Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена.djvu), страница 35

5.10, на котором символом «х» отмечены отличные от нуля коэффициенты. В первое уравнение (5.40) для 1, = *й7, входят 7« =- )г'» и и, == Ю» и соответственно отличны от нуля а„, ань а,» Во второе уравнение (5.44) для и, =- )»7» входит только Ф'„ и отличен от нуля а,, В третье уравнение системы (см. (5.41) при л = 2) входят 7, = В'о 7« = К», и, =- (У7«, 7» =— = !к'», поэтому не равны нулю а„, а,» а„, а»,. Наконец, в четвертое уравнение (см.

(5 43) при л = 2) входят и, = )г'», и» =- В'«и 7» = Ф'„и не О равны нулю а«», а«», а«4 Структура следующих далее нечетных и четных строк (кроме последней и предпоследней) пов. торяет рассмотренную структуру третьей и четвертой. Предпоследняя и послед- 7н-1 О к н н няя строки получаются из уравнения 7н х х (5.42) и уравнения (5.43) при л = Л7, Таким образом, ширина ленты матрицы Рк«, 5.!О получается равной 5 и ие зависит от числа уравнений. Заметим, что, как видно из рис.

5.10, матрица является несимметричной. Лля решения данной линейной системы с несимметричной ленточной матрицей используется стандартная подпрограмма С»Е(.В, описанная в главе 1. Особенностью этой подпрограммы является специфическая форма представления м;л.рицы в виде одномерного массива, образованного коэффициензачи. лежащими в пределах ленты матрицы и записанными в порядле ее обхода по строкам Например, коэффициенты матрицы а»о и,», а,„, а„записываются в элементы массива а,, а,, а», а,.

Формирование этого одномерного массива производится следующим образом. Сначала весь массив обнуляется, а затем в него заносятся отличные от нуля коэффициенты путем последовательного перебора строк матрицы. Первые две строки и последние две строки просматриваются отдельно (см. операторы 56 — 65 и 87 — 100), а строки, соответствующие уравнениям для виу»- ренних точек стенки и жидкости, перебираются в цикле (операторы 67 — 85).

Нетрудно увидеть, что номера для коэффициентов мазрицы, стоящих в строках уравнений для л-й внутренней точки стенки, надо отсчитывать от номера (л — 2) 1О '- 7, поскольку в первых двух строках ленты находятся 7 коэффициентов, а далее в каждой после' дуюшей паре строк — по 1О коэффициентов. Этим объясняется вид оператора 68, в котором вычисляется номер элемента одномерного массива, в который заносится первый коэффициент строки, соответствующей уравнению для л-й точки стенки.

Таким образом, в приведенных обозначениях линейная система уравнений имеет вид: )первые а, (Р',+а,(«',+а, й7»=Ь„ (точки ! ия точка стенки а» К»„»+а»+, («»„,-(-а»«» й7»„+ 1К" + а»э, Е,„«., = Ь,„„ и-я точка жидкости а»+»Ю»„-»+а»+е(р» -»+ а»э»" » =Ь,„, Ь=(и — 2) Х10+8, и =2, ..., й/ — 1, последние (а» (Р'ех а+а»+»й7»и — ~+а„,»)Р»и=Ь»и — ь точки (а„э, (Г»л» вЂ” а,э, й7»л ~ -,-ад»«йг»и =- Ь»и. Отметим, что массив В для столбца свободных членов формиру ется в программе «естественным образом» н номера его элементов совпадают с номерачи уравнений в исходной линейной системе. Таким образом, в приведенной программе при выполнении каждой итерации проводится формирование матрицы А и столбца свободных членов В соответствующей этой итерации линейной системы (строки программы 51 — !00), ее решение путем обращения к стандартной подпрограмме (оператор 102), присвоение элементам массива температур вновь найденных значений (операторы 114, 1!5).

С этими новыми температурами производится возвращение к началу описанной процедуры. Выход из итерационного процесса происходит либо при достижении требуемой погрешности, либо при превышении допустимого числа итераций (операторы 1!7 и 1!9). ,....6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООЕМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ Еби. ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ СЕРЫХ ТЕЛ С ДИФФУЗНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ Система уравнений для результирующих лучистых потоков. При анализе процессов теплообмена излучением часто возникает задача расчета теплообмена в системе тел, разделенных диатермичной (абсолютно прозрачной) средой. Наиболее простая математическая модель получается при следующих допущениях: 176 температурное поле поверхности (-го тела равномерное; поверхности тел — серые (коэффициент черноты е; не зависит от длины волны и численно равен поглощательной способности а;); поверхности тел являются диффузно излучающими и диффузно отражающими.

Возьмем замкнутую систему Ф тел (рис. 6.1), удовлетворяющих сформулированным допущениям. Сначала рассмотрим задачу определения результирующих тепловых потоков Р;'", полученных каждым (-м телом в процессе лучистого теплообмена, при заданных температурах всех поверхностей Т; (г' = — 1, ..., Дг). При решении Р пай г т,с,птр Р~ Рг Р Рис. 6.2 Рис, 6.! этой задачи требуется учесть многократные отражения лучистых потоков от всех поверхностей. Для этого выделяются следующие лучил ые тепловые потоки (рис. 6.2): собственный поток Р,', определяемый согласно закону Стефана-. Больцмана, (6. 11 Р;.

=- е; ооТ; 'Яп где оо — постоянная Стефана -- Бо.чьцмана; 5; — площадь по. верхности; падающий поток Р7" — поток, попадающий на поверхность (-го тела от всех тел системы с учетом многократных отражений; поглощенный поток Р,"огл и отраженный поток Р и, связанные с падающим соотношениями: Рпогл — ц Раап и Раап Ротс г, Раап (! е ) Рпаг. (6 21 г ' ~' г г ' г ' 1 1 где г~ — — (! — е~) — коэффициент отражения; эффективный поток Р~~, равный сумме собственного и отражен. ного потоков, (6.31 Рэе=.

е,поТ,'5; - Р,'и, 7 Заи, 22!7 Эффективный поток Р,'~ представляет собой лучистый поток, уходящий с поверхности (-го тела в систему, причем в нем совместно учитывается каь собственное излучение, так и отраженное. Именно введение понятия эффективного потока позволяет легко составить систему алгебраических уравнений, из решения которой можно найти и результирующие потоки.

Падающий на (-ю поверхность поток Рг х можно выразить через эффективные потоки Р';~ со всех остальных поверхностей, если известны угловые коэффициенты излучения рн. Рпад ю,р, Рзф Р (6.4) н (1 е )) Рээ (! е ) ~ <рп Р!Ф е. н 71 Я~ (6.6) г=! т~Ф или АР ~=В, где А — соответствующая матрица размером М.й(;  — вектор- столбец свободных членов, образованный правыми частями уравнений (6.6), которые известны, поскольку температуры Т; мы считаем заданными; Р'э — вектор-столбец неизвестных эффективных потоков.

Коэффициенты матрицы А и вектора В задаются формулами: ам =1 — <рп(1 — е~), 1=1, ..., А', ац= — (1 — е~)щл, 1, /=1, ..., М, !Ф/, Ь; =в~о, Т,' Яь (6.7) 178 Напомним, что угловой коэффициент срп равен о~ношению лучистого потока Рзь падающего на (-ю повеРхность с Ри, к полному потоку, излученному с 1-й поверхности по всем направлениям. Он зависит только от геометрии системы. Переизлучение после отражений при определении ~рп не учитывается. Если (-я поверхность вогнутая, то следует учитывать н коэффициент самооблученности сац (слагаемое при !' = !).

Подставляя (6.2) и (6.4) в (6.3), получим следующее выражение. Р',.а — — е;о Т,'5~+(1 — е~) ~я~ ~рпРеэ, (=1, ..., М. (65) /=-1 Уравнения (6.5), записанные для каждой из поверхностей, образуют систему Ф линейных алгебраических уравнений относительно )У неизвестных эффективных потоков (Р, ); ь Представим эту зф М системч в виде После определения эффективных потоков Р;Ф нетрудно рассчн тать и результирующие потоки Р7'. Результирующий поток Р~', т.е. поток, получаемый (-м телом в процессе лучистого теплообмена, равен разности поглощенного потока Р,".'"' и собственного потока Р';. С учетом (6.2), (6.4) получаем для Рг' следующее выражение э РРез —.е,. ~ ф Рэф а о ум 5 ! ! (У (68) г=! Программная реализация расчета результирующих лучистых потоков.

Таким образом, при определении результирующих тепловых потоков в замкнутой системе серых днффузно излучающих тел с диффузным отражением возникают две задачи: первая связана с вычислением коэффициентов грл по заданной геометрии системы, вторая — с решением системы уравнений (6.6) и расчетом по формулам (6.8). Методы расчета угловых коэффициентов рассмотрим далее в 2 6.2, 6.3, а сейчас остановимся на задаче решения системы уравнений (6.6). При заданных температурах (Т;)~, требуется лишь один раз решить линейную систему (6.6) относительно эффективных потоков Р,'Ф, а затем выполнить расчет результирующих потоков Рг по формуле (6.8).

Система линейных алгебраических уравнений (6.6) имеет матрицу общего вида и может быть решена, например, с использованием стандартной подпрограммы ОЕ! 6, рассмотренной в 2 !.3. Ниже приведен пример фрагмента программы расчета эффективных и результирующих лучистых потоков в системе л( тел, которая оформлена в виде подпрограммы 5()ВКО()Т1!чЕ ((АО (рис. (6.3). Входными параметрами подпрограммы являются коэффициенты черноты е;, площади поверхностей 5;, температуры Т; н угловые коэффициенты ~р;;, представленные в виде одномерных массивов, а выходными параметрами — массивы результирующих и эффективных потоков.

Поясним подробнее способ записи угловых коэффициентов ч~л в одномерный массив Е. Из свойства взаимности (301 вытекает, что Фл 5э = ~ц5;. Поэтому нет необходимости задавать оба угловых коэффициента Ч~л и фы, так как второй легко рассчитывается по заданным площадям поверхностей. Лостаточно ввести верхнюю треугольную часть двумерного массива угловых коэффициентов, содержащую )у (Аг + !)/2 элементов: !ч . Ую ~м км 1 2 з 4 5 6 7 8 8 18 1! 12 [З 14 15 18 !7 18 18 28 21 22 23 24 25 28 27 28 28 36 31 32 зз 34 35 36 37 38 38 46 41 42 43 44 45 46 47 48 48 56 52 53 ПОДПРОГРАММА РАСЧЕТА ЛУЧИС1ЫХ ПОГОНОВ В СИСТЛМК с[У[о( ткл с дивиузнни излучлнилн и оттлкнинм = Опноот!Ик н(В(и, [РЭ, з,т, Р,Р[Р,[чаи, л) входннк дл>нк(к: Н вЂ” ЧИСЛО ПОВКРХНОСПЙ ЕРЗ(И) - МАССИВ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЧЕРНОТЫ ПОВЕРХНОСПЙ 3(Н) - МАССИВ ПЛОИАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ т(и > - нлссив тнн[ЕРАТХР повквхнссткй Р(и> - вквхннн ТРку[ольнля члсть МАТРицы углоных коэнкицикнтов Рл, злпислннля по с[о[Бил( В МАССИВ ДЛИНОЙ М-Н«(И«1 >/г ВЫХОДНЫК ПАРАМЕТРЫ: РЕР(н) — МАССИВ ЭФФЕНТИВНЫК ПОТОКОВ Рнкз(н> - млссив Ркэульт[ннвних потоков РАБОЧИЙ Млс«чв: А(И,Н) - МАТРАЦА КОЭКФИЦИЕНТОВ СИСПМЫ УРАВНЕНИИ О[носитюьно энненп(вн)о( потоков ыилнз!Ои ЕРзп),зп>,тп>,Рп),РПРп),Рккгп>,л(з,еу !.

злпись в илссивы совствк>пвн потоков ОО 1 1-[,Н СВОВОД[н(К ЧЛЕНЫ СИСПИЫ УРАВНЕНИИ тз=тп>«тп> РК«( ! >-5. 87К-О.КРЭ(П«тз«тЭ.ЗП > СЛАГАК>5>к РЕЭУЛЬТИРЛ>НИХ ПОТОКОВ 1 РК)КП)--РКРП > 2, ФОРИ>пч>влник ИАТР>п[ы систк>8) уванкниВ 30511,Н Воз 1 [,Н !РП-Л)3,2,4 дилгонлль>5>е элкмкнтн 2 К !«П+1>/2 ЛП , П-[, -Р(К)«( 1-КРЗП ) > со то 5 случлй [ икнын г 3 Нлз«(д-1)/2«1 РЛ [=Р ( К > «3 П ) /3 П ) ЛП,Л--(!.-ПЭП»«РЛ СО ТО 5 случлй [ золы[к г 4 К=1«(1-1)/2+4 РЛ-Р(К> Л([,Л=-([.-КРЭ([ Л РЛ 5 СОНТ1ИОЕ э. Ренение систкмы уРАВнений (РЕЗУЛЬТАТ РЕР(Н) — ЭФФККП(ВНЫЕ ПОТОХИУ СЛЬЬ СЕ[С(РЕР, А,н, 1, 1.Е-7, 1ЕН) 4.