Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory.djvu), страница 11

)(е посв сьас Ее сье соееесс1епс (ч и — «)/(ч — ч ) сепдв со сье 2 О 1 2 1 е1п1се 11«1с ь вв ь 0 сьеп сье 11гвс сеги, (ч㫠— и )ч /(ч — ч ], ап сье г(бьс-ьвпд всде ое рч. (12) сеиде со сье дев1гед в«1«ссоп ое (1).' 81псе п~ п Еог п ечеп, п -е Еог п одд, 1,е. доев пес еопчегКв со в деЕ1п1се 11«1с, СЬеп Со п«вгапсее сопчегпепсе со в 11«1с, вв Ь О, оЕ ЕЬе весопд сега оп сЬе г1АЬс-Ьапд всде оЕ (12), Ч)«0 - «1 и А и (-1) с(е + О~Ь2)], (13) 1с 1в песевввгу со геои1ге сЬас СЬе ехргевв1оп (Ч « — и )/(Ч вЂ” Ч ) сепд 1 0 1 2 1 Со сего вв Ь е О. сег «в, сЬеп в«иевг1ге «Ьаг Ьвв Ьееп ввЕА ° яо сЬас сЬе во1«с1«п оЕ сЬе АЕЕЕегепсе еЧивс1оп и(х + Ь) — «(х — Ь) 2Ь + А«(х) 0 аЬои1д со«чегго со сЬе во1«с1«п «Ь ехр (-Ах) оЕ сЬе Ьоипдвгу-чв1ие ргоЫее (1), 1с 1в песевввгу сЬвс сЬе сопд111опв )(е «111 пос свггу о«с сЬе соар1есе1у впе1«хо«в соарисас1оп Еог Ч , Ьие п ко АЕгесг1у Со сЬе гев«1сс Огрех оЕ Асс«гасу апй Арргох1евс1оп 75 91«0 - «1 92«0 — «1 ч О, ч Ъ.

92 91 ' 92 91 (14) Ье вас1вЕ1ед. Кеса11, Е«гсЬег, сЬас «е сЬове со вес «0 е9«а1 со Ь. Со«4111«п (14) х1чев ив а Ыпс ав со Ьои «е сап авв1ап «1. 1с сигпв о«с сЬвс 1с 1в в«ЕЕ1с1епс сЬас «1 ч «О ав Ь ч О. Еп Еаос 9 ч +1, апд ц ч -1 1 ' 2 вв Ь 0 в«А, сЬегеЕоге, ав Ь ч 0 910 1 О, 92 — ЧД 2 0 1 е 92 91 «[х ) и(0) - ЬА«(0) + 0[Ь ] и(0)(1 — АЬ) + 0[Ь ) ° 1 ТЫя е9«ас1«п 1в ввс1вЕ1ей Ьу сЬе ехасс яо1«с1оп оЕ СЬе 41ЕЕегепс1а1 ец«ас1«п.

1« сЬе врргох1«асе во1«с1«п, 11«111«Х оигве1«ев Со счо Сегяся оЕ сЫв ехрапв1оп, яе сап вес « « (1 - АЬ) ° 1 0 Ее че паче Иосиева со сесе оп1у опе сете че 1ес 1 0 1п сЬе Е1гвс саве ие ооявв1с, 1п сЬе 1«1с1а1 ча1ие и, ап етгог оЕ огрех Ь2 1' 1п СЬе весе«6 — ап еггог оЕ огдег Ь. Сес иве ехв«1пе СЬе врееА оЕ со«гессе«се 1п еасЬ оЕ сЬеве сео свеев, Еог еасЬ оЕ сЬеве авв10«еепсв оЕ Еп1с1а1 ча1«ев. Аввиее (15) и (1 - АЬ)Ь ° 1 и Ь, 0 ТЬеп (вее 29. (9)) 9 и «1 1 — АЬ + О Ьг Ь (1 АЬ)Ъ [Ь2~ 1 -2+ 0[Ь ) 42 1,2 - АЬ вЂ” + 0[Ьч) )Ь вЂ” (1 — АЬ)Ь вЂ” Ь+ 0[Ь ) ° + 0[Ьч) 9« -и [1 2 0 1 92-91 2. Бреею$ оЕ сопчегпепсе оЕ СЬе во1«С1оп оЕ СЬе ю$1ЕЕегепее е9«агсоп.

Све поч яо оп Со а в Сиду оЕ СЬе ореад оЕ сои«агав«се Еог АЕЕЕегепс врес111с сЬо1«ев оЕ и " «(Ь). 1 то десег«1пе и(ь) 1с 1в пас«га1 со пасе иве ое сье тау1ог вег1ев ехрапв1оп оЕ сЬе в«1«с1оп оЕ сЬе АЕЕЕегепт1а1 е9«ас1«п и + Аи 0 Ов1«А сЬе Еасс сЬас и -Аи, ее геег1се сЬе Тау1от вегсев ехргевв1оп сЬ«вс К1еаепсагу Кхапр1ев оЕ 01ЕЕегепсе Ясьеаев СЬарсег 4 Кегигп1пК со КЧ. (12), че еав11у саше со сЬе сопс1ив1о» чьЕсЬ Ьвв Ьееп оиг Коа1 "Ахп ье + о(ьг). п уьсв сапс1ив1оп виу Ье вгасед вв Ео11ачв. 1Е сЬе 1п1с1а1 ча1ие и1 1в 21чеп соггесс1у Со огйег Ь, сЬеп сЬе еггог 1» сЬе во1»с1оп и111 Ье агдас Ьг, 1.е.

ЕЬе д1ЕЕегепсе всЬеие и111 Ье асс»гасе со веса»4 огоег. Ие пач ргосеед со сопвсоег сЬе веса»А Еогви1ас1»п оЕ 1п1с1а1 со»41с1оив че Ьаче вес оис со вспашу. Зиррове и и Ь. 1 0 Яоч Ч10 1 Ч2 Ч1 АЬЬ + 0(Ь2) -г + о(ьг) Чгиа Ь + ~ АЬЬ + 0(Ь2) -г + о(ьг) апй, сопвечиепс1у, Ч и - и -Ах Чи -и Ах г о 1 [е + о(ьг)) 1 о 1 ( 1)п[ и + о(ьг)) Ч2 Ч1 Чг — Ч1 [Ь + — АЬЬ + 0(Ь ))[е + О(Ь2)) и 1 Ах - (-1) [ — АЬЬ + 0(Ь2))[е + 0(ЬЕ]) -Ах Ах Ье + АЬ ( ) Ь+ О(Ь2). 2 ТЬив 1Е СЬе еггог 1п 1»1с1а1 ча1иев 1в аЕ огАег Ь, сЬеи сЬе еггог 1п сЬе во1иг1оп ч111 а1во Ье оЕ огйег Ь. Ес сап Ье вьочп сЬаг, ечеп 11 че СаКе, Еог и1, 1св ехасс ча1ие Ь ' ехр (-Ахг), ассигасу Кгеасег сЬап огоег Ь саппос Ье агса1»ед 1п сЬе во1иг1оп.

уе адч1ве СЬе геадег со ргоче Сьсв аввегс1оп ав ап ехегс1ве. 1с 1в еавУ Са вЬою а1во СЬаг 1Е, Еог иО, ие Саье паг Ргес1ве1У Ь, Ьиг а»У чиапс1су ое сье еогв ь + 0(ьг), сье врее4 ое сопчегкепсе ч111 вс111 ье веса»4 огАег. Огдег оЕ Асс«гасу апд Арргох1«ас1оп Ьес ив пои вииааг1яе «Ьас Ьав Ьееп ва(д.

усе Ьаче вееп сЬас сЬе д11(егепсе всЬеае ехаа1пед еаг11ег, «(х + Ь) — «(х — Ь) + Аи(х) О, 2Ь ав соирагед со сЬе всЬепе сап 11«е Еавсег сопнегбепсе, апд аоге ргес1ве1у сопчегбепсе «1сЬ геаа1пдег сегав оЕ огдег Ь2, гасЬег сЬап огдег Ь ая 1п сЬе весопд об сЬеяе всЬеаев. «(х Ф Ь) — «(х) + Аи(х) = О 1евв асс«гасе сЬап сье всЬеае и(х + Ь) - и(х — Ь) ТЬеве в«Ьепев д1ЕЕег 1п сЬе арргох1аасе ехргеяв1опв и(х + Ь) — и(х - Ь) апд 2Ь и(х + Ь) — и(х) «яед Еог ЕЬе дегсчассче, ди/дх, ас 1п СЬе ЕЕгвс ясЬеае сЬе дегсчас1«е ро1пс х.

1с 1в пасига1 со аввиае сЬас Ьав Ьееп гер1асед Ьу а 1евв асс«гасе СЬ1в 1в, 1п Еасс, сгие. Ьес ив Ь), сЬе1г Тву1ог вег1ев ехрапв1опв ехргевв1оп сЬап 1« сЬе весопд . Апд виьвс1сисе, еог и(х + ь) апд «(х— Ь2 ЬЗ и '(х) — + и" (х) — .4. О(Ь ), 2 б Ь2 ЬЗ «" (х) — — и (х) — + О(Ь ) ° 2 б и(х + Ь) = и(х) + и (х)Ь + и(х — Ь) = «(х) — и (х)Ь Е Ов1«б СЬеве ехргевв1опв че бег 1п огдег со асса1п весопд огдег а«сига«у опе а«вс, Ьв«1«б сесе« ап ехвсг и, «Ьоове а и дЕЕЕег1«б Его« сЬе ехасс яо1«с1оп оЕ сЬе д1ЕЕегепс1а1 ециас1«п ас роспс х хО + Ь Ьу а Пиа«11гу оЕ огдег Ь . 1с сап Ье вЬ««п сЬас и а1во пеед пос Ье П1«еп ехасс1у, Ьис а1во пау сопса1п ап еггог оЕ огдег Ьг.

ТЬе вреед оЕ сопчегбепсе 1в пос сЬегеЬу д1а1п1вЬед. Ке11«1«в сЬе 1п111а1 ча1иев ир со огдег Ь~ апд ЬЕАЬег доев пос гев«1с 1п ап 1псгеаве 1п ЕЬе ассигасу оЕ сЬе во1«с1оп. 1 Е сЬе 1п111а1 ча)иея аге всчеп «1сЬ еггогв оЕ огдег Ь, сЬеп сЬе во1ис1оп «111 сопса1п ап еггог оЕ сЬ1в ваае огдег. 3. Огдег «Е арргох1«ас1«п. 1с 1в 1«сегевс1«б со сопвддег 2«вс иьас 11 1в сЬас гепдегв сЬе в«Ьепе СЬарсег 4 21еаепсагу Ехаар1ев оЕ 01ЕЕегепсе БсЬеаев 78 «(х + Ь) - «(х) Ь Ь 2 «(х+Ь) "«(х-Ь) . ) ... ) Ь Ьг 2Ь б $9.

ОпвсаЫе д1ЕЕегепее всЬеаев 1. ТееЬп19«ев Еог арргохЕааг1«х СЬе дег1«аг1«е. ие поч ааа1« сопвЕдег д1ЕЕегепсе всЬеаев Еог сЬе арргах1«асе 1«сеегас1«п аЕ сЬе в1«р1ев с д1ЕЕегепс1а1 е9«ас1оп « + Аи О. Ав че Ьвче а1геаду вееп, Со сопвсгисс а д1ЕЕегепсе всЬеае арргох1шас1«К сЫв е9«ас1«п 1с в«ЕЕ1сев со гер1асе сЬе дег1час1че, «, Ъу вове вогс «Е арргах1«аг1«2 ОЕЕЕегепсе ехргевв1оп. ТЬ«в ие Ьаче еха«1пед всЬеаев 1п «ЫоЬ сЬе дег1час1че « иав герсасед Ьу и(х + Ь) - и(х — Ь) Ь ог 1с 1в с1еаг сЬап апу ехргевв1оп оЕ сЬе Еопв « «(х + Ь) - «(х — Ь) «(х + Ь) — «(х) +(1 и) «111 а1во врргох1«асв и (х) ° 1п евсс 1ес ив виьвс1с«се 1псо сыв ехргевв1ап сЬе Тау1ог вег1ев Еог и(х + Ь) апд «(х — Ь) с и(х + Ь) «(х) + « (х)Ь + 0(Ь ) «(х — Ь) = «(х) — и (х)Ь + 0(Ь ).

)Ее СЬеп Кег — Ь) «(х + Ы - «(х) Ь « (х)Ь + О(Ь )] — (и(х) — « (х)Ь + 0(Ь ) 2Ь ]«(х) + «'(х)Ь + 0(Ь )] — «(х) „, ) + 0(Ь) Ь «(х+Ц "и(х и 2Ь ]«(х) + + (1 1.е. 1п сЬе ЕЕгвс саве че Паче ап арргах1«ас1оп со сЬе дег1нас1«е оЕ оп1у Е1гвс-огдег вссигасу, апд 1п сЬе весопд — оЕ весопд огдег. ТЬе ехаар1ев «е Ьвче сопвЕдегед «12Ьс 1еад опе со сЫпЬ сЬас сЬе огдег оЕ сои«агре«се оЕ в«1«с1опв оЕ дЕЕЕегепсе ец«ас1«пв сап Ье саЬеп со Ье еп«в1 со сЬе огдег оЕ арргох1«ас1«п ое сЬе дег1час1чев 1п сЬе д1ЕЕегепс1а1 е9«ас1«п. 1с с«гпв о«с, ьо«ечег, сьас 1п висЬ в чегу хепегв1 еога, сыв ЬуросЬев1в 1в «пгг«е. Оп СЬ«ве д11(егепсе всЬеаев Еог «ЫсЬ 1с'в ча1101су «111 Ье ргачеп 1с «111 Ье песеввагу со 1«рове ап еввепс1в1 гевгг1сг1оп — сЬе геи«1геаепс оЕ всаЫ11су.

ТЬе песевв1су оЕ сЫв ге9«1геаепс «111 Ьесоае с1еаг ав ие сопв1дег СЬе ехаар1ев 1п СЬе Е«11««1«2 весг1оп. ОпвсаЫе ОЕЕЕегеппе ЯсЬеаев Ов1п2 сЫв вогс оЕ арргох1аас1оп Еог СЬе дег1час1не опе пап йегсче а иЬо1е Еаа11у оЕ 41ЕЕегепсе всЬеаев АерепдЕпс оп а пиаег1оа1 рагааесег. ТЬеве всЬеаев а111 Ьвче сЬе Еопп и(х + Ь) — «(х - Ь) и(х + Ь) - и(х) + Аи(х) О. 2. Кхаар1е оЕ вп ипвсаЫе й1ЕЕегеппе впЬеав.

(Ее пои сопв16ег опе аоге всЬеае оЕ СЫв Еога, оЬСа1пед Егоа (1) иЕСЬ и 4с и(х + Ь) — и(х — Ь) и(х + Ь) — и(х) 4 2Ь - 3 Ь + Аи(х) О. (2) ТЫв всЬеае аау Ье геаг1ссеп сЬив: -2и(х - Ь) + (3 + АЬ)и(х) - и(х + Ь) О. (2 ) Ав 1п сЬе ехаар1ев сопв14егей еаг11ег, ие соарисе сЬе во1ис1оп 1псегча1 (0,1), виЬЙ1ч14ед Ьу сЬе ро1псв оЕ сЬе ЙЕЕЕегепсе пес всерв, еапЬ оЕ 1епдсЬ Ь 1/Я. ТЬе соог41паге, х, оЕ а ро1пс п' 1в Ае(1пед ав х пЬ п/7). и ТЬе во1ис1оп оЕ сЬе 41ЕЕегепсе еоиас1оп аву Ье иг1ссеп 1п Еога ап сЬе 1пСо ЕЕ еЧиа1 оЕ сЬе пес сЬе ехр11п1с 92 п 91 п~ ~ 1 п 1 п) О(92 91 1 Ч2 Ч1 2) 1( Ч2 91 1 92 91 2) ареге Ч ап4 Ч аге гоосв оЕ сЬе сЬагассегсвс1п еоиас1оп -г + (3 + АЬ) Ч - Ч' О.

Ьес ив соарисе Ч апд Ч Ч 3 + АЬ вЂ” 1 + 6АЬ + А Ь2 1 2 1-АЬ+2АЬ +О(Ь), 242 2 3) (4) Ч 2 2 2(1 + АЬ) + О(Ь ). 2) 4)е и(11 иае, Еог Ч апй Ч, СЬе арргох1пасе ехргевв1опв п п То еасЬ ча1ие оЕ сЬе рагааесег и соггевропдв опе висЬ всЬеае. 1с аав сЬе всийу оЕ СЬоае рагс1си1аг всЬеаев Еог иЫсЬ и О апй и 1 со аЫсЬ $8 аав Аечосей. СЬврсег 4 Е1еаепсагу Ехаар1ев оЕ 01ЕЕегепсе ЕеЬеаев 80 (х /Ь) -Ах и [ 1 Ал а 0(12)]п [1 /01 е 0(Ь2)] п е и е 0(л) (х /Ь] Ч [2(1 + АЬ) + 0(Ь2)] [2(1 + АЬ) + 0(Ь )] 2 (х /Ь) А 2 [е + 0(Ь)]. (5) Еиьвгсгиг1п8 ЕЧ. (5) 1пга (3) ие Еег и — и -Ах Ч10 1 и (хп/Ь) и = [е + 0(л)] + [е + О(л)] 2 . (8) п Ч2 Ч1 Ч1 Ч2 Ч2 О - 1 -Ах [е " + 0(Ь)] = Ч2 Ч1 -Ах -Ах 2 + О(Ь) Ь - 1 - АЬ)Ь [ + О(Л)] Ье и + О(Л), [2 + 0(Ь)! " (1 — 0(Ь)! Ч101и (х /Ь) [е + 0(Ь)] 2 Ч1 Ч2 1 - АЬ + 2А Ь + 0 Ь Ь - Ь 1 - АЬ [ и Л ] и (1 + 0(Ь)! — (2 + 0(Ь)! Ах (х /Ь) 2А2Ь2Ь[е + 0(Ь)] 2 Тлив ие Еес -Ак Ах (х /Ь) и [Ье + 0(Ь)) + [-2А Ье + 0(Ь)]Ь 2 Рог х к сопвс, ав Ь е 0 сЬе Е1гвс сега оЕ сЫв ехргевв1оп сеида п са Ь ехр(-Ах), 1.е.

са сЬе йев1гед во1ис1оп. ТЬегеЕоге 1Е сЬе ело1е ехргевв1оп Еог и 1в со сопчегЕе со сЫв во1ис1оп 1с 1в песеввагу сЬаг еле п весопй Сека влои18 Ео Со вега: Ьиг ав Ь 0 СЫв Сека Сеида, пог Со вега, Ьие Са 1пЕ1п1гу. 1п Еаиг -2АЕЬ ехр (Ах ) + 0(Ь) СепАв Со СЬе Е1п1ге, п Ве(оге аопв18ег1пЕ иЬас 11в1с и и111 сепА со ав Ь е 0 ие пиес 1пд1саее Ьои п ие и111 Е1х СЬе 1п1С1а1 ча1иев, и апй и , аЕ еле 61ЕЕегепсе во1иг1оп. ливс ве 1п 18 ие и111 1аоь Еог а во1ис1оп вас1вЕу1пе сЬе аопд111оп и(0) Ъ, апд сале вв 41ЕЕегепие всагс1пЕ ча1иев и Ь апА и Щ1 - Ал).

0 1 Ее виЬвс1сиге сЬеее всвгс1пЕ ча1иев 1пса ЕЧ. (6) ап4 в1тр11Еу еаеЬ сегв в врага се1у. ТЬе 11гвс апд весапй сегав, гевресссче1у, селе сЬе Еогив ОпвгаЫе ВЕЕЕегепсе ВсЬеаев [х /Ь) попчап1вЫпВ, 11а1с -2А Ь ехр[Ах), апд Ь2 2 Сепйв Со 1пЕ1п1су Еаасег СЬап апу ровсС1че рочег оЕ 1/Ь. Яе Ьаче вЬочп сЬас а 61ЕЕегепсе всЬеае врргох1авС1пВ сЬе 61ЕЕегепс1а1 еЧпвг1оп сап паче а во1пс1оп пос попнег61пВ, ав Ь е О, Со СЬе во1пс1оп оЕ сЬе 611Еегепс1а1 ечпас1оп. Опе а1ВЬс сМпс сЬас сье еап1с 11ев, ьеге, 1п ап 1пвпЕЕ1с1епс1у асспгасе сЬо1се оЕ и . Впг че в111 поп вЬоч сЬас СЬеге в111 Ье по сопчегсеппе ечеп 1Е че сесе и Со Ье ехапС1у еЧпа1 Со сЬе 1 во1пс1оп оЕ сЬе 61ЕЕегепс1в1 ечпас1оп ас х х + ь, сьас 1в 1Е че вес и и ехр(-АЬ) Ь ехр (-АЬ).