Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory.djvu), страница 12

Ьег пв Ье61п Ьу в1ар11Еу1пВ сЬе ехргев- 1 0 в1опв асспгг1пВ 1п ВЧ. (6): Ч20 1 Ч2 Ч1 Ь + 0(Ь), — -' *' Ч ° о) . Ч - Ч (1 + О(Ы) - (2 + 0(ЬИ 2 ВпЬвС1спгспа сЬеве ехргевв1опв 1псо (6) че Вег -Ах Ах [х /Ь) и = [Ье + 0(Ь)[ - [ — А Ье + 0(Ь))Ь 2 . (7) ЗпсЬ 01ЕЕегепсе впЬеаев аге са11ед "ппвсаЫе". Наспгв11у, СЬеу аге ппвп1саЫе Еог СЬе ппшег1са1 во1пс1оп оЕ 61ЕЕегепс1а1 еЧпвс1опв. ТЬе весопд сепе оп сЬе г1ВЬС вЂ” Ьапд в16е оЕ сЫв евпас1оп аВа1п сепдв со 1пЕ1п1су, еЫ1е СЬе Е1гвг геаа1пв Ьоппйед.

ТЬегеЕоге сЬе чЬо1е во1пС1оп оЕ сЬе 41ЕЕегепсе еЧпас1оп а1во сепдв со 1п(1пссу. ТЬе геавоп СЬас 61ЕЕегепсе всЬеае (2) деева'С сапчегае ав Ь е О, ав че Ьаче вееп, Ев сЬе Еасе СЬаС 1С сап Ьвче во1пс1опв чЫсЬ Вгоч Чп1сЫу ав СЬе егер-в1се Ь десгеавев, ечеп ЕЕ СЬе всагс1пВ ча1пев аге соар1есе1у геавапаЫе. ГЬаргег 5 Сопчегвепсе оЕ СЬе Во1ис1опв оЕ ОЕЕЕегепее Евиаг1опв ав а Сопвевиввсе оЕ Аррсох1ваг1оп апд ОсаЪ111су Тп СЬарсег 4 ие яЬоиед Ьу ехаир1е иЬаг 1в иеапс Ьу СЬе арргох1иас1оп оЕ а д1ЕЕегепс1в1 ргаЫеи Ьу в д1ЕЕегепсе ргоЬ1еи, апд иЬаг сопвс1сисев сопчегвепсе, СЬапсв со иЫсЬ сЬе яо1иг1оп оЕ сЬе д1ЕЕегепс1а1 еоиас1оп сап Ье са1си1асед арргох1иасе1у СЬгоиСЬ «ве оЕ СЬе дЕЕЕегепсе ясЬеве.

йе Ьесаие Еви111аг и1сЬ сЬе рЬепоиепоп оЕ 1пвсаЫ11су, иЫсЬ сап гепдег сЬе дЕЕЕегепсе ясЬеие д1чегвепг апд «ве1евв Еог соирисас1оп. Апа1уя1в оЕ сЬе ЬеЬачЕог оЕ сЬе во1ис1опв 1п СЬеве е1еиепсвгу 1псгодиссогу ехаир1ев, 1псепдед оп1у со в1че сЬе гевдег а рге11и1пагу асциа1псапсе и1сЬ Еипдаиепса1 сопсерея, иая Ьавед оп ехр11с1с ехргевя1опя Еог сЬе во1ис1опв.

ЯисЬ а 01яр1ау оЕ ехр11с1с яо1ис1опв чая ваде ровя1Ь1е оп1у Ьу а врес1в1 сЬо1се оЕ ехаир1ев. 1п сЫя сЬарсег ие Х1че г1рогоия деЕ1п1с1опв оЕ сопчегсепсе, арргохсиас1оп апд всаЫ11су. яе вЬои СЬаг ргооув оЕ сопчегрепсе пеед пос Ье Ьаяед оп СЬе апа1уя1в оЕ ехр11с1с ехргевв1опв Еаг яо1иг1опв. ЯисЬ ргоосв сап Ье вр11С 1псо сЬе чег111сас1оп оЕ арргохсиаг1оп оЕ сЬе д1ЕЕегепС1а1 ргоЫен Ьу сЬе дЕЕЕегепсе ргоЫеи, апд чег111саг1оп оЕ сЬе всвЫ11су оЕ сЬе д1ЕЕегепсе ргоЫеи. х 10.

Сопчегсепее оЕ в дЕЕЕегепсе воЬеие Си = Е, УЬеге 1. 1в а Х1чеп д1ЕЕегепС1а1 орегагог, апд Е 1в а С1чеп г1СЬс-Ьапд в1де. ТЬия, Еог ехаир1е, Со чг1Се СЬе ргоЫеи ди х — + совх, 0<х<1, дх 2 1+ и и(0) 3, (2) 1. Сопеерс оЕ а пес апд а пес Еипес1оп. Биррояе сЬас а д1ЕЕегепс1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеи 1в асеев оп вове 1псегчв1, О.

ТЫв иеапв сЬаС опе 1в д1чеп а д1ЕЕегепг1в1 еоиас1оп (ог вувгеи оЕ евиаг1опв) вЫсЬ СЬе во1иС1оп вияг ваС1вуу 1п СЬе 1псегчв1, О, апд аихП1агу сопд1с1опв оп и вс опе ог ЬосЬ епдв оЕ сЫв 1псегча1. ТЬе д1ЕЕегепг1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеи и111 Ье игсггеп 1п сЬе вувЬо11с Еоги Соп»егдепсе, Арргох1»вСЕ»п апЛ ЯСаЫ11гу СЬароег 5 84 Еп Еоги (1) ие пееЛ оп1у гаЬе а Л» х Лх 1+и 1»з а »(0), О<:с< 1, 0<х<1, Е а а 3.

ТЬе ргоЫеш Л и 2 2 — -(1+х)»=гх, Лх2 0<х<1, «(О) = 2, (3) Л»(0) Лх сап Ье игЕгсеп Еп Еога (1) ЕЕ»е вес ЛЕ» — 2- (1+ х2)», Лх 0<х<1, и(0), Л»(0) Лх гх, 0<х<1, Е в 2, 2 1. То р»с Епсо Еопв (1) ЕЬе ргоЫеа Л2» — (1 а х~)» = ч'х + 1 Лх 0 <х< 1, (Я) и(0) = 2, и(1) -" 1, — (1 + х2)», ЛЕ» Лхх 0<х<1, и(0), Ьи в »ЕСЬ Ьо»»Лагу сопЛЕСЕопв ае ЬосЬ впав оЕ ГЬе Епсег»в1 0 < х < 1 опе в»в» саЬе Сопчегдепсе оЕ в 01ЕЕегепее БсЬеае 85 гх+11, 0<я<1, Е и 2, в 1 ° ТЬе Ьоипдвгу-чв1ие ргоЫеш Еог ЕЬе вувсеа оЕ д1ЕЕегепс1в1 еоивс1опв дч — +хчи=х2-ух+1, дх 0<х<1, дн 1 2 — + дх (ч + и) сов х, 1+х2 0<х<1, ч(0) = 1, ч(0) = -3 сап Ье чгЕССеп 1п Еогш (1) ЕЕ опе евсее и Со Ье в чеегог Еипсс1«п, и = (ч,ч) , впд весе Т * ч — +хна, 0<х<1, х — + дч 1 (ч + и), 0 < х < 1, дх Ьи в 1+х2 (О), (0), х - Зх + 1, 0 < х < 1, сов х, 0 <х < 1, 1, *неге впд Ье1ои сЬе вирегвсг1рс Т дев12«всея ссе сгвпврове оЕ в чеесог.

1п в11 сЬеве ехвшр1ев ие Ьвче сопв1дегед ргоЫешв Еогши1всед оп сЬе 1псегчв1 0 < х < 1, впд пас оп вове осЬег 1псегнв1, оп1у Еог сЬе васе оЕ деЕ1п1сепевв. Яе ч111 вввише сЬвс СЬе во1ис1оп, «(х), оЕ ргоЫеа (1) оп СЬе 1псегне1 0 < х < 1, ех1всв. 1п огдег со св1е«1все сЫв во1«с1оп Ьу СЬе шесЬод оЕ Еспсге д1ЕЕегепсев, ше шиве Е1гвС оЕ в11 еЬоове, оп сЬе 1псегча1 О, в Е1п1се вег оЕ ро1псв иЫсЬ, 1п сосв11су, ие ч111 са11 в "пег" впд дев12«есе Ьу сЬе вуаЬо1 О~„. сьеп ие вес оис со Е1пд, пос сЬе во1«с1оп, и(х), оЕ ргоЫеа (1), Ьис а СаЫе, [и[Ь оЕ чв1иев «Е СЬе во1исЕоп вг сЬе ро1пев оЕ сЬе пес ОЬ, 1с 1в аввшеед СЬвг СЬе пес ОЬ дерепдв оп в рвгвшегег, Ь в О, «ИсЬ сап сесе оп ров1С1че нв1«ев вв яшв11 вв дея1гед.

Ав сЬе "веер-в1се" СЬврсег 5 Сопчегдеппе, Арргох1лас1оп апЛ ДсаЫ11су 86 Ь доев со пего сЬе пес Ьепоаев всеаЛ11у "Е1пег". Рог 1пвсапсе опе «1ВЬс вес Ь = 1/д, «Веге В 1в вове ров1С1че 1«седег, а«Л саКе, ав сЬе пес ОЬ, сЬе соса11су оЕ ро1псв х = О, х Ь, х = 2Ь, ° ... х = 1. ТЬе Лев1геЛ пег О ' 1 ' 2 ' ' Н Еипсс1оп [и)Ь, 1п сЫП саве саКев оп, ПС сЬе ро1пгв х пЬ оЕ сЬе пеС ОЬ, сЬе ча1иев «(пЬ) «ЫПЬ, Еог Ьгеч1СУ, «е Лепоее ав «и. Рог сЬе арргох11пвсе соприсвс1«п оЕ сЬе свЫе, [и)Ь, оЕ во1иг1«пчв1иев, 1« СЬе саве оЕ ргоЫеа (2), опе со«1Л иве, Еог ехаар1е, СЬе вувгеа оЕ едиас1опв и 1-и х +=совх,п=0,1,...,М-1, Ь 2 и 1+ и (6) и 3, О оЬса1пеЛ Ьу виЬПС1гиг1пд, Еог СЬе Лег1час1че Ли/Лх ас сЬе ро1псв оЕ СЬе пес, СЬе ЛЕЕЕегепсе арргох1«ас1оп Ли «(х + Ь) — «(х) Лх Ь ТЬе во1«С1оп, и = [и, и, ..., «), оЕ вувгеи (6) Ев ЛеЕ1пеЛ оп (Ь) (Ы (Ь) (Ь) О ' 1 ' ' В (Ь) (Ь) СЬе ввае пег ав СЬе Лев1геЛ пес Еипес1оп [и)Ь.

1с'в ча1«ев и, и (Ь) «, ПС сЬе ро1псв х, х, ..., х вге сопвееис1че1у са1с«1асеЛ Его|п М (6) Еог п О, 1, ..., 6-1. Рог сЬе ваКе оЕ Ьгечссу, 1п Вд. (6) «е о«1с СЬе вирегвег1рС Ь оп и апЛ, вв в ги1е, «111 а1во Ло сЫП 1п апа1«до«в (Ь) п в1сивс1опв ечегу«Ьеге Ье1о«.

1п сЬе саве ПЕ ргоЫеа (4), 1п огдег со Легег«1«е а пес Еипсс1оп, и, арргох1«ас1пд сЬе свЫе оЕ во1«С1«п ча1иев [и)Ь, опе сап иве сЬе (Ь) Л1ЕЕегепее всЬеае и — 2« +и и+1 и и — 1 [1 С 2) г — + — 1- Ьг П П П (7) п = 1, 2, ° ° ., Я-1, и = 2, и = 1. О ' М ТЫв всЬеше 1в оЬса1пеЛ Ьу в«Ьвс1с«с1пд, ас сЬе пес-ро1псв, еог сЬе Легсчас1че Л2«/Лх оспигг1пд 1« сЬе Л1ЕЕегепг1а1 едиас1«п, еде Л1ЕЕегепсе арргох1«аг1оп 62« и(х + Ь) — 2«(х) + и(х — Ь) (д) Та со«рисе сЬе во1ис1оп «( ) оЕ ргоЫеа (7) опе пау «ве сЬе РБВВ а1догЕСЬ« Левсг1ЬеЛ 1п 65. Дс111 впосЬег Л1ЕЕегеппе всЬеше «ЫпЬ «1дЫ Ье «веЛ Со соврите СЬе во1«С1оп оЕ ргоЫеа (5) саКев СЬе Еаги ]1О Сопчегсепсе оЕ а ОЕЕЕегепее ВсЬеае ч п+1 п +хчч =хг -Зх +1„ ппп п п и — ч п+1 п 1 Ь г п [ч +ч) =иова, п=О, 1, ..., Н-1, п п п' (9) ч = 1, О ч -3.

О «+л/г [и]Л = Ь [ и(()Н(. Ь Ь х Ь/2 ТМв иау Со вес ир а соггевропдепсе 1в еопчеп1епС 1п СЬе паве иЬеге «(х) 1в пос и сопс1пиоив Еипес1оп, Ьис 1с 1я Ьпоип СЬас 1с'в 1псехга1 очаг апу 1псегча1 ех1вгв. ВисЬ а в1Сиаг1оп аау оспиг Еог ехапр1е, 1Е опе 1в с)еа11па и1сЬ а Вепега11вей, Нсвеопг1пиоив, яо1ис1оп Еог чЫсЬ СЬе 1пеесге1 1 й (х) с]х О ех1всв. Неге и = [ч , и ] = ( 1, -3) 1в В1неп ° Рог п = О, Егои ВВ. (9) опе (Ь) (Ь) (Ь) Т Т О О ' О сап с]есега1пе и [ч, и ] . 1п Вепега1, Ьпоч1пВ и = [н, ч (Ь) (Ь) (Ь) Т 1 1 ' 1 Ь = О, 1, ..., п, опе еап, сахспВ Ь п, еоириге и = [ч, и (Ь) (Ь) (Ь) Т п+1 1п СЬе адоче ехаир1ев сЬе пеС, О , еопв1вев оЕ ро1пев верагасес] Егоа еасЬ осЬег Ьу а д1вгапсе Ь.

С1еаг1у опе еои1с] Ьаче д1вровед сЬе Н+1 ро1псв оЕ сЬе пес О , Ь в 1/Н, оп сЬе 1псегча1 [О, 1] пос ип1(ога1у, Ьис 1п висЬ а Ь' иву сЬас хО О, х1 хО+Ь хг х1+Ь, ..., х = 1, иЬеге сЬе Ь Н п= О, 1, ..., Н вЂ” 1, аге пог а11 е9иа1, Ьиг аахЬ ч Сев Ь = 1/Нч О. ТЬе п Ьпосв оЕ ОЬ сои1д Ье во д1вгг1Ьигед сЬаг СЬе с]ея1гед СаЫе„[и)Ь, оЕ сЬе во1иг1оп «(х) воин Ье вовс деса11е4 Еог Е1хес] Н (ог Ь - =1/Н) 1п сЬове яиЫпсегча1в чЬеге «(х) чаг1ев аовг гар1В1у. ТЬеве виЫпгегча1в аге воаессаев Ьпоип ЬеЕогеЬапд Егоа рЬув1еа1 сопв1дегас1опв, ог Егоа рге11а1пагу сеиде са1еи1ас1опв. 1п(огааС1оп оп СЬе гасе оЕ еЬапсе оЕ и(х) 1в а1во Вепегагес] 1п СЬе соигве оЕ СЬе вечиепг1в1 са1еи1аг1оп оЕ и (Ь) (Ь) (Ь) 1 и, ..., и, апд сЫя 1п(огааС1оп аау Ье сасеп 1псо ассоипс 1п еЬоов1пВ 2 ' ' п сЬе пехс пес-ро1пс х п+1 Не еопЕ1пе оигве1чев Со сЬе ехаар1ев а1гевду д1всиввед ав 111ивсгаС1опв оЕ сЬе еопеерс оЕ а пеС.