Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике.djvu), страница 9

Крышка над ю во втором уравнении означает сумму только по этим макрочастицам. Итак, дело свелось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (период Т = 21гЬг/~3ф). Поведение решений таких систем определяется отображением за период. В некоторых простых вариантах система интегрируется, и это отображение можно изучать аналитически. Результаты показывают, что пространство параметров 11, у, Ьз, 4,... расслаивается на чередующиеся области устойчивости и неустойчивости (когда модуль собственного значения отображения больше единицы). Таким образом, можно констатировать, что метод макрочастиц, вообще говоря, неустойчив. Причиной является, конечно, двойная дискретизация — пространства и среды.

Однако к вычислительным катастрофам это не приводит, в первую очередь по причине нелинейности задачи. После того как возмущение достигнет некоторой величины, линейная модель перестает действовать. На нелинейной стадии процесс управляется другими факторами. Однако шум и паразитные колебания всегда присутствуют. И расчеты это подтверждают. 6.

Процесс эмиссии электронов с катода можно моделировать граничным условием для функции распределения на его поверхности вида У = — ~',6(1о — 1о,) пРи ~', < О, Р„) О, где 1'„= (~7 х Н)„и р„— нормальные к поверхности компоненты ротора магнитного поля и импульса, а ю, — заданная стартовая энергия электронов. В предыдущих задачах принудительную инжекцию электронов с катода при фиксированном 1', имеет смысл заменить такой эмиссией. При этом первоначальным источником электромагнитного поля может служить разность потенциалов между катодом и близко расположенной анодной сеткой, прозрачной для электронов и обладающей нулевой касательной компонентой электрического поля.

Разность потенциалов задается через поле на стенках способом, описанным в задаче п. 1. 7. Процесс столкновений частиц в системе Максвелла— Власова непосредственно не отражен. Однако некоторые последствия этих столкновений можно эффективно учесть. Одно из них — рассеяние энергии на среде — с использованием известного закона Ома учитывается просто расширением определения плотности тока Другой важный эффект: ионизация среды, рождение ионноэлектронных пар, темп которого задается уравнением дю ()~ ~' где Ф вЂ” концентрация рождающихся частиц, и — частота ионизации (например, и = юод(ф — р,), где р, — некоторое пороговое значение импульса). В уравнении для электронов появляется правая часть дг д г' дУ дХ вЂ” + я — — (Л + я х Н ) — = 6(р) —.

И д* др д$ В момент рождения частицы имеют нулевой импульс. Если ионы неподвижны, то М вЂ” их концентрация, учитываемая в уравнении ~7.Н =Лг — г'о'р. При этом проводимость о может быть функцией М. Остальные уравнения не изменяются. 8. Одним из самых простых уравнений Больцмана является кинетическое уравнение для плазмы с интегралом столкновений в форме Ландау. Для электронов его можно записать в виде д7" д7 дг" дз — +я — — (Е+и х Н) — = — —, дФ дх др др' где компоненты вектора а есть з,.

=Л ~У вЂ”, — У* — )Ф, (о — о')И~. 7 дУ*,дУЛ Здесь Л вЂ” заданный коэффициент, У "(р*) — функция распределения второй, неэлектронной компоненты (ионы, нейтральный газ), а элементы матрицы Ф имеют вид В частности, если рассеяние идет на холодной неподвижной среде, У(р*) = б(р*), кинетическое уравнение может быть записано в виде — + — — ~(и+ Ли)у +о х ~Иу — Ло х — )) = О, дУ д(оУ) д 7 дУЛЛ дг д* др~ др)) где Л =Л/1о1'. Таким образом, формально мы возвращаемся к бес- столкновительному уравнению Власова, но с заменой Е Е+Л, И И вЂ” Лих д(1п У) др Тип уравнения меняется, должен измениться и численный алгоритм его решения. 9. В лекции 7 было введено понятие обобщенного решения любой гиперболической системы квазилинейных уравнений вида 7.6 т.

е. ( ). дш дУ(ш) д~ дх которое допускает разрывы на линиях оз/Ю = Р при выполнении соотношений (7.8) РИ = (У(шН (4) и условий на число приходящих на разрыв характеристик. Это позволяет продолжить решение в случае пересечения характеристик одного семейства. При этом всюду молчаливо предполагалось, что начальные данные — гладкие функции.

Однако даже в таком случае почти 58 неизбежно возникновение разрывов и вполне возможна встреча их с образованием в точке встречи произвольного разрыва. В этой точке появляется особенность, и характер ее определяется решением так называемой задачи о распаде разрыва. Поместим произвольный разрыв в точку х = О, г = О.

Набор левых и правых значений обозначим соответственно и и и'. Асимптотику решения в малой окрестности этой точки будем искать как функцию угла с = х/г, ~и = тв(~). Тогда система (3) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений — 44~+ ~~(в) =О ос ос или где А — матрица производных дУ/дтв, а Х вЂ” единичная матрица. Для этой системы уравнений первого порядка ставится граничная задача тв-+и~ при С вЂ” ~со.

Очевидно, любое ш = сопз1 удовлетворяет системе уравнений. При некоторых с =Х) возможны разрывы, удовлетворяющие (4). Имеются также участки нетривиального непрерывного решения где а,. — собственные значения матрицы А, а 1,. — соответствующие собственные векторы. Пользуясь этим набором, можно сконструировать решение задачи о распаде разрыва. А используя его как асимптотику при г — + О, х — ~ О, можно продолжить решение гидродинамической задачи на ~ > О. Оно будет содержать только допустимые разрывы. 10. Решение сформулированной выше задачи о распаде произвольного разрыва нужно не только в гидродинамике. Еще большее значение она имеет в теории гиперболических систем квази- линейных уравнений вида (3), так как позволяет провести классификацию таких систем и, вообще, вскрыть многие интересные свойства отображений и — +у(ю).

Ситуацию в этой области проиллюстрируем двумя примерами. Однозначная разрешимость задачи о распаде разрыва имеет 59 место для класса систем двух уравнений с двумя неизвестными функциями, определяемого следующими тремя условиями: а) Ле„е,: )А(ю)е„е,) )А(ю)е„е,) < 0 Чю, Ь) Во: (А(а>) — о1! < 0 Чю, с) 1~7а, фО, 1=1,2, Чю, где использованы прежние обозначения, а ~, ~ — определители. Условие а) означает, что имеются два направления — е„е„ которые ни в одной точке плоскости ш не являются собственными для матрицы А, и что существуют действительные собственные векторы 1„1„~А1„,11 2~ =О, которые не колинеарны даже взятые в различных точках, (1,(ю,),1,(ю,)) ~0, и разделены направлениями е „е,. Условие Ь) означает, что собственные значения п,(и), а,(ю) разделены константой о и отображение зо — + (7 (ш) — ои) взаимно однозначно.

Наконец, с) — так называемое условие выпуклости 7"(а~), означающее, что вдоль собственных направлений соответствующее собственное значение меняется монотонна. В случае одного уравнения одно это условие обеспечивает однозначную разрешимость задачи о распаде разрыва. В качестве другого примера рассмотрим случай системы трех уравнений вида (3), но будем интересоваться только непрерывнььми решениями задачи о распаде разрыва. Если в каждой точке пространства и собственные значения действительны и различны (а, < а, < а,), а собственные векторы линейно независимы ()1„1„1,! ~ 0), то для единственности непрерывного решения задачи необходимо и достаточно, чтобы среди решений уравнения!,~74 = 0 нашлось два таких линейно независимых решения ф„ф„что (1ь~41)(11 (74ъ~)(1з~74з~)(1з~74~г) < О. И.

Рассматривая в лекции 9 закон Ома,мы упростили ситуацию и пренебрегли некоторыми членами. В более полной формулировке он получается в виде 1 1 . 1 Е = —,т' — п х Н + — у х Н вЂ” — ~7р, а еп еп причем у =ЯхН. Наличие последнего слагаемого мало что меняет, электронное давление р может быть заменено половиной общего давления р или вообще опущено. И наоборот, член с у х Н, представляющий реально обнаруживаемый эффект Холла, существенно отражается на свойствах модели МГД как математического объекта. Возникают проблемы с корректностью, появляется дополнительная нелинейность, система оригинально реагирует на симметрию задач.

Так, если в формуле закона Ома оставить только один этот член, устремляя о — ~ со и рассматривая макроскопически неподвижную среду (и = 0), то получим систему уравнений для магнитного поля вида В часто используемом двумерном варианте, когда имеется лишь одна ненулевая компонента магнитного поля, ортогональная градиенту (например, как в задачах пп.