (препринт ИПМ АН СССР, !967) для построения разностиой схемы третьего порядка точности в случае газодинамических расчетов, Л. А. Чудов (статья в сб. «Некоторые применения метода сетон в газовой динамике», в. 1. «Течения в пограничном слое», Изд-во МГУ, !971) для уравнений параболического типа построил раэностную схему типа Рунге— Кутта второго порядка точности, обладающую хорошими сглаживающими свойствал~и.

Схемы с пересчетом применяются во многих газодинамических расчетах. См., например, [Ц. Существуют и другие методы построения разностпых схем (см. [4), [!3), [!9) — [28!). К гл. 8, й 25, п. 5. Насколько известно авторам. воэможность использовать дифференциальные приближения для исследования разностных уравнений впервые заметил в 50-х годах А. И. Жуков (сообщение на семинаре ИПМ), которому принадлежит рассмотренный здесь пример. Теория дифференшшльных приближений, в которой изучаются асимптотические и групповые свойства интересных классов разностных уравнений, построена !1.

Н. Яненко и Ю. И. Шокпным, Сиб. матем. »к. 1О, № 5 (1969); Численные методы мех. сплошной среды, 2, № 2 (!97!). К этим же вопросам относятся статьи Н. Н. Кузнецова, ЛАН 200, № 5, (!971); ЛАН 204, № 2 (1972); ЖВМ и МФ, 12, № 12 (1972). К гл. 8, 6 26, п. 1. Идея замораживания коэффиццеп гоп ао внутренних точках предложена в цитированной выше статье Неймана и Рцхтмайера (см. примечание к 6 2!). БиБлиОГРАФические коммснт«Рии 431 К гл. 8, 9 26, п. 2.

Признак К. И. Бабенко и !1. М. Гельфанда был доложен в их совместном с О. В. Локуциеаским докладе на конференции по функшюнальпому анализу в Москве в 1956 году. См. также [2) н примечания к гл. 14, помещенные ниже. К гл. 8, й 27. Существует очень экономный по числу арифметических действий алгоритм вычисления коэффициентов конечяого ряда Фурье, называемый быстрым преобразованием Фурье. См., например, [4) или [15]. В частности, отметим оценку погрешности разиостного решения уравнения Пуассона, найденную Е.

А. Волкоаыы (Тр. Матем, ин-та им. В. А. Стеклова 117 (1972)) в условиях отсутствии аппроксимации оператора Лапласа со вторым порядкам в числе слоев сетки, неограниченно растущем при измельчении шага. Эта опенка н то же время является более сильной, чем равномерная оценка второго порядка, так как она устанавлиааег дополнительное убывание погрешностей вблизи границы области. Конечные ряды Фурье для анализа пестационарных разностиых уравнений, по-видпмому, впервые использовала О. А. Ладыженская.

С помощью этого аппарата ею была найдена сходящаяся неявная разностная схелга для гиперболических по И. Г. Петровскому систем. По-видимому, это был первый прилгер сходящейся неявной разностной схемы (О. А. Ладыженская, Авторсферат, канд, днес., 7(ГУ, март 1949). См также [13]. К гл. 9. См книги [Ц вЂ” [3], [9[, [13[, [14), [2Ц, [26) и имеющуюся там библиографию; в сборниках статей и журналах постоянно появляются новые работы по численньш методам лгеханики сплошных сред. К гл. 10. Схема переменных направлений (12) из 6 32 построена Д. Пнсманом и Г. Рэкфордом в !956 году (см., например, [5) или [28)); схема расщепления (7) из 6 31 предложена Н. Н. Яненко, ДАН СССР 125, № 6 (1959). В настоящее время схемы расщепления построены для многих основных задач математической физшгп.