3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971).djvu), страница 5

в. Хо В самом деле, Хс=Ло+Х,+ ... +Хь с=О, 1, 2, .... (б) Мартингаяос Пусть (Х ) — действительный случайный процесс с дискретным или непрерывным пространством индексов. Мы назовем (Х) мартингилом, если для любых 11 < 1з «... 1„.с1 математическое ожидание М(Хс [ХО =аь ..., Х~„=а„) равно а„для всех допустимых значений а,, ..., а„. Мартингалы можно рассматривать как модели безобидных игр. В самом деле, если Х, описывает состояние капитала игрока в момент 1, то по определению мартингала 30 Гл. Х Элементы теории случайных процессов средняя величина его капитала в момент („„с прн условии, что в момент („он располагал капиталом а„, равна а, независимо от того, каков был его капитал в предшествующие моменты времени.

Легко убедиться в том, что процесс Х„= Ес + ... +Е„п = = 1, 2, ..., является мартингалом (с дискретным временем), если с. в. Ес — независимые, с нулевыми средними значениями. Лналогично если процесс (Хь О <1< оо) имеет независимые приращения, средние значения которых равны нулю, то (Хс) является мартингалом с непрерывным временем (см. упр.

!8). (в) Марковские процессьс Марковский процесс — это процесс, обладающий тем свойством, что если известно значение с. в, Х,, то значения Х„ з ) 1, не зависят от Х„, и < 1; другими словами, вероятность любого события, связанного с будущим поведением процесса, при условии, что его настоящее состояние точно известно, не изменится, если учесть дополнительную информацию относительно прошлого этого процесса. Подчеркнем однако, что если наше знание настоящего состояния процесса не точно, то вероятность будущего поведения процесса будет, вообще говоря, зависеть от того, что мы знаем о прошлом процесса.

Формально, процесс является марковским, если Р(а<«с(Ь1Хс = хс, Хс,=хь ..., Хс =х„) = =Р(а<Хс~(Ь1Хс х,) (3.1) при 1, < 1т «... 1„< й Пусть А — интервал на действительной оси. Функция Р(х, з; 1, А)=Р(Х,ен А1Х,-х), 1) з, (3.2) называется функцией переходных вероятностей. Эта функция играет важную роль при изучении марковских процессов.

Условие (3.1) можно выразить следующим образом: Р(а<«с(Ы Хс, =хс, Хс,=хм .., Хс„=х ) = Р(х„, Юв;1, А), (3.3) где А = (й1а < $ < Ь). Можно доказать„что распределение набора (Х.и Х,,, ..., «,„) можно выразить через функцию переходных вероятностей (3.2) и распределение начальной с. в, Хь Мы остановимся подробнее на этих понятиях при рассмотрении дискретных во времени и пространстве марковских процессов (гл. 2). (г) Стационарные процессьс Случайный процесс (Хс, 1ен Т) [здесь Т может быть одним из следующих множестш ( — оо, оо), (О, оо), множество всех целых 31 Задачи чисел, множество положительных чисел) называется сгационарнатлт в узком смьгсле, если совместные распределения семейств с. в.

(Хт,+а, Хтзла, ° °, Хт„+а) и (Хт, Хт,, °, Хт„) одинаковы при всех й ) О и всех (ь (ю ..., („из Т. Это условие означает, по существу, что процесс находится в вероятностном равновесии н момент начала нашего наблюдения не имеет значения. В частности, распределение с. в, Х, одно и то же при всех 1. Случайный процесс (Хи 1~ Т) называется стационарным в широком смысле, илн ковариационно стационарнылт, если он обладает конечными вторыми моментами и сов(Хо Хтч„) = М(Х,Хт„ь)— — М(Хт)М(Хтль) зависит только от й прн всех ген Т.

Стационарные процессы служат для описания многих явлений в теории связи, астрономии, биологии, а иногда н экономики. Говорят, что марковский процесс имеет стационарные переходные вероятности, если Р(3, к; й А), определенная формулой (3.2), является функцией лишь разности ( — 3 ').

Вспомним, что Р(з, х; 1, А) есть условная вероятность — настоящее состояние процесса считается известным Поэтому нет никаких оснований ожидать, что марковский процесс со стационарными переходными вероятностями является стационарным процессом, что и соответствует действительному положению вещей, ЗАДАЧИ 1. Пусть а, Ь и с — независимые с, в., оавноьтерио распределенные в (0,1). Какова вероятность того, что уравнение ах + Ьх + с = 0 имеет дсйствигельиыс корни? Ответ; (6 + 3 (п 4)/36. 2. Пусть при каткдом фиксированном Л ) 0 с.

в. Х имеет пуассоиовское рас. пределеиие с параметром Л. Предположим, что сам параметр Л является с. в., подчиняющейся гамма-распределению (т. с, иметощей плотность распределения л-1 -ь ,() л в, л>о, О, Л< 0, где и — фиксированная положительная константа). Показать, что Г (й+ и) 11 )ь+. Р (Х=й) г(п) г(а+1) ° '(2), А=О, 1, . Когда и — целое, зта формула ость ие что иное, как отрицательное бипомиальиое распределение с р - 112. 3. Пусть при каждом заданном р с.

в. Х имеет бииомиальиое распределение с параметрами р и йт. Предположим, что параметр тч сам подчияяется бииомиапьиому распределению с параметрами д и М, причем М ) ЬЛ ') Такой процесс называется также однородным марковским процессом,— Прим. рвд. Гл. /. Эле.кенты теории случайных процессов (а) Показать аналитически, что Х имеет бинамиальное распределение с па.

раметрами рд и М. (б) Дать вероятностное обоснование этому результату. 4. Пусть с. в. Х при каждом заданном р имеет биномиальное распределение с параметрами д и У. Предположим, что р само подчивяется бета-распределению с параметрами г и к Найти результирующее распределение с, в. Х. Когда эта распределение является равномерным на множестве (О, 1, ..., У)7 Ответ; / У '1 Г (г + з) Г (й + г) Г (и — й + з) ! й ) Г (г) Г (з) Г (У+ г+ з) Р (Х = й) = 1/(У + 1), когда т = з =!.

5. Проводится следующий эксперимент, Наблюдается с. в. Х, подчиняющаяся пуассоновскол|у распределению с параметром Л. Затем проводится Х испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. Каково распределение числа успехов ау Ответ; пуассоновское с параметром Лр. 6.

(а) Предположим, что с. в, Х подчиняется пуассоновскому распределению с параметром Л. Параметр Л сам является с. в. с экспоненциальным распределе. нием и средним, равным !/с. Найти распределение с. в. Х. (б) То же для случая, когда Л подчиняется гамма-распределению порядка а с масштабным параметром с, т.

е. плотность распределения с.в. Л равна а е хс Г (а+1) при Л > О и равна О при Л ( О. с Ответ: (а) Р (Х й) (с + 1) (б) Р (Х й) — Ре !. й)Г(а+1) (!+с/ 8. Предположим, что имеется У фишек, помеченных числами 1, 2, ..., У соответственно. Выберем без возвращений и случайным образом 2п + 1 фишек. Пусть У вЂ” медиана полученной случайной выборки. Показать, что У имеет рас- при й п+1, и+2...., У вЂ” и.

Проверить, что М (у) = — и У+1 2 (У вЂ” 2п — 1) (У+ 1) 8п+!2 7. Число происшествий за неделю на некотором производстве является с. в. со средним р и дисперсией и'. Количества травм, полученных в результате различных происшествий, представляют собой независимые с. в. с одинаковыми средними т и дисперсинми т'. Найти среднее и дисперсию числа травм за неделю. етказание; Выразить производящую функцию распределения числа травм за неделю через производящие функции распределений числа происшествий за неделю и числа травм за одно происшествие.

Ответ: среднее число травм за неделю равно рч; дисперсия числа травм за неделю равна т'н' + рт'. Задача 9. Предположим, что инеется й( фишек, занумерованных числами 1, 2, ..., М Извлекается без возврашеннн случайная выборка объема л. Пусть Х вЂ” наибольший номер в случайной выборке. Показать, что Х инеет распределение Р(Х-й)= при й=л, л+1, ..., й( (':~) 0 н что л (й) — л) (й) + ! ) (л !.

1)г (л !. 2) М(Х) = — (й(+ 1), л+! 10. Предполо)ким, шо в урне находится л фишек, занумерованных числами 1, 2, ..., л. Производится последовательное извлечение фишек до тех пор, пока одна и га жс фишка не появится дважды подряд. Пусть Х вЂ” число извлечений до наступления этого события. Найти распределение вероятностей с.

в. Х. ( л Ответ: р (й) = (й — 1)1( ) — при й=2, 3, ..., и+1. — („,) —, 11 (продолжеиие). Показать, что среднее значение с. в. Х есть М (Х) = 2 + (( — -„ ) + ~1 — -„ ) (! — †) + ... + (( — †„ ) (1 — †) ... (1 — †" ). 12. Пусть Х) и Хз — независимые с, в., равномерно распределенные на отрезке (Π— 1)2, О 4- !)2) Показать, что разность Х) — Хз имеет распределение, не зависящее от О, и найти ее плотность вероятности. Ответ: 1+у, -1<у<О, !х,-х (У)= 1 У 0<У<1 О, ! у ! > 1. *14. Пусть с. в. О подчиняется гамма-распределению порядка р, и пусХУ с.

в. У подчиняется бета-распредедению с параметрами у и р — у (О < у < р). Предположил, что О и У независимы. Показать, что ОУ ииеет гамл)а-распределение с параметром у. Указание. ) )(»!1 Р(чгч ) ( (( * ) 'ы) (,1 г ( — () о о Г!ерейгп в этом соотношении к преобразованию Лапласа, изменить порядок нн. тегрирования и разложить найденное выражение в ряд вида (+у) ' '=,~ ( „)у' 2 зак. эзз *13. С.