Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory.djvu), страница 9

а (и — и ) + Ь (и — и ) + с (и — и + (а - а )и + (Ъ - Ь )и + (с — с )и и п и-1 п п и п п и+1 ' О<и<И, и-и=О, О О и -и =О. И И АРР1у1пд (2) и - и $ < И аах / (а — а )и + (Ь вЂ” Ь )и + (с — с )и ! $ !. Егоа чЫсЬ, поч арр1успв (4) апй (5), ае йег1че (и — и„~ < И в(3 ° 2И авх!Е ) + 3 ° 2И авх((41, 1Ф))).

1.е., 1пеЧиа11су (6). Иоч сопв1дег сЬе ргоЫеа оЬса1пед Егоа (! ) Ьу регсигЫпв, пос оп1у сЬе соеЕЕЕс1епсв, Ъис в1во сЬе г1аЬс-Ьапй-в1дев аи +Ьи +сс ип1 пи пи+1 Е, р< и<9, п' и ф Ч (9) п Ф р зо1ч1пи сыв 1ассег 1печиа11су ч1сь гевресс со и, че Оес (7) апф, ьепсе, (5). Ргоа 1пеЧиа11су (5) 1С Ео11очв СЬас сЬе Ьоаодепеоив вувсеа соггевроп61пИ со ргоЪ1еа (3), апд оЬса1пед Егоа 1С Ьу весС1пф ф ф = Е и п О, Ьав оп1у сЬе чап1вЬ1па во1ис1оп и = О. ТЬив сЬе йесега1иапг оЕ а сое111с1епсв оЕ (3) Ев 61ЕЕегеиг Егоа пего, вп6 ргаЬ1еа (3) Ьав опе апд оп1у опа во1иС1оп Еог апу агЫсгагу г1дЬс-Ьапй в14ев.

Ргорегс1ев 1 апд 2 аге ргонеп. 1с геаа1пв оп1у со ргоче ргорегсу 4', 1.е. 1пефиа11Су (6). яиЪсгасс1пф, пега Ьу сега, ЕЧ. (1) Егоа ЕЧ. (В), че Вес Вав1в оЕ сЬе РВВВ ИеСЬод СЬарсег 3 56 Опе сап вЬои СЬаг и - и ~ < с[бИЛ аах )Е ~ + 6ИЛИ2 аах[[ф] [ф])] + !.- и + и аах []ф — ф], ]ф — ф[) + И аах [Е - Е (10) И аах )Е - Е ~ + И аах []ф — ф], [ф — ф]) ТЬеп сЬвпВ1пВ сЬе соеЕЕ1с1епсв 1п сье ечиас1оп вувсеа иссь сье а1сегед г1ВЬс-Ьапд в16ев ие Е1пй сЬас, Ьу ч1гсие оЕ ргорегсу 4', СЬе соаропепгв и сЬвпбе Ьу ап а66111опв1 ааоипс иос ехсеей1пВ с[ВИЛ аах [Е ~ + 6И И аах []ф), ]ф])], чЫсЬ, 1пбеей, 1еабв Со Вопим (10) ° Яе пои дег1че, Егоа сЬове сопвеЧиеисев оЕ 1пеаиа11су (2) чЫсЬ Ьаче а1геайу Ьееп 61всиввеб, опе Еиг<Ьег сопвеЧиепсе.

Вирраве сЬас Еог СЬе во1ис1оп оЕ вувсеа (1') ие Ьаче, Еог вове Л > О, р + Л < п < Ч вЂ” Л, сЬе Ъоипб ]и ] < И аах ]Е ] + И вах [[ф], ]ф]). Ш а ТЬеп сЬе во1ис1оп оЕ сЬе регсигбед вувсеа а и „+ и п-1 Во+си+1=Е ии пи+1 п' и ф, Р и ф, Ч виЪ)есс со сЬе соп61с1опв ~,]ь -ъ~,~ — ~~< < — <— 1 вас1вЕ1ев, а1во Еог р + Л < и < Ч вЂ” Л, сЬе 1пеаиа11су и ~ < 2И аах [Е [ + [И' + —.) иах []Ф[, ]ф[).

(12) То сопн1псе оигве1чев оЕ СЫв че Ве(1пе СЬе аих111агУ пеС ЕипсС1оп [чи) ав сЬе во1ис1оп аЕ сЬе вувсеа Ие и111 оп1у вЬессЬ ап оис11пе аЕ сЬе ргооЕ, иЫсЬ сап еав11у Ъе сагг1еб ош Ео11ои1пВ СЫв оис11пе. Р1гвс сЬап61пВ оп1у сЬе г1ВЬс-Ьаид вЫев апй 1еач1пВ сЬе соеЕЕ1с1епсв ипа1гегеб че все, е1СЬ СЬе аЫ оЕ (2), СЬаС еасЬ ии сЬапбев ЬУ по ваге СЬвп Ргорегс1ев оЕ Уе11-Со»6111»пей Во»»сагу-Ра1»е РгоЫеа ач ЕЬ» +он О, р<п<о, пп-1 пп пи+1 ч =ф, Р Рог р + 1 < п < И - Х < "2 вах (!Ф~, )Ф().

(13) Иехс»е «ве, Еог а Ьо«»6 оп» - ч, 1»ео»а11су (10), Егоа »ЫсЬ 1с п п~' Еа11о»в, СаЫ»В восо«пс аЕ ( 1), сЬа )» -ч ~ < < с[6М вах )Е ~ + 6М И аах ()ф), )ф))) + И вах )Е ~ < и и < — вах (~ф(, )ф)) + 2И вах )Е )а, - а ~ < В~ „ ~ , )Ь вЂ” Ь ( < В~" „ (14) ) <В~ — „), 0>О, >О, )Ь - 1! а1опВ «1сЬ сЬе со»4141опв 6 = аах~(а ~, (Ь„(, ~с„~) > В > О, (а ~ <И1, )Ь ! <И1, (с ! <М1. (14 ) Моч, сЬго»ВЬ »ве оЕ (13), че 1ввае41асе1у Вес 1«ец«а11су (12). мосе. 1с 1в 1прогсапс со всгевв сьас сье с»апс1су с 1п ьо«»4 (4), де(1»1»В СЬе 11п1св «1сЫп «ЫсЬ опе сап регс»гЬ сЬе соеЕЕ1с1епгв »1сЬо»с «1о1ас1пв во1чевЫ11су, а»4 а1во сЬе соеЕЕ1с1епсв 1п Ьо»пй (5) оп СЬе во1»с1ои оЕ сЬе рагс«гЬес ргоЫеа, апй 1п Ьо«псв (6) а»6 (10) оп СЬе Ве«1ас1»п Ьесчееп ссе во1»с1опв оЕ сЬе рагс»гЬей а»6 «пресс«гЬед ргоЫеав а11 сЬеве 4«апс1с1ев Вереей оп1у оп сЬе соеЕЕ1с1епса М1 а»4 И2 1п Ьо«»6 (2).

ТЬе вресЕЕ1с ча1»ев оЕ сЬе соеЕЕ1с1епгв оЕ сЬе 61ЕЕегепсе ец«ас1«п, апй сЬе п»пЬег оЕ ро1исв о - р + 1, 1» сЬеа*е1«ев р1ву по го1е: сЬе1г 1пЕ1«сисе асса оп1у сЬго«ВЬ сЬе ахепсу оЕ сЬе сопвгаисв М1 апд М2 «ЫсЬ ге»бег Ьо«пс (2) ча116. 2. Ргооу оЕ сЬе сг1сег1оп Еог Воой-со«61сЕоп1пВ. 1» 554 ае Еога«1асед сг1сег1а Еог а ме11-со»6111»пес ргоЫеа (1) »1сЬ соеЕЕЕс1епсв вас1вЕу1пс сЬе ввоосЬ»евв соп4111опв СЬаргег 3 Ввв1в оЕ сЬе РКВВ МеСЬод а +ЬЧ+о Ч2 0 п п п ваС1вЕу сЬе 1пеЧив11с1ев ~ ~1~ — 2' О (15) иЬеге 8 > 0 доев пос дерепд оп М ог п. ТЬе песевв1су оЕ сЫв сг1сег1оп сап Ье ргочеп Ьу гоиВЫу СЬе ваше аесЬода ав иеге «вед, 1п 454, иЬеп деа11па и1ЕЬ сЬе саве оЕ сопвсапс соеЕЕ1с1епса, апд ие и111 пог асор со сопвЕдег СЫв Чиевс1оп ЕигСЬег.

То ргоче виЕЕ1с1епсу че и111 иве СЬе сг1Сег1оп, д1всиввед 1п 664, Еог а ие11-сопд1с1опед 61ЕЕегепсе Ьоипдвгу-ча1ие ргоЫеа аи + Ьи + си Е , р < п < Ч, п-1 п п+1 п' (16) и Ф, и Р Ч и1СЬ сопвгапС ооеЕЕ1о1епов, иЬеге р апд Ч, Ч > р + 2, аге агЫСгвгу Епсебегв. 1п сопсгавс со иЬас иав допе 1п х4 ие пиеЬег сЬе соаропепсв оЕ СЬе во1иг1оп ~и„~, пег и1СЬ п О, 1, ..., М, Ьиг и1СЬ СЬе пиеЬегв п р, р + 1, ° . °, Ч, иЬЕсЬ сЬапхев посЫпа еввепс1а1 ° РгоЫее (16) а1иаув Ьав а во1ис1оп апд, погеочег, Еог а11 п висЬ ЕЬас р < п < Ч, Ьоипд (30) 54 1в ча11д, 1.е.

)» ~ < И шах~Е ( + М еах()Ф~, )Ф(), р < п < Ч. (17) апд, Еог п висЬ ЕЬас р + б/6 < п < Ч вЂ” б/О, ие Ьаче Ьоипд (31) 94с (и ) < И еах (Е ( + М2 аах ~)Ф(, )Ф!) ° а (16) иЬеге 128 м ве' 4 М е 1 М 2 5 Ие и111 опоове в висЬ сЬас 1 24И2 1 апд сесе М 1агбе епоиВЬ во сЬвс сЬе 1пеаив11су (19) ~24~ < > 24~0~ (20) То Виагапсее сЬас ргоЬ1еа (1) 1в ие11-сопд1с1опед, ВЕчеп (14) апд (14 ), 1с 1в песеввагу апд виЕЕ1с1епс ЕЬас сЬе гоосв оЕ сЬе Чиадгвс1с СЬарсег 3 Вав1в оЕ сЬе РеВБ месЬ»6 60 »111 ье вас1вЕЕеб ° тЬе во1»г1оп ое сье ргоыев»1гь сопвсапс соеЕЕ1с1епсв ач +Ьч +сч Е, Я <»<Я и-1 п п+1 п* К+1' (25) ч Ф, ч Ф, К-1 К+1 »Ьеге а а, Ь Ь Я Я Еог и ЯК, Ьу »1гс»е оЕ сЬе 1»ео»а11су б б ЯК-1 + б ( ЯК ( ЯК+1 6 вас1вЕ1ев Ьо»пб (18) ч ~ < М ввх )Е ) + М вах()ФК), )Ф~ )).

1«- »Ьеге 128 1 М М' ВВЗ ' г 5' ТЬе ргоЫев пи 1 пп пи+1 и' К-1 К+1' К-1 +1 (26) » ~ < 2М свах )Е ) -С. (М' + -) вах~!» ), ~» ~) ( 1 а К-1 К+1 < 2М аах )Е ) + — вах ~ ~» ~, ~» !). а К-1 К+1 Сои»ее»е»11у вах 1» ) < 2м аах )Е ) + — вах Е)Ф), )Ф), аах ~» ~) < 1 0<К< г К в 0(К(г < 2М вах )Е ) + — вах и + — пах~)Ф), )Ф)). 1 1 в 0(К(г К~ саи Ье сопвЕбегеб а регг»сбей чегв1оп оЕ ргоЫев (25), »Ы1е ЕЬе соеЕЕ1с1епсв оЕ (26), Ьу ч1гс»е оЕ ЕЬе 1»ее»а11гу я — я < 24/8, 61ееег Ьу К+1 по аоге СЬап с Егоа сЬе соеЕЕ1с(епсв оЕ ргоЫев (25).

Во»пб (12) сап па» Ье »вой Еог сЬе во1ис1оп оЕ ЕЬе рагс»гбеб ргоЫев. Рог и ЯК опе Вега Ргорегг1ев оЕ Яе11"Со»4111опеб Во»»двгу-Уа1»е РгоЫещ 61 Ивисе вах ]» ) < 4И вах ]Е ) Е щах ()ф], )ф)). О<Ь<г] 1с) в Яоч, Еог впу агЫсгагу п, че Еспд яЬ 1 апй ЯЬ+1 Ьесчееп иЫсЬ 1с 11ев апб »ве Ьаипй (23): ]» ) < 2М ввх ]Е ] Ф 2И вах( )» ], ]» ]) < < 2М вах ) Е ) + 2И2( 4И1 ввх ) Е ) + вах( )ф ], ) ф) ) ] < < (2М + ВМ)М2) ввх )Е ) + 2И2 вах()ф] ° )ф)) (27) а» 1+Ь» +с» 1 О, О<и<Я, пп1 пп пи+1 » О, » = О, О ' Я чЬеге ап с 1, Ьп в (-1)", сп в 1 апб Я = бЯ1 Ьав, Еаг апУ Ров111»е 1пгебег Я1, сЬе попсг1ч1а1 ва1»с1оп пч в1» — , б 1Е п 1а ечеп, » п пч -саа — , б ЕЕ п 1в обд. Сопвеф»епс1у сЫв Ьа»»басу-чв1»е ргоЫев 1в пог че11-сопй1с1опеб, бевр1се СЬе Евое СЬаС )Ь ) - )и + с ] сс3агТ'Гасам )а ) )Ь ) = )с ] 1, ]Ч1) 6 )Ч2 ~ 6 Во»пб (27), оЬса1пей Еог Ч - р > 24/б, Ьу ч1гс»е оЕ (23) гепщ1пв ча114 а1во Еог Ч вЂ” р < 24/В.

РгоЫев (21) 1в во1чеаЫе Еог апу агЫсгагу г1ВЬс-Ьвпб в(бее в1псе, ав свп Ье вееп (гав Ьо»пй (27), Еог ф ф = Ещ и О СЬеге ех1всв оп1у сЬе сг1»1а1 во1»с1оп. Уе Ьаче совр1есеб сЬе ргооЕ сЬас, В1чеп сЬе ввоосЬпевв со»6111опв (14) апб сапбсс1опв (14 ), со»4111оп (15) 1в а сг1сег1оп Еог Вооб сопбсс1оп1пб оЕ ргаЫеи (1). ТЬе Ео11о»1»В ехаир1е вЬочв сЬас сЬе ввоосЬпевв сопд111ои (14) саппос Ье 1япогед. 1с'в ваву со чег1(у сЬас сЬе 41ЕЕегепсе Ьо»»Лагу-ча1»е ргоЫещ Вав1в оЕ СЬе УВВВ МеСЬо6 СЬарсег 3 62 3.

ргорегс1ев оЕ а ие11-сопйсссопей ргоь1еи. Ие пои Еогаи1асе сЬе геви1св оЬса1пе6 Еп $4 вп6 Еп весс1оп 2 аЬоче, оп Вооб соп61с1оп1пВ оЕ ргоь)еи (1), 1п а саги сопчеп1епс Еог иве 1п сЬе Ептевс1Вас1оп о( ВВВВ 1п $7. 1п агдас сЬвс сье 61ЕЕегепсе Ьоип6агу-ча1ие ргоь)еи (1) Ье че11- соп61с1опе6 1с 1в виЕЕ1с1епс сЬаг опе оЕ сЬе Ео11ои1пВ сЬгее сг1сег1а Ье вас1вЕ1ебт 76пвс ап(свп(апт )Ь ) > )а ) + )с ) + 6, 6 > О; вваопт( от ссвпботтт )Ь)-)а)-)с >В >О, Ь + а + с и и и 6 хтс)а ), )Ь ), )с )) > В > О; СЬЕпс( оп(свт"(опт )Ь„) + )а + с > О > О, И > 6 > В > О, иЬеге 1с 1в аввиие6 сЬас сье соеЕЕ1с1епсв вге геа1 ап6 вас1в(у сЬе виоосЬпевв соп6111опв (14) )а-а)<О~~~~,)Ь-ЬЕ)<О)~ )с — с ) <В! — ~, О>0, ш>0.

)Ь - «)' )и ) < М пах [)Ф), )Р)т иах )Е )), р < и < о, чЬеге И боев пот Верепб оп И, р, ог о. ЕЕ е1сЬег оЕ сЬе Е1гвг тчо сг1сег1а 1в вас1в(1е6 ргоь)еи (1) 1в во1чеаЬ1е Еог я > 2 апв Еог ать(сгпту гсхьс-Ьапд в1йев, ап6 1Е сЬе сьсг6 1в вас1вЕ1е6 сЬеп ргоьЕеи (1) Ев во1чеаЫе Еог а11 1агВе епоиВЬ И вп6 агьЕСгвгу г1ВЬС-Ьапд всоев. 41во, Еог сЬеве ваше 1агхе М, 1п в661с1оп са ргоЬ1еа (1) а11 сгипсасев Ьоипвагу-ча1ие ргопсеав оЕ Еога (21) аге а1во во1ечаЬ)е. Тье во1иг1оп (ип) оЕ СЬе ог161па1 Ргоььеи ап6 СЬе ва1иосопв (ип) оЕ а11 сгипсасе6 ргоь1еив вас1вЕу сЬе Ьоип6 Уе11-Со»6111»пей Во»»двгу-Ра1»е Ргод1еа 63 $7 ° Ввв1в Еог сЬе РВВЯ веСЬой Ел в»11-ео»61сЕовед Ъо»»Вагу-ча1»е ргоЫеав ° Моч ае аге геайу Еог сЬе вссч(у оЕ сЬе РЕВЯ васмер, Февсг1Ъед 1п $5.

яиррове опе 1в гея»1геЯ со са1п»1асе СЬе во1ис1оп оЕ сЬе ФЕЕЕегепсе Ьо»»дачу-ча1»е ргоЫев а» +Ь» +с» п п-1 п п п п+1 п и " Ф, » Ф, 0 ' п )а ~, !Ь 1, )е ~ < М У1сЬ гевресс со ЕЫв рг»Ыев че ровси1асе сьас 1с 1све1Е, апд в11 ргоЫеав йег1чед Его» 1с сЬго»ВЬ сг»псас1оп а» +Ь» +си Е, р<п<я, п п-1 п п п п+1 п' » Ф, » Ф, Р Ч Ьаче а во1»с1оп Еог апу агЫСгвгу г1ВЬс-Ьа»Ф в1дев, апй»огеочег ~» ~ < М аах ()Ф~, (Ф), аах )Е )) ° (2) 1п вс»ду1»В сЬе РЕВЯ а1В»г1сма ие »111 »ве сЬе Еасс сЬас, Ьу чсгсие аЕ сме Ьо»пйв (4) в»Ф (5) оЕ 156 сЬе 61ЕЕегепое ргоЫеа »1сЬ рагс»гЬе6 ооеЕЕ1с1епсв а» ЕЬи +си+ Е, 0<п<В, п п-1 п п и п+1 и' ~а — а ~, ~Ь - Ь ~, ~с — о ~ < с < 6„ (3) ав ие11 ав а11 ргоЫеав Фег1»ея Егоа (3) Ьу сгипсагсоп, Ьвче во1ис1»пв (и ) и Еог агЫсгагу г1ВЬс-Ьапд в1дев, а»6 Е»гсЬег и ! < 2М аах ()Ф), (Ф), авх (Е )). ! (4) 1.