Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена.djvu), страница 32

Однако следует ожидать, что она будет «плохо работать» при больших скоростях течения. Такое свойство схемы можно объяснить следующим образом. Зафиксируем температуры и„и и„„в точках с координатами х„и х„„и рассмотрим, как будет из~меняться профиль температуры жидкости ) ехр (Реп (х — хп) )а) — ! (5 д) ехр (Реи) — 1 среи где Ре„= — — так называемое сеточное число Пекле, характери- Л зующее соотношение между конвективным переносом и теплопроводностью на участке длиной й. Из формулы (5.9) и рис.

5.2 следует, что при больших сеточных числах Пекле, которые соответствуют большим скоростям течения п, целесообразно считать, что через левую границу элементарного объема про- ип и'»~ текает жидкость с температурой и„ , предшествующего объема У„„а через ! правую — жидкость с температурой и„ ! данного элементарного объема. Сформулированному требованию как раз и удовлетворяет третья аппроксимация вида ! (5.8). Из приведенных соображений х,х следует, что эта аппроксимация должна хорошо работать при больших скоростях течения. Формулы (5.6) — (5.8) можно трактовать и так.

При использовании (5.6) производная дТ)дх в (5.3) аппроксимируется разностью вперед по направлению движения жидкости (разностью «по потоку») хп дТ иппд — ип дх й в случае (5.7) — центральной разностью: дТ ип+» † дх 2Ь а в случае (5.8) — разностью назад или разностью «против потока»с дТ ип †-« дх й между этими точками при увеличении скорости ее движения. Перестройка профиля, как показано на рис. 5.3, будет приводить к уменьшению изменения температуры на большей части участка (хп, х„„) и стремлению ее к значению и„.

Этот факт следует как из физических соображений, так и из формулы для соответствующего точного решения уравнения (5.3) на участке (х„, х.„): Приведенные рассуждения носили качественный характер. Для проведения более подробного анализа и сопоставления разных видов аппроксимации конвективного члена в уравнении (5.3) применим методику, использованную нами в 9 3.3 для исследования конечно- !йэ разностных схем для уравнения теплопроводности. Запишем приближенное выражение для конвективного члена в виде дТ вЂ” жа,и„+,+а«и„+а«и„,, (5. 10) дх обобщающем формулы (5.6) — (5.8). Тогда с учетом (5.4) н (5.5) конечно-разностное уравнение для (5.3) записывается так: сро (а, и„.„, + а«и„+ а«и„«) = Л (и„.„, — 2и„+ и„,)/й« или сроа,+ — ) и = ~ — — а сро~ и, + )» ~ «»- ! Л +( — — а«сро11 и„«,.

(,л (5.11) Как и в $3.3, будем использовать следующий критерий пригодности разностной схемы для расчетов: прн любых ситуациях она не должна давать численных решений, противоречащих физическому смыслу. Рассмотрим с этих позиций две «перспективные» аппроксимации: центральной разностью и разностью против потока. 1«ля аппроксимации центральной разностью в (5.10) следует положить а, = 1!2Ь, а, = О, а, = — — 1/2Й. Подставляя эти значения коэффициентов в (5.11), получаем разностную схему = — — — (.,— .-,).

и,+ +и ., »Лср 2 4Л (5.12) гбб Теперь предположим, что температура жидкости монотонно возрастает по длине канала и и„„) и„,. Тогда температура и„должна лежать между и„, и и„,. Однако из уравнения (5.12) следует, что при большой скорости о температура и„может «упасть» ниже значения и„,. В частности, если и„, = 100, и„«, = 102, то при и = 1, Ьср» - 1, о = 4 из уравнения (5.12) получаем и„= 99. Чтобы не произошло такого чрезмерного падения и„, необходимо выполнить условие 4Л г Таким образом, соотношение(5.13) определяетмаксимальноезначепие скорости, для которого можно проводить расчет при данном шаге по пространственной координате.

Если скорость будет превышать это значение, то в численном решении может возникнуть, например, немонотонность в распределении температуры. Приведем пример «плохого» поведения численного решения, полученного при использовании аппроксимации центральной разностью при малых скоростях.

В 9 5.3 будет рассматриваться решение уравнения энергии для жидкости, находящейся в теплообмене со стенкой канала, имеющей постоянную температуру Т«г, для слу- чая, когда «теплопроводным» членом в уравнении энергии можно пренебречь по сравнению с конвективным, а изменение энтальпии жидкости обусловлено только ее теплообменом со стенкой: 6Т и/ сро — = — (Тч — Т), Дх 8 где а — коэффициент теплоотдачи; / — периметр; 5 — площадь поперечного сечения канала. Конечно-разностная схема при применении центральной разности имеет вид сро "" " ' = — (Тя — и„) 2Ь Я или 2а/Ь 2сс/о и«~ы =- и„, + — (Тя — и„), — = т1. (5. 15) сро5 сроо Если температура жидкости на входе в канал меньше Тя, то по длине канала происходит ее монотонное возрастание, при котором Т стремится в пределе к Ттг(рис. 53).

При расчете же по схеме (5.15) при достаточно большом»), которое получается при малых скоростях или больших шагах по пространственной координате, наблюдается Т следующее явление. При подходе численного решения достаточно близко к Тго на каком-то его шаге / происходит «перескок» и„+, за значение То«, т. е. температура жид- х кости превышает температуру стенки. Поскольку разность (Тго— Рис. 6.3 — и„«,) в (5.15) сразу становится отрицательной, то далее разностное решение снова падает ниже уровня Тя«Таким образом наблюдаются колебания, противоречащие караяз еру физического процесса.

Разобранные примеры указывают на то, что аппроксимацию центральной разностью нужно использовать с известной осторожностью. Перейдем к рассмотрению аппроксимации разностью назад, которой соответствуют коэффициенты а, = О, а» =- 1/й, а, = — 1//»в (5.! 0). Разностиая схема (5.! 1) принимает вид ио«»+ио» ! «Роз (5.16) 1 +оров/Л Л (2 +оров/Л) Из (5.16) видно, что для рассмотренного выше монотонно возрастающего по длине распределения температуры при любых значениях скорости температура и„всегда располагается между и +, и и„,.

Зак. 2217 161 При больших скоростях и„приближается к и„„что согласуется с точным решением (5.9). Для задачи (5.14) при аппроксимации кон- вективного члена разностью против потока получаем конечно-раз- ностную схему срп "" "" ' == — (Тм — и„) Л 8 или яа — 1+ ЧТу~(2 2аМ пп т1 = 1+ 11/2 сРо5 (5.17) $5.2. РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНОГО ДВУМЕРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПРИ ТЕЧЕНИИ В ТРУЕЕ В качестве примера численного решения задачи конвективного теплообмена при заданном поле скоростей рассмотрим задачу расчета двумерного температурного поля несжимаемой жидкости Т (г, г), протекающей в трубе радиусом )Г и длиной 1 (рис.

5.4). Тем- 162 Очевидно, что при расчете по формуле (5.17) при любом значении т1 всегда бУдет выполнено неРавенство и„( Тя. Отмеченные положительные свойства конечно-разностных схем, получающихся при использовании аппроксимации конвективных членов разностью против потока, обусловливают их широкое применение. Поэтому именно эта аппроксимация была выбрана при решении рассматриваемых в 2 5.2 и 5.3 задач. Мы рассмотрели конечно-разностные схемы для решения стационарного уравнения энергии. В случае нестационарной задачи построение соответствующих схем производится на основе приведенных аппроксимаций конвективного и кондуктивного потоков точно так же, как этоделалось для нестационарного уравнения теплопроводности, т.

е. можно использовать явную или неявную схемы. В явной схеме потоки берут с предыдущего шага, в неявной— с текущего. Можно ввести и схему с весами. Отмеченные выше отрицательные и положительные свойства аппроксимаций (5.6) — (5.8) проявляются и при решении нестационарных задач. В частности, даже неявная схема с разностью вперед является неустойчивой при любом соотношении шагов по пространственной и временной переменным.

С другой стороны, неявная схема с аппроксимацией разностью против потока безусловно устойчива. Проведенный анализ различных разностных схем носил в большей степени качественный, чем количественный характер. С их строгим теоретическим анализом можно ознакомиться по книгам 121, 23, 24). Перейдем к рассмотрению алгоритмов численного расчета двух задач конвективного теплообмена, основанных на решении уравнения энергии. (5.19) (5.21) на стенке (г =- )с) задается либо распределение температуры Т (г, г) (, я = Т,р (г), (5. 22) либо распределение плотности теплового потока Л вЂ” ~ =дм(г), дТ (5.23) а во входном сечении г = 0 задается температура входящего пото- ка Т(г, г)(, а=Т,„.