Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова.djvu), страница 15

В приложениях часто необходимы средине значения величин т»' в стационарных состояниях частицы в кулоновском поле ,'и»1). 2. Вычислить т — ', используя теорему вириала (2.18). 3. Вычислить г з, использ>я теорему Хеллмана-»рейн»»ана (3.13). 4. Доказать рскуррснтнунз формулу Крамсрса Ь.» 1 —, 1ьз 1 — » ь Ч (2)с + 1)».ь — » -Р Ь ~ — Ц) Ч 1)1 ть з = — 0 из 4 лля средних значений ть. 95 Центргшьное пол е 5.

Используя результаты двух п род ьшуших задач, вычислить средине значения 6. Найти решение УШ для частицы в кулоновском поле при Е = О. 7. Определить средний потенциал электрического поля, создаваемый атомом водорода в основном состоянии. 8. Найти дискретный спектр частицы в поле ЦЯ= — ' — -' (ь>о). -гз — -„ 9. Найти решение УШ в поле с потенциалом Показаггч что цри  — 1(1 + 1) < 1/4 связанных состояний нет. Отметим, что граничное условие (5.7) в этой зада ~с неприменимо из-за сингулярности потенциала.

Поэтому любое квадрвтично интегрируемое решение УШ оудст описывать связанное состояние. 10. Сл> чай нос вырождение по 1 уровней энергии трехмерного осциллятора указывает на наличие сохраняющихся операторов, нс коммутирующих с 1 . Найти этн операторы и их коммутационные соотношения с 1, и 1 . Потенциалами, рассмотренными в пп. 55, 5.11 и в задачах 5.8 и 5.9, практически исчерпываются случаи, когда УШ допускает точное решение прн любых значениях 1. Для короткодсйствующих потенциалов мы ограничимся рассмотрением в-состояний. 11. Найти спектр в-состояний частицы в поле ОГ(г) = — Нее ~7'.

12. Найти спектр я-состояний частицы в поле Ц(г) = 17о(е"~' — Ц 12ч Рассмотреть предельный переход 77о г эс, а . з 0 для сферической ямы в я-случае. Найти условие, при котором в пределе остается одно связанное состояние заданной энергии. 14. Взаимодействие мсзкду нуклонами зависит от их спинового состояния. В триплетном состоянии взаимодействие можно описывать короткодсйствующим потенциалом притяжения с глубиной 17о 20 — ЗОМэВ и характерной длиной а-2 10 см. Найти ь — максимальное значение момента, при котором может — ~з существовать связанное состояние двух нуклонов.

15. Используя результат задачи 5.7, оценить возможность устойчивого существования иона Н,'. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД О. Точное решение УШ возможно лишь в небольшом числе случаев. Во многих задачах, однако, гамильтониан может быть представлен в виде Н = Но+е)', (6. 1) причем уравнение д' (и — ~ = Но) д) (6.2) можно представить в виде разложения по степеням малого параметра е: у ~~,- еву(») (6.5) и.— о Е„,=~ еЕ (6.6) п=о Такой метод, при котором СФ и СЗ представляются в виде разложения по степеням малого параметра, называется шеорией возиун)ений Рэлея — Шредингера.

Нумерация Е выбрана такой, что при е — ) О Е„, — ~ е . Подставляя (6.5), (6.6) в УШ (Но+ еЪ")у, = Е у получим Н Х~ в (в) ) 1- ~ вз-~ (~) х~» и ~ « Ея (и — в) допускает точное решение, а оператор возмущения еГ в некотором смысле мал. Методы отыскания решений (приближенных) УШ с гамильтонианом (6.1) составляют предмет теории возмущений.

В этой главе мы используем теорию возмущений для нахождения дискретного спектра Н и соответствующих собственных функций. 1. Пусть известны решения стационарного УШ Но) =е. 1 Допустим, что СФ и СЗ уравнения Ну =Еу (6.4) Тегзрггм возмущений и вориииионный ме>лов 97 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем (Йо Е(о))у(о) = П (6.7) л — 1 (Но — Е( ))у(') +1'у~~ 1) = Е(~)у(~) + 2 Е(")у(в ~) (68) е=1 В дальнейшем параметр е будем включать в оператор Ъ'.

Рекурренгную формулу для Е получим, умножая (6.8) на у ' и интегрируя () (о)' по всем значениям аргументов: в--1 Е(в) (згг(О) !)г!т(в — 1) ) ~~~ Е(з ) (згг(0) !111(в — з ) ) (6 9) 1 — 1 Полагая в = 1, получим, учитывая (6.7), Е(П = (т,(о) Й (О)) (6.10) Поправка первого порядка к энергии есть среднее знагение возмущения в состоянии ) . Определение высших поправок требует использовагшя поправок к ВФ. Разложим у по невозмущенным СФ ),„ (1) (считая, что Но имеет только дискретный спектр): (6.11) ь Подставляя (6.11) в (6.8) при в = 1, умножая на у ' и интегрируя, (о).

находим (6.14) 7 П.В. Елизтин, В.Д. Крилченкон а(') (е„— е, ) + (т!Ъ'!и) = (т~Ъ'~ззг)о,„„, (6.12) где введено обозначение (тазг) = (), г')„) = г' „. (6.13) Если СЗ не вырождены (е ф еи), то при т у'= и формула (6.12) дает П) (т р/и) ажи е — еы При т = и уравнение (6.12) удовлетворяется тождественно; если положить а„„= О, то ВФ (1) (П (о) + '~ ' (тазг) (о) (6.15) т (где штрих у знака суммы означает, что слагаемое с т = и исключено из суммирования) будет нормирована с точностью до первого порядка по е твггрггн вомпи1ений и ворггииионньш.иегггод Мнимые части всех а, влияющие на фазу у, мы будем полагать (я) равными нулю.

При н = +2 (2) 1 Х ' '(т Цп)~ и„,~ —— ~- ~~» иП,ЯЪ'(в) + Е ' а ~]. Подставляя в выражение в квадратных скобках формулы (6.10) и (6.14), находим (2) 1 ~ (т~Г Й)(ЙЩ1) (т)Цт)ЯГ~т) а ег е ег. е (ег — е ь Отсюда получаем окончательно выражение для ВФ второго порядка: (2) С гг Х гг (гПМ1)(1~1 ~Я) я (ен — еп,) (ег — е„,) — — — 6.20 ' (гП~Ъ" т)(В/Цт), 1 Х г г/(т/Ъ'!В)/~ . 4. Индексы у Еп и у„в предыдущем изложении представляют собой, в общем случае„не просто номера энергетических уровней, а совокупность всех квантовых чисел, определяющих положение системы. Если уровни дискретного спектра вырождены, т.

е. если при не ф и Ет = Епг то полученные выше результаты неприменимы непосредственно, так как в суммах (6.15), (6.16) могут появиться бесконечные слагаемые. Напомним, что дискретный спектр одномерного движения всегда не вырожден, а дискретный спектр частицы в центральном поле в состоянии с моментом 1 всегда вырожден с кратностью (21+ 1) по величине проекции момента. Пусть уровень Е вырожден с кратностью д, а 7'„„. — произвольные ортонормированные ВФ этого уровня (1 < 1 < о).

Используя формулы (6.7), (6.8), при любом е' имеем .(о) .(о) Озпгг 'тзтгг .(о1 Умножая (6.22) на з, скалярно, получим, учитывая вытекающее из эрмитовости гамильтониана Но равенство (з„,~,; (УХо — е )2;) = ((Но — ет)зтя, з,) =- О, ,(о) - .

(ц — . (о),(ц Гзиви б следующее соотношение: (тЦЪ''(тг) = Е( ~(т)в(тз) = Ев,,с)ь;. (6.23) Таким образом, функция в правой части (6.22) должна быть ортогональна ко всем 5„,, что выполняется не при всяком выборе ВФ ,(о) нулевого приближения. Рассмотрим линейную комбинацию ВФ вырожденного уровня (о) х- .(о) = ~~6„~„и. 1 Такая комбинация тоже будет СФ невозмушенпого гамильтониана, соответствующей значению Е . Набор у,.

(1 < 1 < д) будет орто(о) нормированным, если матрица 6., унитарйа. (о) Подставляя в правую часть (6.22) функции у( ) и требуя ортого.(о) нальности ко всем 1 „, придем к системе линеипых уравнении для коэффициентов б,эч ()вЩ))(э, — Е,( )6, — О. (6.24) Система линейных уравнений (6.24) имеет нетривиальные решения, только если детерминант из коэффициентов при бз обращается в нуль: Т)е1 Яь — Е~~~с(эь) = О. (6.25) Это уравнение, называемое век)пярным, имеет в общем случае в различных действительных корней, которые и представляют искомые поправки первого приближения к энергии уровня Е .

Отсутствие комплексных корней является следствием эрмитовости оператора возмущения ег'. Нумеруя корни секулярного уравнения как Е,. и подставляя их в (6.24), найдем коэффициенты бш, опре- (1) (з) деляющие правильные ВФ нулевого приближения. Если все Е( различны (возмущение полностью снимает вырождение), то вычисление высших поправок ведется как в п.

6. ) . 5. Если невозмущенный уровень принадлежит к группе близких уровней (квазивырожлепный случай), то все вычисления по теории возмущений удобно вести так же, как и при наличии вырождения. Этим подходоги можно исключить появление больших поправок к СФ и СЗ. Пусть близко расположены уровни с 1 < и < д. Представим оператор возмущения в виде г = эг+Уз теорсгн есжгеиигений и еприасгионный мегнод 1О1 =О, ,сгг ~2Ч-Ис + игг г 1,2 — 2 2 Рассмотрим вид этого выражения в Если ~Ь+ И22 — Ъ'гг~ >> ~ргз~, то (6.28) различных предельных случаях. ~Ъ'г2!' Е =Ъ'1— (г~ 1 + г22 — г'и ~~'гз~ ф 2с2) Еа = 1'22 + гг + ОО ~+ й22 — г'гг где операторы гг, гг определены соотношениями: (г/Уг /Я = (Е1 — Ез) сгб (ч, г < д), ст~~д/и) = О (т, и > д), (г/~г /гг) = О (и > д, г < 8), (г/)2~Я = (г/Ъ'~Я вЂ” (Ег — Е.) сгг (г. г < д), (т/Яп) = (тЩп) 'с,гп.

.и > д), (г/) ~п) = (г/Ъ !и) сп > д, г < д) . Собственными функциями оператора Н' = Нс + Гг являются те же 2 „„что и у оператора Но. Но теперь группе первых 8 уровней соот- ветствует одно значение Ег . Используя результаты п. 6.4, представим ВФ нулевого приближения в виде Ь,,;2 (а) 2.—.1 Тогда имеет место система уравнений: Ъ, ~(Л",)Ъ'~г) — (Ег — Еу) сг,г1 = Ес~)Ьен (6.27) г.=г Поправки ЕОО и коэффициенты Ьсг вычислим, приравняв нулю опре- делитель системы с'6.27). Рассмотрим случай двух близких уровней (д = 2).

Секулярное уравнение для Е ~ г с: ПеФ 1„— Е(г) 1;2 И„+ Л вЂ” ЕО~ где гз = Е2 — Ег — расстояние между невозмущенными уровнями, приводит к значениям поправок Еггггггг б 102 ~~+ р'зз — )'гг~ »%з~ Е2 получаем Е(ц гх ч ь'гг.~- ь'и ~ Ег 1, я е (гх+ гы — г'г ) Рнс. 17 в~ьгг,' Если Т'гг = )гзя = О, то зависимость поправок от величины возмущения близка к линейной. Положение возмущенных уровней в зависимости от величины возмущения показано на рис. 17.

Заметим, что под действием возмущения расстояние между близкими уровнями увеличивается. Это явление называется опгпгагкиваггпе и 3)говггегг. 6. При вычислении поправок для СЗ Е„, можно обойти процедуру разложения ВФ по степеням малого параметра е и ее последующей нормировки. В самом деле, система СФ невозмущенного гамильтониана Но — полная и ортонормированная.

Можно вычислить матричные элементы Н в этом базисе (недиагональные элементы будут отличны от нуля только для Г) и диагонализовагь полученную матрицу. В принципе такой подход должен привести к точным значениям уровней гамильтониана Н (см. п. 1.15). Рассмотрим метод приближенной диагонализации, который называется теорией еоагг)ггг(еггггй Брггьг юэгггг-Вггеггера.

Разложим решение УШ (Но + )')ут = Еу по СФ невозмущенного гамильтониана; угп = ~ Стп)гг. и Подстановка этого разложения в (630) дает с„„(ń—.Е ) = р сьпЪ~ь. ,(о) я (6.30) (6.31) В частном случае )гг г = 1 зз = 0 из (6.29) следуют выражения Ег- —, Ев- + ~1ггг1 Ъ'м1 Л Таким образом, учет квазивырождения приводит в первом порядке теории возмущений к формулам, которые включают также и главный член второго порядка теории возмущений без вырождения. Поправки к энергии зависят от величины возмугце- Е ния квадратично. В другом предельном случае Теорггн ыозггуи) ени й и ыарггаг)иоггный.иенгог) )О3 Полагая и = т, получим (Ен, — Е,н ) = Ъ„, + ~ ~си„,Ъ' я.

(о) . 1 х Повторными подстановками (6.32) в правую часть (6.31') получаем, вылеляя каждый раз в сумме слагаемое с )г = пг, н Е(н) '( ~ Е(ы) + ~(о) ы=о (6.32) (6.33) где Е 1 ш г' и г' и ' ' ' ~н (, Чог)(, .гог) (,,гыг) ' Очевидно, )г-й член разложения имеет порядок ен.

Разложение (6.33) точное и становится приближенным, если опустить член Ь("). Фактически разложение (6.33) определяет Е неявно, так как Е входит в знаменатели всех членов с ы > 2. Однако это разложение свободно от трудностей, связанных с наличием вырождения. В самом деле, процедура отыскания правильных ВФ нулевого приближения, рассмотренная в п. 6.4, состоит в диагоналнзации субматрицы Н „ на подпространстве ВФ вырожденного уровня. Если в разложении (6.33) подставлять в формулы для Е вместо точных (нскомых) () значений Е приближенные значения Е, то разложение (6.33) (ы — 1) перейдет в разложение собственного значения Е , следующее из теории возмущения Рэлея — Шредингера.