Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена.djvu), страница 33

(5.24) 16з пература жидкости на входе в трубу постоянна по поперечному сечению и равна Т„. На внутренней поверхности трубы задано либо распределение по длине температуры стенки Тм (г), либо плотности теплового потока дк (г). Течение считается гидродинамически стабилизированным, т. е. поперечная составляющая скорости о„= = О, а продольная и, =- о, (г) не изменяется по длине трубы. Например, для ламинарного стабилизированного течения профиль скорости г имеет параболический вид [31); я п,(г)= по(1 — "/й ) =20(1 — '/й ), гг"1 (5. 18) где и, — скорость на оси трубы; о— средняя по сечению скорость.

Предполагается, что теплофизиче- Рис. 5.4 ские свойства жидкости не зависят от температуры и что диссипация энергии за счет вязкого трения и работа сил давления пренебрежимо малы. Тогда стационарное уравнение энергии, описывающее распределение температуры в потоке жидкости, имеет вид При решении многих практических задач переносом теплоты вдоль трубы (по направлению г) путем теплопроводности можно пренебречь по сравнению с конвективным переносом.

Это допущение правомерно при числах Пекле Ре=Ыа )) 1. Уравнение энергии в этом случае имеет вид дТ Л д ! дТЯ срп, г (5.20) дх г дг 1 дг ) Граничные условия для уравнения (5.20) записываются следующим образом: на оси трубы должно выполняться условие симмет- рии На выходе из трубы (г = () граничное условие ставить не надо, так как в уравнении (5.19) мы пренебрегли второй производной по координате г. Определив температурное поле Т (т, г), можно найти значения локальных коэффициентов теплоотдачи а (г) в любом сечении трубы по формуле дТ ! ! (г) = Л вЂ” ~ ~' !Т [«=и — Т(г)1, дг (5.25) где Т (г) — среднерасходная температура жидкости в сечении г, вычисляемая по формуле Т (г) =- ~ о, тТЙт ( ~ о, тот.

о ( о (5.26) Рис. 5.5 р Л о«.пь — иьт 2 ~~~ у Ь«2 Отметим, что уравнение (5.20) по форме аналогично нестационарному одномерному уравнению теплопроводиосги для неограниченного цилиндра, только вместо производной по времени записана конвективная производная о, дТ(дг. «« т Поэтому параболическое уравнение (5.20) может быть решено с помощью численных схем, рассмотренных в (ь. главе 3 для одномерных нестационарных задач теплопроводности. Введем в двумерной области «» '" т,г [О < т < (с)х[0 < г < Д равномерную по т и по г пространственную сетку: т„= (и — !)й„, Ь„= Ф(й(„— 1), и =1, "..., й(„; "'г„"=(ти —" 1)ь,', ти = 1 ..., л(, (рис.

5.5), и поставим задачу определения сеточной функции Т„, = Т (т„, г ). Для внутренних узлов сетки запишем разностную аппроксимацию уравнения энергии, учитывая, что конвективная производная аппроксимируется разностью «против потокам и„„„— и„,„, о Л срв«( «[т«+1/з (и«+ь ~«и«,~«) Ь« г т« — т„1(о(и„— и„, )[, и=2, ..., й(,— 1, ти=2, ..., М,; (5.27) здесь о„= о, (т„); т„э1(о — — т„~ 5„(2. Разностные уравнения для узлов, лежащих на оси трубы (и =1, и = 2, ..., л(,), построим методом баланса, рассматривая элементарный объем, который показан на рис.

5.5. Тепловой поток Р', поступающий в радиальном направлении через поверхность т == =- й„(2, равен Тепловой поток Р", выносимый из объема протекающей жидкостью, определяется выражением аг Р" = сро, — '(и» вЂ” и,,). 4 (5.28) В выражении (5.28) принято, что в элементарный объем жидкость втекает с температурой и, „а вытекает с температурой и„„„как это следует нз схемы «против потока». Приравнивая потоки Р и Р", получим А» сро,— '(и, — и,,) =Х(и», — и, )й,. (5.29) 4 Для узлов, лежащих на стенке трубы (и = — й1„), разностные уравнения имеют внд: в случае граничного условия (5.22) ии =Та(г ), т=2, ..., 51,; (5.30) при простейшем варианте аппроксимации граничного условия (5.23) ии„"и„— ~ Х " " =да (г„), т= — 2, ..., )У,.

(5.31) а В формуле (5.31) не учитывается тепловой поток, уносимый жидкостью, так как на стенке ои — — о (14) = О. Условие (5.24) на входе в трубу задается точно: иа —— Т,„,а=1,...,М,. (5.32) 165 Разностные уравнения (5.27) — (5.31) связывают значения сеточной функции в двух соседних сечениях по оси г с номерами (т — 1) и т.

При известных значениях и„, (и = — 1, ..., йг,) эти уравнения образуют систему йг, уравнений относительно Ф„значений и„, сеточной функции в сечении г = г . Система уравнений имеет трехдиагональную матрицу и может быть решена методом прогонки, которая проводится «поперек трубы». Таким образом, построенная разностная схема аналогична неявной схеме для нестационарного одномерного уравнения теплопроводностн, с тем отличием, что роль временных слоев играют поперечные сечения г В первом сечении (т =1) температуры задаются граничным условием (5.32), а далее последовательно для каждого сечения решается методом прогонки система разностных уравнений (5.27) — (5.31) относительно неизвестных и„, (и = 1, ..., 51„) и определяются температуры в данном сечении.

Перепишем систему (5.27) — (5.31) в каноническом виде (3.57 принятом в 3 3.4 для систем с трехдиагональной матрицей: гпа аз т сра л' 4ХЬ, ' 4М, — ил„, + Тм (г ) О в случае условия (5.22) или Чм (2юп) Ь вЂ” иэ„, + ил„ц -' = О в случае условия (5.23). Из выражений (5.33) легко определить коэффициенты а„, Ь„, с„, й„для формы записи (3.57), которая используется при обращении к стандартной подпрограмме 5У5ТК11, рассмотренной в й 3.4. Отметим, что а„, Ь„и с„не зависят от номера поперечного сечения и рассчитываются вне основного цикла, проводимого по этим сечениям.

Ниже приводится текст программы (рис. 5.6), предназначенной для расчета температурного поля жидкости по разностной схеме (5.27) — (5.32) и определения локальных коэффициентов теплоотдачи а (г ). Алгоритм расчета и структура программы в основном аналогичны рассмотренным ранее в й 3.5 для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности, только вместо цикла по времени организован цикл по поперечным сечениям г (т =- 1, ..., А/,). Поэтому отметим лишь некоторые особенности этой программы. Распределение скорости и, (г) в поперечном сечении, а также распределения Тм (г) и дк (г) описываются с помощью подпрограмм- функций с именами Ч, Т%, 1~%, причем параметрами этих подпрограмм являются относительная координата г = г/Я нли х= г/1. Подпрограмма У задает распределение относительной скорости о, (г)/и, а средняя скорость и входит в число исходных данных.

Признак 1РК задает тип граничного условия на стенке: (5.22) или (5.23). В зависимости от значения этого признака различным образом рассчитываются коэффициенты с„и г(л для уравнения. соответствующего последней точке а = А/„. В каждом сечении после нахождения температур и„, рассчитывается значение локального коэффициента теплоотдачи а =а(г ), определяемого согласно выражению (5.25). При этом сред- 166 1 2 3 4 5 в 7 в 9 1Э 1! !2 !3 !4 !5 !в !7 !в !В 29 21 22 23 24 25 2В 27 23 29 39 3.

32 зз 34 Зв зв 37 ЗВ 39 ЛЕ 41 42 43 44 45 45 47 4В 43 56 5! 52 53 ПРОГРАММА РЛСЧЕТЛ ДВУМЕРНОГО ТЛМПЕРАТУРНОГО ПОЛИ ВЩНОС)И ПРИ ТЕЧЕНИИ В ТРУБЕ В!МЕМЗ!Он О(56),А(59),В(56),С(59), «В(56),С(59),(ЫГ(166),ЕЧ(29) !. ВВОД йСХОДНЫХ ДАННЫХ ОЙ,ОŠ— РАдиус и длинА тРуБы СЙ,А(. - ОБ'ЕМНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОЛНОСТЬ ОА - ТЕМПЕРАТУРА ИИДКССТИ НА ВХОДЕ ЧС - СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ нй,иг - число узлов сАтки по я и по г ич — числО сечений по Оси г, В кОтОРых ПЕЧАТАЕТСЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ЕЧ(МЧ) - КООРЛИНАТЫ СЕЧЕНИЙ ВЫВОДА РЕЗУЛЬТАТОВ 1Рй - ПРИЗНАК ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ НА СТЕНКЕ ( (-ТЕМПЕРАТУРА, 2-ТЕПЛОВОЙ ПОТОК ) ЗАВИСИМОСТИ ОТ КООРДИНАТ СКОРОСТИ, ТЕМПЕРАТУРЫ СТЕНКИ ИЛИ ПЛОГНОСП( ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ЗАДАЮТСЯ ПОЛПРОГРЫЕМ94И-ЭУНКЦИЯМИ Ч(й), ТИ(г), ОМ(Е) МАССИВЫ, ИСПОЛЬЗУ!МЫЕ В ПРОГРАММЕ: О(ий) — РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПО РАДИУСУ А(ИЙ), В(ИЙ), С(ий), В(ИЙ), С(нй) - МАССИВЫ ЛЛЯ РВЧЕНИЯ СИСТЕМЫ УРЛВНЕНИй МЕТОДОМ ПРОГОНКИ С ПОМОИЬЮ ПОДПРОГРАЕИ ПЧЗТЙВ АОГ(иг) - РАспРелеление нозееициентОВ теплоотлАчи ПО ДЛИНЕ ТРУВЫ ЙЕАО 1, ВЙ,ВЕ,СЙ,АЬ,ОЭ,ЧС ! ГОЙМАТ(ВГ!6.3) Рй!нт 2,ОЙ,Ог,сй,ль,оэ,чс 2 ГОЙМЛТ(' ОН=',С19.3,' ОЕ ',С!9.3,' Сй=',С16.3/ »' А) ',С!Э.З,' ОЭ= ,С)Е.З,' ЧС=',О!Е.З) йелВ 3, нй,иг,мч,!Рй 3 ГОЙМАТ(19!5) РРЫНТ 4,ИЙ,ИЕ,1РЙ 4 ГОКА(АТ(' Ий=',13,' ИЕ=',!3,' )РЙ=',13) йеАО 1, (гч(и),и 1,мч) Рй!нт 5,(гч(и),и !,мч) 5 ГОЙМАТ(' НООРДИНАТЫ СЕЧЕНИЙ ВЫВОДА РЕЗУЛЬТАТОВ:'/(ВС19.3)) 2.

ЗАДАНИЕ ТЕМПЕРЛТУРЫ ВО ВХОДНОМ СЕЧЕНИИ ВО8И1ИЙ В О(Н)=ОЭ 3. ВЫЧМСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ИОЗЕЭИЦИЕНТОВ ДЛЯ ПРОГОНОК НЙ1 Ий-1 НК Ой/Ий! не=ОХ/(НЕ-1) Г=СЙ«ЧС«НЙ«НЙ/АЬ/Нг 3.! ТОЧКА НА ОСИ ТРУБЫ А(1) 1. В(1) 1,-Г/4«Ч(6.) С(1) 9. 3.2 ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ Оо 7 Н 2,ИЙ! Рис. 5.6 Рис. 5.6. Продолжеиое няя в данном сечении температура рассчитывается с помощью квадратурной формулы трапеций: и =-- — ' [о,г»и„„1- и»,г„,и„, [~2, 2»» »=2 [5,.34 ) а приближенное значение локального коэффициента теплоотдачи вычисляется так: а ==Л[ии,„— и!ч !,,»Ий, [ии, -- и„,)[ <5.:)5 ! Найденные значения а накапливаются в массив А) Г и выводятся на печать после окончания цикла по сечениям. Печатаегся таблица значений координаты г, коэффициента теплоотдачи а„, и локального числа Нуссельта 5)ц == а 2)сс)Л. Кроме того, в задан.