3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2, соответствует первому наступлению события в момент (и второму — в момент 1м третьему— в момент 1в и т. д. Общее число наступлений события возрастает только еднничнымн скачками, а Ха = О. Конкретными примерами наблюдаемых величин, образующих подобного рода процессы, являются: число фотонов, испускаемых веществом при радиоактивном распаде, число телефонных вызовов из данного района, число происшествий на данном перекрестке, число ошибок на странице маснннопнсного текста, число выходов из строя некоторого механизма и число поступивших заявок на обслуживание.
Рассмотрение этих процессов как пуассоновских основывается на законе редких событий, Представим себе большое число испытаний Бернулли с малой вероятностью успеха (наступления события) и постоянным средним числом успехов. При этих условиях известная теорема утверждает, что число наступлений события подчиняется закону Пуассона. В случае радиоактивного распада пуассоновское приближение дает превосходное согласие с экспери- 24 Гл. д Элемепты теории слуиайньсх процессов ментом, если время наблюдения много меньше периода полураспада радиоактивного вещества. Мы постулируем, что число наступлений события в некотором интервале не зависит от числа наступлений этого события в любом Рис.
2. другом не пересекающемся с ним интервале (см. свойство (а) предыдущего примера). Предположим также, что с. в. Хнет — Хп зависит только от с и не зависит от 1о или от значения Хт,. Сформулируем дальнейшие постулаты, согласующиеся с интуитивным описанием, данным выше: 1, Вероятность того, что за период времени продолжительности Ь произойдет по меньшей мере одно событие, есть р(Ь) = ай+о(Ь), Ь-+0, а) 0 (д(1) = о(с) при с - О означает, что!(гп й(1)/Е = 0).
т.ио П. Вероятность того, что за время Ь произойдет два или более события, есть о(Ь). Постулат П равнозначен исключению возможности более чем однократного одновременного наступления события. В приведенных яами физических процессах это условие обычно выполняется. Пусть Р (1) обозначает вероятность того, что за время 1 произойдет ровно и событий, т. е. Р (1) = Р (Х, = и), пс = О, 1, 2, ..., Условие П можно записать в виде Х Р (Ь)=о(Ь), и, очевидно, Р (Ь) Р! (Ь) + Р2 (Ь) + э" В два простые примера сарчаинык прокессов В силу предположения о независимости имеем Ро (! + Ь) = Ро Я Ро (Ь) = Р, Я (1 — р (Ь) ) и поэтому роО+й) 1орй р ср ррб й Из постулата 1 следует, что р(Ь)!Ь- а.
Поэтому вероятность Р,Я того, что событие не наступит в интервале (О, !), удовлетворяет дифференциальному уравнению РоЯ = — про Я общее решение которого имеет вид Ро(Г) = се-". Константа с определяется из начального условия Р,(0) = 1, из которого следует, что с = 1. Итак, Ро (!) = е-". Найдем теперь Р Я для любого гп. Легко видеть, что Р (!+Ь) = Р (!) Р„(й)+Р 1(г) Р,(Ь)+ ~ Р;(!) Р,(й). (2.1) По определению Ро(й) = 1 — р(й). Из постулата ! следует, что Р,(Ь) = р(Ь)+о(й), т ы ~ Р.
е(!) Р,(й)('.Р Р,(й) =о(й), (2.2) Отсюда следует, что — — аР Я+ аР, (!) при Ь вЂ” и 0 или, формально, Р (!) — аР (!)+аР,(Е), пг=1, 2, (2.3) при начальных условиях Р (0) = О, гп = 1, 2, поскольку, очевидно, Рп(с) 4 1 С помощью (2.2) мы можем переписать (2. 1) в виде Р (! + Ь) Р (!) = Ры (!)(Ро(й) 1] + Р ~ (!) Р1 (Ь) ы + Х Р - ~ Я Р~ (Ь) = — Р„Я р (Ь) + Р, (!) Р, (Ь) + + а~~~ Р,(!) Ре(Ь) = — аР (!) Ь+ аР,(!) Ь+ о(Ь). Гл. д Элементы теории слунадных процессов 26 Для решения уравнений (2.3) введем функции !',г (1)=Р (1)е", т=О, 1, 2, .... Подставляя Я (1) в (2.3), получаем Я„,(1) =а(е ~(1), т= 1, 2, ..., (2.4) где 9о(1) =— 1; начальные условия остаются теми же: Я (0) = О, гп = 1, 2, ....
Последовательно решая уравнения (2.4), получаем ©(Г)=-а, илн яг(Г)-а(+с, так что ф(Г)=аС; агм агтг, ()е(1) = — +с, 2 так что г'„1г(г) = — ', 2! Яы(() = Следовательно, имеем ам тге Р (!) е-а1 пг! Другими словами, при каждом 1 с. в. Хг подчиняется распределению Пуассона с параметром ай В частности, среднее число наступлений события за время г равно ай Часто пуассоновский процесс возникает в форме, где временной параметр заменяется соответствующим пространственным параметром. Следующий формальный пример иллюстрирует эту ситуацию.
Рассмотрим систему точек, распределенных в пространстве Е (Е обозначает евклидово пространство размерности д ) ! ). Пусть йтв обозначает число точек, содержащихся в области )г пространства Е. Предположим, что Уя является случайной величиной. Совокупность случайных величин (Уп), где область изменения индекса Е состоит из всех возможных подмножеств пространства Е, представляет собой однородный пуассоновскнй процесс, если удовлетворяются следующие условия: (!) количества точек в неперекрывающихся областях являются независимыми с.
в,; (й) для любой области Е конечного объема с. в, Ун подчиняется распределению Пуассона со средним !сайф), где )г(Я)— объем области )1. Параметр 2 фиксирован и в некотором смысле служит мерой интенсивности распределения, не зависящей от размера и формы. Пространственные пуассоновские процессы возникают при рассмотрении распределений звезд нли галактик, распределений растений и животных, бактерий на предметном стекле и т. д.
Мы вернемся к этим вопросам в гл. 12 для более глубокого их изучения. 5 Д Клоссифихония общих случайно~я оуооессоо 5 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБЩИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные признаки, по которым различаются случайные процессы, касаются природы пространства состояний 5, временного параметра Т и отношений зависимости между с,тучайными величинами Хо Пространство состояний 5 Это пространство, которому принадлежат все возможные значения, принимаемые всеми с. в.
Хо В случае, если 5= (О, 1, 2, ...), мы относим процесс к классу целочисленных процессов, или процессов с дискретным пространством состояний. Если л совпадает со всей действительной осью ( — оо, оо), то мы называем процесс (Х,) действительным случайным процессом. Если 5 — евклндово й-мерное пространство, то говорят, что процесс (ХД является й-мерным. Как и в случае отдельной с. в., выбор пространства состояний не определяется однозначно описываемым физическим процессом, хотя во многих случаях выбор наиболее подходящего пространства состояний очевиден. Временнбй параметр Т Если Т = (О, 1,...), то мы будем говорить, что (Х ) является случайным процессом с дискретным временем. В этом случае мы будем часто писать Х„вместо Хо Если Т = [О, оо), то случайный процесс (Х) будем называть процессом с непрерывным временем.
Мы уже приводили примеры временнбго параметра Т более чем одного измерения (пространственные пуассоновские процессы). Другим примером могут служить волны в океане, Географические долготу и широту можно рассматривать как 1, а высоту волны в данном месте — как Хо Отношения зависимости Важной чертой случайного процесса (Хс) является зависимость между случайными величинами Хь Г ен Т. Характер этой зависимости определяется заданием совместных функций распределения для каждого конечного семейства Х,о...
..., Х,„с. в. процесса. Как мы увидим из примеров (а) и (б), приводимых ниже, совместные функции распределения часто могут быть выражены через другие распределения, связанные с процессом. Для целей настоящей книги случайный процесс можно считать полностью заданным, если определены его пространство состоя- 28 Гл. д Элементы теории случайных процессие ний, временнбй параметр н семейство конечномерных распределений, Однако при рассмотрении случайных процессов с непрерывным параметром возникают некоторые трудности, которые мы иллюстрируем на следующем примере.
Пусть 1/ — с. в., равномерно распределенная на (О, 1); определим Х, и Ут следующим образом: Х,= 1 при Г/=г, Ут — = 0 (1) 0). 0 в противном случае; Непосредственным вычислением легко убедиться, что (Хт) и (Ут) имеют одинаковые конечномерные распределения, Вместе с тем Р~Хт< — при всех 0 <~1<1~ = 0, 1 Р) У,< — при всех 0</(1~=1 ! 2 — положение вещей просто обескураживающее. Чтобы объяснить, чем вызваны эти затруднения, рассмотрим следующий пример.
Предположим, что (Хь 0 ( 1 ( оо) является случайным процессом с непрерывным временем. Наша задача — найти Р(Х, )~ О, 0(1(Ц. Рассмотрим последовательность сужающихся событий: А„= (Хт, ) О, гч = Е/2", 1= О, 1, ..., 2"), п = 1, 2, Вероятность каждого события А„можно выразить через совместную функцию распределения соответствующих с. в. Хтп 1=0, ... ..., 2". На первый взгляд кажется естественным положить Р(Хт) ) О, 0<1<1) равным значению предела Бт Р(А„).Однако не все, л.+ что кажется естественным, свободно от противоречий.
В такой же степени естественно считать, что Р (Х, ) О, 0 <1 < Ц = 1нп Р (А„'), о-+ ч где А'„=(Хй)0, /,=1/3", с — О, 1, ..., 3"), но отнюдь не очевидно, что пределы 1пп Р(А„) и 1пп Р(А„) равны между собой. л.+» и.+ Более того, без дополнительных ограничений, касающихся гладкости выборочных функций процесса, эти пределы, вообще говоря, могут иметь различные числовые значения. Известны различные достаточные условия их равенства; одно из этих условий состоит в том, что 11тп Р (~ Х, — Х, ~ ) е) = О для всех е ) 0 и всех й В этом случае можно показать, что никаких противоречий не возникает, если определить Р(Х~)~0, 0(1(1) как общее значение указанных пределов. Более того, если 11, 1в ... — любое множе- б 3.
Классификация общих случайных процессов 29 ство точек, всюду плотное в интервале (О, !), то Р (Х, >~ О, 0 < ! < 1) = 1пп Р [Хь ) О, с = 1, 2, ..., и) . л .е Суть дела состоит в следующем: в то время как формула полной вероятности позволяет вычислять вероятности событий, включающих последовательности с. в., через вероятности событий, связанных с любым конечным, а следовательно, и счетным подмножеством этой последовательности, событие (Х, )~ О, 0 < ! < 1) зависит от несчетного числа с. в.
Мы не можем подробно исследовать этот вопрос в нашей книге и рекомендуем читателю обратиться к монографии Дж. Дуба [4). Некоторые вопросы, касающиеся оснований теории случайных процессов, мы затронем в гл. 8. Опишем теперь некоторые классические типы случайных процессов, характеризующиеся различными видами зависимости между Х,. В этих примерах мы будем считать, если не оговаривается противное, что Т =- [О, с ). Для простоты изложения мы предполагаем, что с. в. Х, — действительные.
(а) Процесс с независимыми приращениями Если с. в. Хс — Х, Х~ — Х, ..., Хс — Х~ 2 з л-~ независимы для всех гь..., 1„таких, что ~1<~2<~3< <~л то мы будем говорить, что (ХД является процессом с независимосми приращениями Если множество индексов содержит наименьший индекс 1„то предполагается также, что Хс, Хс — Хс, Х~ — Хс, ..., Хс — Хс о' е' л-1 независимы. Если Т = (О, 1, ...), то процесс с независимыми приращениями сводится к последовательности независимых с. в. Хо = Х„Хс = Х; — Х;, (1 = 1, 2, 3, ...) в том смысле, что, зная распределения с. в. Х,, Ль..., мы можем определить (и это должно быть ясно читателю) совместное распределение любого конечного множества с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
