Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 14

Из условия нормировки следуез; что Яр г = 1. 9. Матрица плотности зависит от состояния системы в целом. Так, для системы двух тел в состоянии с импульсом центра масс Р г(гмг1) = ехр г ' у'(г1 — гз)у(г1 — гз) дг . л(т1 ь т~) ЦННП2~ЭОЯ ЬН77Е ЛОЗЕ В состоянии с центром масс, локализованным в начале координат г(г',,г7) = у' (г', (1+ — ')] у ~г1 (1+ — ')] ( ' ) В атоме водорода масса электрона гн1 много меньше массы протона п72.

Поэтому в состоянии с центром масс в начале координат матрица плотности для электрона г(гы г1) — у*(г1)у(гз) мало отличается от матрицы плотности электрона в поле неподвижного кулоновского центра. Поэтому ВФ у(г) УШ для атома водорода иногда называют волновой функцией электрона, что следует понимать с учетом сделанных выше оговорок.

Состояния частицы, которые описываются ВФ (т. е. состояния в смысле основного положения А2), называются чистыми состояниями в отличие от смешанных состояний, для которых матрица плотности не распадается на произведения множителей у(г)у (г'). В атоме водорода электрон и протон находятся в смешанных состояниях. Возможна и другая интерпретация: вместо смешанных состояний протона и электрона мы можем рассматривать систему двух невзаимодействуюших квазичастип: тяжелой, с массой ЛХ, совершающей свободное движение, и легкой, с массой т — т,, находящейся в кулоновском поле фиксированного центра.

Введенные таким образом квазичастицы находятся в чистых состояниях. 10. Рассмотрим лвнжение частицы в поле трехмерного осциллятора 7П77 1' 2 Такой потенциал может быть использован для описания некоторых свойств атомных ядер. В декартовых координатах решение УШ можно искать в виде У(1') = Уз(ж)У2(0)Уя(з). Каждая из функций у, удовлетворяет одномерному УШ для гармонического осциллятора с энергетическим спектром Е; = (и, + 1!2) 177н. Полная энергия равна сумме Е; согласно п.

3.0: Е = (171 + па+ па+ 3/2) 677. Итак, энергетический спектр трехмерного осциллятора Е„=- (и + 3/2) Ьи. (5.30) Уровни энергии вырождены: кратность вырождения п-го уровня равна числу способов разбиения целого числа и на сумму трех целых неотрицательных чисел: я(п) = — (и+1)(в+2). 2 Ценпгри»ьное поле н вне ямы 1 г1 / 2 »1й' ') 1О ь 1) ) —, Л вЂ” ЮЛ вЂ” О.

Рассмотрим вначале решения, соответствующие нулевому моменту; уравнение (5.32) принимает вид — ', (гЛ') + й'"гЛ' = О. (5.34) Конечное при г = О решение этого уравнения: » агв ь»' "о = а Уравнение (5.33) при ( = О принимает вид — (гу.') — шага = О. н»г Его решение, убывающее при т — » со, имеет вид гьо =" а и Ь вЂ” нормировочные постоянные. Условие непрерывности логарифмической производной от гЛ при г = а. дает (5.35) Йс1кЫ~. = — ш = — " — йз. гг Представим это уравнение в виде — »ь»1= »г» -' — г, (5.37) Уровень энергии с заданным и может иметь разные значения (, т. е., как и в кулоновском поле, имеется случайное вырождение уровней по значениям момента.

В отличие от кулоновского поля состояние с заданным п имеет определеннуго четность Р(»г) = ( — 1)". 11. Рассмотрим состояние дискретного спектра частицы в поле сферической ямы — разрывного потенциала (г'(г) = — ьто (г ( и), (Г(г) = О (г > а). Сферическая яма представляет интерес как пример короткодейству- югцих потенциалов, убывающих при г » со быстрее любой отрица- тельной степени г, Пола~ая 2т(Гго - )Е() 2 2т)Е( мы получим внутри ямы уравнение, совпадающее с УШ для свобод- ного движения с энергией Е' = — ~Е~ + (7о.. 2 «11") 1(1 -~- 1) 77» + йзлг О (5.32) г-г2~ », Дг I Вгиви 5 90 0 р 2р Зр лр ар Ор Рис. 14 подстановкой В* =, лазя(г) и введением переменной ж = )гт сводится к уравнению жз — ' + т — -1 (т, — 1(! + 1) — -1 У = О 1 (5.38) где с =- Ьг,  — борновский параметр, и рассмотрим его решение графически.

На рис. 14 правая часть (5.37) изображена при двух различных значениях В. Очевидно, уравнение не имеет решений цри г В < —. р Таким образом, минимальная глубина Г га сферической ямы, при которой появляется связанное состояние, связана с ее шириной соотношением г ~-,г Ка1п = враг С ростом В график функции в правой части (5.37) проходит все выше при малых с, и первые корни уравнения приближаются к значениям ва — ~ пр, а-р- О'о — !Е„~ — —,л .

2таг Число связанных состояний с моментом 1 = О ( р)-' — 1 < Л'(О) < ( р)-'+ 1 (где х = В л72) растет пропорционально корню из значений глубины ямы. Рассмотрим решение УШ при 1 =~ О; уравнение для радиальной ВФ (свободного движения) — ' — '1 ' — "' ) — "'~" в*+ азВл = О ггдг ~ Иг / Центри»ьнае поле 91 при т -» эо). Определение спектра Е из условия непрерывности при т = а в этом случае чрезвычайно сложно; ограничимся рассмотрением предельного случая очень глубокой ямы (хз « 1). В этом случае ВФ для низко- лежащих уровней вне ямы мала и приближенно можно положить у(а) = О. » р д 1 я )) Тогда положение уровней над дном ямы определяется уравнением Рис.

15 1) )»гя(йа) = О. Порядок расположения уровней (от основного состояния): 1е, 1р, 1д, 2э, 11, 2р, 1д, 2»1, 11)ь Зв. Схема расположения уровней (зависимость Е„+ Б»с от 1) приведена на рис. 15. Вырождение отсутствует; значение энергии однозначно определяет величину орбитального момента. 12. Найдем функцию Грина (ФГ) для радиального уравнения Шредиш ера дг — ''+ [Л-' —:( )) с = О, (5.40) атг где введено обозначение о(т) = ~ ь)'(т)— Как и в п. 3.12, ФГ следует искать в виде произведения решений )'(т), К(т') уравнения (5.40): ) 1(т)К(').

< ' гг(т,)') = д(т) (т~), т ) т. (5.41) — уравнению для функций Бесселя с полуцелым индексом. Итак, Л) = ат 1)„.) )з(Ь.)., — ),)з где а — нормировочная постоянная. Функции Бесселя аль),~з могут быть в явном виде выражены через элементарные функции. Общее выражение для нормированных радиальных ВФ: Л, )=)) Н (- — ) ' . )539) Аналогично, вне ямы уравнение (5.33) полстановкой (5.38) превра- щается в уравнение для функций Бесселя мнимого аргумента (физические решения должны убывать Гливи 5 Функция (5.41) будет ФГ, если будет выполнено условие Ит(д, 1) = ~ )фт) — ~Я ~~ ) = 1. дг Йт С помощью ФГ общее решение неоднородного УШ Рвут = Я(г), где С.т(г) — некоторая функция, можно записать в виде (5.42) (5.43) уЯ = э(т) + С(т,т')Я(т')тзт', о (5,44) где введено обозначение и(т) = —, ТТ'т,т), а с(г), Сю(тт т') — общее решение и ФГ радиального УШ для свободного движения (5.46) ит' в т' Уравнение (5.45) будет использовано в гл.

9 при рассмотрении состояний непрерывного спектра в центральном поле. 13. Формулы (5.45) и (5.46) позволяют получить оценку сверху для числа, 1т (1) связанных состояний с заданным значением 1 в поле с потенциалом ст'(т). Рассмотрим уравнение (5.46). При к = 0 линейно независимые решения, согласно т'5.6), можно записать в виде 1(т)=т ', д(г)=т (5.47) Вронскиан вычисляется элементарно: И =(1+1) ' -' — (-1) '" -О-') =и+1.

В соответствии с г5.41) ФГ есть Ст(т, г') = т< где 5 (т) и С(т, т') — общее решение и ФГ уравнения Р,у = О. Используя это соотношение, можно представить в виде интегрального уравнения и однородное УШ (5.40): з (т') =- с1 т) — С (т, т')и(т') з (т') Йт', (5.45) о Центральное поле 93 5~(т) = С~(т, г )и(г ))~(т ) Й . о Рассмотрим потенциал ди(т), где 0 < д < 1. Если и(т ) удовле- творяет условиям, полученным в задаче 3,8, — в частности, если и(г) < 0 всюду, то число связанных состояний .4'(1, д) будет возра- стающей функцией д: и(1, О) = О, „Л (1,1) = ..+ (1), и энергия связанного состояния также будет возрастающей функци- ей д. Уравнение (5.45) принимает вид д зЯт) = С~(т,т )~и(т )~)(т ) Йт.

о Число М(1) равно полному числу состояний с нулевой энергией, появляющихся при изменении д от О до 1, т. е. равно числу СЗ д,. — ! уравнения (5.48) в этом интервале. Ядру интегрального оператора в правой части (5.48) можно придать симметричную форму„положив г,ь, з=егЯ м Яа,~., '). Ф,(т) = ъу)иИ~)~(т). Тогда (5.48) принимает вид Фс(т) = 1) (т, т )Ф~(т ) г1тт .

(5.49) о Оператор в правой части имеет симметричное действительное ядро, поэтому он эрмитов. Сумма СЗ эрмитова оператора„согласно п. 1.19, равна следу ядра: ьь ьь т'е'э=врг= ' ~Н ЬЬе. ~=1 о ТаккаквобщемслучаеневсеСЗ(5.49)лежатвицтервалеО < д; < 1, то .4'(1) < т(и(т) ( от. о (5.50) где т< и т> — меньшее и большее из г и т' соответственно.

Ре- шения (5.47) не принадлежат 1.з(0, оо), поэтому (5.45) принимает вид Гдова 5 Это соотношение называется неравенством Бара!тана. Оно позволяет сделать некоторые выводы о дискретном спектре в поле с потенциалом и(т). Если при и — ь 0 ь ьп )н(т)) растет медленнее, чем и то интеграл сходится на нижнем пре- 2 деле и число состояний с ВФ, локализованной вблизи начала координаз; конечно: у системы нет бесконечно глу- 1 боких уровней. Если потенциал 1и(т) ~ при и — т ас убывает быстрее, чем и то интеграл сходится на верхнем пределе: в системе нет сколь угодно мелких уровней, соответствуюзцих большим средним расстояниям частицы от центра. Из неравенства Баргмана следует также оценка для ь — максимального момента„ при котором может существовать связанное состояние.

Если Ег(т) = — Е01(т)а), то из (5.50) следует: (5. 51) 2ьп+1 < )3 ~(ш)шс(х. 0 Коэффициент при борновском параметре )3 есть безразмерная константа порядка единицы. Пренебрегая коэффициентами при 13 в правых частях неравенств (5,12) и (5.51), можно сравнить следующие из них оценки ь. Зависимость ьм и ьп от В показаны на рис. 16. Видно, что неравенство Баргмана дает существенно лучшую оценку для ь при небольших значениях В < 5. При больших Л лучше оценка 1.м. 3ЛДЛЧИ 1. Доказать, что в стационарных состояниях частицы в кчлоиовском поле для оператора Рун»с Ленца (5.23) имеют место соотношения А! — -- 0 =. 1А, 1 Ч и»А» Ч 1 = и', где и пзавное квантовое число.