3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971).djvu)

с. кл лип ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Перевод с английского В. В. КАЛА!ВЕНКОВА Под редакцией В. Н. КОВАЛЕНКО ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва Ф71 УДК 61ЦЕ Книга С. Карлнна является связующим звеном между злементарным курсом теории вероятностей и специальными курсами теории случайных процессов, которые используют сложный аппарат современной математини. Для чтения книги практически достаточно знания математики в объеме стандартного курса высших учебных за. ведений. Наряду с изложением математического аппарата книга содержит прекрасный набор приложений к биологии, задачам массового обслуживания и др. вопросам. Книга представляет интерес как для математиков, интересующихся приложениями, таи и для биологов, инженеров н специалистов других областей науки, в которых математика находит свое применение.

Редакция литературог но математическим наукач Инд. 2-2-3 27-7! С. Карлиц ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Редакторы В. ф, Па«омов и Л. Б. Шгебипрссс Художник Г. И. Маиубаое Художественный редактор В. И. Шаповалов Техничесний релаитор Г. Б. Ллюлииа Корректор Г. В. Сека«сап сдано в набор 1зл 1971 г. Полписаио к печати 1уч111 1911 г. Бумага № 1 бахар/„- -15,15 бум. лц печ.

л. 33,5; уч.-нвд. л. 31,61. иад. № П5525. цена 2 р. 52 к. зак. 939. ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижсний пер., 2 Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография№2 им. Евгении Сокодовой ГлавполиграфпромаКомитета по печати прп Совете Министров СССР, Измайловский проспект, 29, ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Теория случайных процессов, возникшая в результате построения математических моделей реальных физических процессов, в настоящее время представляет собой наиболее содержательную и более всего используемую в приложениях часть теории вероятностей.

Классическим разделом теории случайных процессов является теория стационарных (в широком смысле) процессов, которая дает основу решения многих прикладных задач. Задачи современной науки и техники выдвинули на первый план проблемы, связанные с исследованием случайных процессов, порождаемых последовательностями независимых случайных величин. Это цепи Маркова, марковские процессы со счетным множеством состоянш<, процессы восстановления, полумарковские процессы, Их роль объясняется в значительной степени тем, что реальные процессы, изучаемые с помощью вероятностных методов, по самой своей природе связаны с чередованием событий случайной продолжительности (например, процесс функционирования резервированной системы с заменой отказавших элементов).

Интересно отметить, что и те физические процессы, которые ранее изучались в терминах математического ожидания и корреляционной функции, например флуктуационные процессы в радиотехнических устройствах, теперь в соответствии с новыми задачами рассматриваются с точки зрения случайных последовательностей, отражающих определенные изменения состояний процесса. Из такого рода задач возникает теория потоков однородных событий, порождаемых случайными процессами. Книга известного ученого С. Карлина, предлагаемая вниманию читателя, посвящена основам теории марковских процессов и процессов, связанных со случайными блужданиями, а также применениям этих процессов к задачам генетики, экологии и массового обслуживания. Наиболее ценное в книге — изложение основных аналитических методов исследования соответствующих процессов.

Читатель, стремящийся изучить теорию случайных процессов, найдет здесь аппарат, повседневно применяемый специалистами, а не только собрание готовых результатов. Вместе с тем следует отметить, что рассматриваемые автором классы процессов все же являются достаточно частными: не только в теоретических, но н Предисловие редактора перевода в прикладных работах исследуются более общие классы (например, классы процессов, описывающих функционирование систем массового обслуживания), Однако это не является недостатком книги: методы, действие которых продемонстрировано на простых примерах, могут служить читателю и в более сложной ситуации; ббльшую же часть интересующих сейчас прикладников математических задач можно решать н в пределах тех моделей, которые даются в книге, В конце каждой главы автор поместил задачи; читателю, естественно, следует их решать.

Книга С, Карлнна может быть рекомендована математикам, физикам, специалистам по исследованию операций, биологам и вообще всем, желающим войти в проблематику теории случайных процессов и овладеть методами этой теории. При переводе и редактировании устранены некоторые погрешности оригинального издания, И. Н. Коваленко ПРЕДИСЛОВИЕ Теория случайных процессов изучает последовательности событий, управляемых вероятностными законами. Она находит многочисленные приложения в физике, технике, биологии, медицине, психологии и других дисциплинах, а также в различных разделах математики.

Назначение этой книги — дать введение многочисленным специальным руководствам по случайным процессам. Прн ее написании я преследовал три цели: во-первых, дать систематическое вводное изложение некоторых основных разделов теории случайных процессов, во-вторых, привлечь внимание тех, кто занимается чистой математикой, к богатому многообразию приложений теории случайных процессов и, в-третьих, для читателя, интересуюгцегося приложениями, подчеркнуть важность «математических тонкостей», показать, что они зачастую связаны с самой природой вероятностных процессов. Примеры в этой книге в основном заимствованы из биологии и техники; вместе с тем везде делается акцент на тех вероятностных аспектах, которые важны или представляют математический интерес для более чем одной дисциплины.

В книге обсуждается и иллюстрируется ряд понятий и проблем, привлекающих в настоящее время внимание исследователей. Поскольку в элементарной книге невозможно охватить все основные разделы теории случайных процессов, нам пришлось опустить некоторые важные темы и среди них такие, как стационарные случайные процессы и мартингалы. Не предполагалось, что эта книга будет служить исчерпывающим руководством по вопросам, затронутым в ней. 1!апротив, она должна рассматриваться прежде всего как промежуточное звено между элементарными курсами теории вероятностей и многими превосходными работами по случайным процессам, высокий математический уровень которых делает их недоступными для читателей, знакомых лишь с основами теории вероятностей.

У читателей предполагается знакомство с началами теории вероятностей в объеме первого тома ставшей уже классической книги Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложения>. В й 1 гл. 1 мы даем сводку основных свойств случайных величин и функций распределения, а также вводим важнейшие термины. Предисловие Материал, набранный мелким шрифтом, при первом чтении можно опустить.

В конце каждой главы приводятся задачи, цель которых — разъяснить, а во многих случаях и развить изложенную теорию. Книгу можно использовать для полугодового или годового курса в зависимости от потребностей, Логическая взаимозависимость глав отражена на схеме, приведенной ниже. При написании книги я пользовался обширной литературой по случайным процессам. Каждая глава завершается списком работ, в которых читатель найдет дальнейшую информацию и библиографию. Я благодарен коллегам: профессору Чжун Кай-лаю и профессору Дж. Мак-Грегору (Станфордский университет) за советы и полезные комментарии, профессору Дгк.

Ламперти (Дартмусский университет), профессору Дж. Киферу (Корнеллский университет) и профессору П. Нею (Висконсинский университет) за конструктивную критику, доктору А. Файнстейну за тщательную проверку значительной части рукописи, а также моим студентам П. Милчу, Б. Сигеру, М, Фелдману и Б. Кришнамурти за их полезные советы и помощь при выборе и составлении задач. Сзлюэл Карлин Станфорд, Калифорния Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЪ|Х ПРОЦЕССОВ а ), сВОдкА ОснОВНых тЕРминОВ и сВОйстВ случАЙных ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В этом параграфе приводятся основные термины и элементарные понятия теории вероятностей.

В последующих главах мы будем пользоваться ими без каких-либо дальнейших ссылок на литературу. Читателю настоятельно рекомендуется обратиться к упражнениям, помещенным в конце главы; эти упражнения помогут ему вспомнить и закрепить предварительный материал. Детальное нзлогкение этих вопросов можно найти в книгах Феллера, Гпеденко и Парзена (см, литературу в конце этой главы). Предполагается, что читатель знаком со следующими понятиями: (1) действительная случайная величина Х; (2) функция распределения г случайнои величины Х (определяемая как г(А) = Р(Х<))) и ее элементарные свойства '); (3) события, связанные со значениями случайной величины Х, и их вероятности; (4) математическое ожидание М(Х) случайной величины Х и моменты высших порядков М (Х"); (5) формула полной вероятности и формула Байеса. Вместо слов «действительная случайная величина» мы будем часто пользоваться сокращением «д. с.

в.» '). Д. с. в Х называется дискретной, если существует конечное или счетное множество различных чисел Хь Хз, ..., такое, что ае = = Р (Х = Хт) > О, ! = 1, 2,... н ~~ а, = 1. Если Р (Х = Л) = О для любого значения )и д. с. в, Х называется непрерывно распределенной. Если существует неотрицательная функция р(1), определенная на всей оси — оо < т < оо и такая, что функцию распределения р ') В отечественной литературе функция распределения, как правило, понимается в смысле Р(Х < ц. Очевидно Р(Х ~(х) Пщ Р(Х <А+ е), Р(Х<Х) = еро !пп Р(Х~(Л вЂ” в), так что между обоими определениями существует простое еео соответствие. — Прим ред.

т) Иногда будет использоваться сокращение «с, в.» — «случайная величинам — Прим. персе. 1'л, й Элементы теории слрчайиых пронессов д. с. в. Х можно представить в виде ь Е(Л)= ~ р(1) (1, то будем говорить, что р является плотностью распределения вероятностей (или короче — плотностью вероятности) случайной величины Х. Если д.с. в. Х имеет плотность вероятности, то она с необходимостью непрерывно распределена; однако известны примеры непрерывно распределенных случайных величин, не обладающих плотностью вероятности '). Если Х вЂ” дискретная д.

с. в., то ее т-й момент (или момент порядка нт) определяется так: М(Х 1= ХЛОР(Х = Лс) (где Л, имеют тот же смысл, что и выше) при условии, что ряд сходится абсолютно. Если Х вЂ” непрерывно распределенная случайная величина с плотностью вероятности р( ), то ее и-й момент определяется соотношением М(Х ]= ~ х р(х) с(х при словии, что интеграл сходится абсолютно. ереый момент (или среднее значение) д.

с. в. Х будем обозначать через тх или рх, и-й центральный момент д. с. в. Х определяется как и-й момент д.с. в. Х вЂ” тнх, если тх существует. Первый центральный момент, очевидно, всегда равен нулю; второй центральный момент называется дисперсией аха д. с. в. Х, Медианой д. с. в. Х по определению является любое число ч, обладающее тем свойством, что Р(Х >~ т) >~'/я и Р(Х (ч) )~ '/а.