Anderson-et-al-1 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 67

И последнее замечание по поводу уравнения полного потенциала. Стейнхофф и Джеймсон [81е!ппо11, Яатезоп, 1981[ сообщают, что были получены неединственные решения уравнения потенциала в случае трансзвукового течения. В этих расчетах число Маха изменялось в диапазоне от 0.82 до 0.85 и задача обтекания профиля Жуковского с толщиной 11.8 о!й имела более одного решения при данных условиях. В этом есть что-то настораживающее, и должны быть предприняты дальнейшие исследования численных решений уравнений Эйлера и уравнений Навье — Стокса для таких условий. Это позволит ответить на вопрос, является ли неединственность свойством уравнения полного потенциала или это физическое явление. Предварительное изучение уравнений Эйлера, по-видимому, говорит в пользу первой гипотезы. $6.6.

Уравнения малых возмущений для трансзвуковых течений В предыдущем разделе речь шла о расчетах трансзвуковых течений невязкой жидкости при помощи уравнения полного потенциала. Результаты, полученные для профилей и некоторых трехмерных конфигураций, очень хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Методы решения уравнения полного потенциала очень эффективны, поэтому они широко применяются.

Известно, однако, много случаев, когда нет необходимости решать уравнение для полного потенциала, и достаточно точности, которую обеспечивает решение уравнения малых возмущений. К тому же простота постановки граничных условий делает его применение еще более привлекательным. В двумерном случае граничные условия ставят на линии разреза, в трехмерном — на плоскости.

Уравнения существенно упрощаются, так как отпадает необходимость отображения об- зтй Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения ластей сложной формы на более простые для удобства постановки граничных условий. Это в свою очередь приводит к тому, что потребности в ресурсах ЭВМ (процессорное время и память) значительно уменьшаются, особенно в трехмерных задачах. Трансзвуковое уравнение малых возмущений можно получить применением процедуры разложения в ряд (Со!е, МеззИег,1957; Науез, 1966), что дает возможность систематическим образом получать приближения уравнений Эйлера все более высокого порядка. В гл. 5 трансзвуковое уравнение малых возмущений (5.203) было выведено в предположении малости возмущений.

В безразмерной форме его можно записать в виде (К-(у+ 1)ф.) ф..+ф„=о. (6.180) где К вЂ” параметр подобия: К = (1- М„)75 ~в; (6.181) Основная его особенность в том, что оно нелинейно и меняет свой тип от эллиптического к гиперболическому, как и уравне- ния Эйлера, и уравнение полного потенциала. здесь 6 в максимальная относительная толщина профиля и 1— функция формы профиля, оцределяемая выражением у = 5| (х). (6.182) Потенциал скорости в уравнении (6.180) — возмущенный потенциал, определяемый так, что производная ф по х есть возмущенная скорость по координате х, обезразмеренная по скорости набегающего потока и параметру подобия по направлению у.

Масштабированная координата у определяется так: у бца„ (6.183) Уравнение (6.180) формально эквивалентно уравнению (5.203), и оба они являются разновидностями трансзвуковых уравнений малых возмущений Гудерлея — Кармана. Уравнение (6.180), куда входит параметр подобия К, через который выражаются законы подобия, было использовано Мерменом и Коулом [Мцггпап, Со!е, 1971] для расчета обтекания невязкой жидкостью профиля с нулевой подъемной силой. Коэффициент давления определяют так же, как и в случае уравнения (5.205), тогда можно записать С = — 2ф,.

Для течений, которые нельзя считать трансзвуковыми, мы получаем уравнение Прандтля— Глауэрта для до- и сверхзвуковых течений. Оно уже не раз приводилось в предыдущих главах и выглядит так: (1 — М„)ф +ф„-„=0. (6.184) б б.б. Уравнения малых возмущений для трансзвуковых течений 373 В уже упомянутой статье Мермен и Коул рассматривали трансзвуковое обтекание профиля с нулевой подъемной силой и решали трансзвуковое уравнение малых возмущений (6.180).

Граничные условия на поверхности тела при нулевом угле атаки ставятся в плоскости у = 0 и выражаются в виде фй (х, 0) = Г' (х), (6.185) что совместимо с теорией. На внешней границе расчетной сетки также необходимо сформулировать граничное условие. В нашем случае для дальнего поля 1 Мх хя З/А х'+ дуа (6.186) где М = 2 ~ ~ (4) с$+ т ~ ~ х($ дт1, ! 00 (6.187) Граничное условие на поверхности профиля входит в расчет явно через член с фр. На рис.

6.80 приведено распределение давления на круговом профиле, полученное нз решения трансзвукового уравнения а профиль находится в интервале — 1 < х ( 1. В случае профиля с ненулевой подъемной силой следует задавать циркуляцию, причем ее величина должна удовлетворять условию Жуковского — Кутты на задней кромке. Условие для дальнего поля в этом случае есть вихрь, величина циркуляции которого определяется условием Жуковского — Кутты. Постановка граничных условий для дальнего поля дана в работах 11.пб(огд, 1951; К!пп1сег, 19711. Мермен н Коул решали уравнение (6.180) для трансзвукового профиля без подъемной силы методом релаксации по линиям. В сверхзвуковых областях (точках гиперболичности) использовались разности против потока, а в точках эллиптичности — центральные разности. Профиль теперь изображается линией, или разрезом, расположенным вдоль оси х, и на нем ставятся граничные условия. В данном случае профиль расположен в центральной точке между двумя узлами, как показано на рис.

6.29. Граничное условие при у = 0 задается наклоном линии контура тела или производной от ф, как это следует из уравнения (6.185). В точке (й 1) производная фрй представляется в разностном виде 1 ~!,2 ч !,1 ф (ф, з!з фр, и,) — ~ — фр(х, 0)~. (6.188) ьу =ай (, йд 374 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения малых возмущений. Как можно видеть, результаты расчета хорошо согласуются с данными эксперимента [КпесЫе1, 1959] как в докритическом, так и в сверхкритическом случаях.

Интересно отметить, что местоположение и интенсивность ударной волны в этом примере подтверждены экспериментальными измере- ц=а Рис. 6.29. Распределение точек сетки вблизи твердой границы. пнями. Вычисления по записанным в недивергентной форме уравнениям теории малых возмущений для течений невязкой жидкости дают заниженные значения интенсивности ударной р 1 -1 0 (а) 0 (Ь) Рис. 6.30. Распределение коэффициента давления сг для нругового профиля; а) докритический случай; (Ь) сверхкритический случай.

— (Мпгшап, о1е, !971]; эксперимент (6 = 0.06) (Кпесй(е1, 19591: С1 ке, яэ 2.!Оа, сХ ме,ж яа 2 10ч (малая шероховатость). волны. Точно так же на положение и интенсивность ударной волны влияет ее взаимодействие с пограничным слоем. Поэтому недивергентная форма записи является очень распространенной, хотя с математической точки зрения дивергентная более привлекательна.

Метод Мермена и Коула решения трансзвукового уравнения малых возмущений имеет многочисленные приложения, и предложено много его усовершенствований. Однако всегда надлежит помнить, что его применение означает существенное % 6.7. Методы решения уравнения Лапласа 376 упрощение задачи по сравнению с решением уравнений Эйлера или уравнения полного потенциала. При рассмотрении задачи обтекания трехмерных крыльев Бейли и Боллхауз [Ва1!еу, Ва!!папа, 1972] использовали упрощенную форму трансзвукового уравнения малых возмущений.

Их работа привела к разработке широко применяемой в настоящее время программы расчета трансзвукового обтекания трехмерных крыльев. Она широко использовалась при проектировании крыльев с улучшенными аэродинамическими характеристиками для полетов на трансзвуковых скоростях. Статью Бейли и Боллхауза можно рекомендовать изучать тем, кто интересуется расчетом трехмерного трансзвукового обтекания крыльев. В настоящее время большая часть усилий при расчете транс- звуковых течений затрачивается на разработку методов расчета уравнения полного потенциала или уравнений Эйлера. И только задачи проектирования остаются единственной областью более или менее интенсивного приложения трансзвукового уравнения малых возмущений.

При проектировании задается распределение давления на поверхности тела и задача состоит в определении формы тела. В задачах такого рода упрощенный подход имеет много достоинств. 9 6.7. Методы решения уравнения Лапласа Численные методы, описанные в предыдущих разделах настоящей главы, применялись для решения нелинейных уравнений динамики невязкой жидкости. Для моделирования как внешних, так и внутренних течений часто используются линейные уравнения с частными производными. К их числу относятся уравнение Лапласа для безвихревого течения невязкой несжимаемой жидкости и уравнение Прандтля — Глауэрта, справедливое для течения сжимаемой жидкости в предположении о малости возмущений.

Методы решения этих двух уравнений аналогичны. Обзор конечно-разностиых методов решения уравнения Лапласа был сделан в гл. 4, и здесь мы не будем повторяться. Вместо этого обсудим основные идеи панельных методов, получивших широкое распространение в промышленных расчетах. Преимущество панельных методов состоит в том, что распределение давления на поверхности тела можно получить, не определяя поле течения вокруг тела. В этом случае задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для интенсивностей источников, днполей нлн вихрей, распределенных на границах.

Зная эти величины, можно вычислить распределение давления на поверхности тела. Панельные методы требуют решения большой системы алгебраических уравнений. Для большинства 376 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения практических конфигураций быстродействие н память современных ЭВМ позволяют это делать.

Однако для получения хорошего решения существенны адекватный выбор количества панелей н нх расположение на поверхности. Прн изучении панельных методов будем рассматривать безвихревое течение невязкой несжимаемой жидкости, которое опнсывается уравнением Лапласа для потенциала скорости. Потребуем Чар=О (6.189) н зададим на границах рассматриваемой области либо Ч, либо д11/дп.