Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика.djvu), страница 60

В точке У = Уо слева Сн = 3/2 и дСн/де = (12/5)ра. 514. Фозовые переходы 2-го рода, Л-переходы, крпшпческие точки 229 Энтропия системы в точке В = Ве непрерывна, но имеет соответствующий излом: — Е агу Прн В«ВЬ, Во-з е В З — В' 1и 2 — — — пРи В ~ Ве, 2 Во !п2 ' при В>Вы Конечный скачок теплоемкости в точке В = Вс означает, что для модели Вейсса критический инлекс а' = о = О. М/ Так как рассматриваемая в данной задаче молель йейсса учитывает тепловое движение только магнитных моментов (т.е, без учета колебаний узлов кристаллической решетки), то тепло- емкость Сн — — С, всюду равна нулю.

В случае Н л О в области, близкой к В = Вь, кривые лля намагннчепня М(В, Н) = !Уа(В, Н) и теплоемкостн рис. 111. Температурная зависимость теплоеикости теРЯкгг свои ивломы, и Решеннл пРи- Ся е —— С(а(В,О)) = С(В) модельного феРРонвгнеобретают вгУд, полученный в заааче 62 тика вдоль кривой ферромагнитных его состояний н ее (сл!. также рис.!28).

в которых надо проекция С(В) = См)л» на плоскость М = !уа = О положить и =;В, а = 1/2 и Ь = Вь/12. Чтобы определить критический инлекс б, положим В = Ве, Тогда я пределе Н О из основного уравнении состояния следует а = Ш ~ — +а) = — +а — - ('— +а) +..., н мы получаем, что влоль критической изотермы а) ИЗ вЂ”, )УН О т.е. критический индекс б = 3.

Наконец, в парамагнитной области при В > Ве н Н О получаем из того же уравнения ДН+ Веа М )У а= +..., т.е. а= — = — Н, В "' ' ' Р В-В, и мы убеждаемся, что критический ннлекс намагничення г = 1, что соотаегсгвует закону Кюри — Всйсса для уг, Повгоряя практически буквмьно исслелоеанне критического повеления намагничення в области В < Ве, проведенное в задаче 62, лгы я здесь пог!учасы, что (ВМ/ВН)е — — К )т)', причем у' '= у = !. 1> Задача 64. Считая, что в ферромвгнетике вблизи точки В = Ве исчезновения спонтанной намагниченности теплоемкость Сн т; нвнагиичение М тд и восприимчивость (ВМ/ВН)е — — Л ° т /, где т = (Ве — В)/Ве < О и )т! « 1, ст' > О, /У > О, у' > О.

установить неравенство, связывающее.зти критические показатели. Решение. Согласно условию устойчивости магнетика по отношению к тепловому на него воздействию (см. 5 6, п. а)) В (е",),', С =С вЂ”, '„„' >О к ье в 2ЗО Задачи, и дапалниглельмые запросы получаем, учитывая, что для парамагнетика д > О, и используя указанную в условии температурную зависимость фигурирующих в этой формуле величин, Сл» Ат ' > В)г(ы ""', где А и  — положительные и не зависящие ат г величины.

Логарнфмируя это неравенство, получим при г -» 0 1п — — (а' + 2д — 2 + "т') 1п (г( >! и 1 = О, В откуда, учитывая, что 1п )т) — -со, получаем требуемое неравенство а'+ 2Д+ у' > 2, каторас называется неравенством Рашбрука (см. б 6, и. к)). Заметим, чта полученное выше соотношение имеет исключительно тсрмодинамическую природу, в процессе его вывода мы нс использовали каких-либо конкретных моделей ферромагнстика, касающихся деталей его уравнения состояния Н = Н(В, М). Заметим также, что в'случае нормального ферромагнстика (см. й 6, п. а)), лля которого Ся > Св > См > О, критическое поведение тспласмкостн Сл мажорирует поведение теплосмкостей Св и Сн.

их асимптотическое при г - 0 поведение характеризуется либо тем же критическим индексом а' (тогда разница между тсплоемкастямн скажется лищь в коэффициентах при (г! ', как это мы видели в 56, и. к) для обобщенной модели Ландау), либо их аси м итоги ка более слабая, нс конкурирующая с основной ас им итачи кой Сл (т.е. при г -» 0 Св/Сл См/Ся -» О), и поэтому и в этом случае поведение разностей теплоемкостсй Сл — Сл и Сл — Сы также характеризуются критическим показателем а'. Пример, предложенный Д. В.

Перегуловым, модельного парамагнстика аномального типа (восприимчивости зс и тг,. име1от разные знаки и см < О) без претензий на его физическую реализацию рассмотрен в следующей задаче. т» Задача 05.' Рассмотреть термодинамические особенности вблизи критической точки модифицированной модели ландау (см.

6 6. и. и) н к)), в которой к линейной по т аппроксимации коэффициента А(В) = атАа добавлена квадрвтичнав поправка, А(в) = а(т + Йтз)да, и определить значение коэффициента /с, обеспечивающего устойчивость этой формальной модели. Решеное. В качестве исходного момента имеем в обозначениях $6 в области г 0 У'(В, Н; М) = Б( + Лг ) — + Ь вЂ” — М Н. 2 М М 2 4 Сохраняя согласно 5 6 условие ВУ'/ВМ = О, принимаемое в теории Ландау, имеем для уравнения состояния Н = Н(В, М) и энтропии М2 Ы = Ма(2'+ дт~+ ЬМ) и Я = -а(1+ 2лг) —. 2В Легко показать, чта поведение спонтанной намагниченности этой системы характеризуется критическим показателем 20 = !/2, изотермическая восприимчивость (ВМ/ВН)г— показателем т = т' = 1 (с разными коэффициентами в случаях т > 0 и г < 0), критическая нзотерма г = 0 — показатель б = 3 — как в случае исходной модели Ландау.

Теплоемкасгь См парамагнетика Пгрегудова определяется величиной /да '! В С„= В ~ — /1 = — —,ЗДМ', ( дВ) В2 знак которой зависит от значения коэффициента Ь. Заметим, чта в случае Н = 0 и г > 0 (парамагнитная область) теплоемкость Сы — — О, а при г < 0 ее величина определяется линейной зависимостью от )г! квадрата спонтанной намагниченности, См ВД -тал/Всь))г(. в 14. Фазовые переходы 2-го рода, Л-переходы, »роаичесяие пючли 231 ь Теплоемкость С» в этих же условиях имеет в точке В = Ве конечный скачок (т е.

а = 0), [ Вог»,М) аэ(В,М) (ВМл~| »»-е а(1+ 2йт)'В а См),. + Й= при т<0, 2Е'Ь 2ВаЬ 0 при г>0. Условие термодинамической устойчивости по отношению к теплоемкости Сн (см. 6 6, и. а)) эи г ал ( ш )» (ззг)В Лмл Мг е ( ) (,аы) + 4» Ве Ве а(! + 2йт)+ 2ЬМ'+ 4» в области критической точки (т — О, М - 0) удоатетворяется при значении коэффициента й < ВГ4», так что с формальной точки зрения аномальный ферромагнетик с См < 0 и разными знаками восприимчивостей ха и )Г, может быть устойчивым. Заметим только, что полобиая модель не удовхетворяет условию однородности по отношению к переменным г и йгз. Ьлаконец, надо иметь в виду, что молчаливо опустив в исходном выражении для лг(в, Н; Ы) слагаемое зке(В), мы определяли лишь магнитные поправки к энтропии и теплоемкостн в области исчезновения спонтанной намагниченности при (г( = -г 0 (при г > О, как ллы уже отллечаяи, С» = См = 0) к базовым их значениям Вл(в) и Се(В) для кристаллической решетки, ай (См( ) а„, = Се(В) — — )тй вь так что слухи о сулцествовании магнитных систем с физически измеряемой в области (г! 0 отрицательной теплоемкостью См могут окаэлться, как говорится, сильно преувеличенными.

Задача 66. Исследовать поведение явлорических уравнений состояния магнетика (геплоемкостей С» и См) вблизи границы возникновения спонтанной намагниченности. Реше»ив. ПРоблема сопостаалениЯ теплоемкостей С» и См обсУждалась в 66 п. к) и за- дачах 64 н 65. Более того, аналогичная проблема подробно рассматривалась в задаче 52 по отношению к газу Ван-дер-Ваальса, т.е. к системе, в смысле критического поведения потобной модели ферромагнетика Вейсса, где было выяснено, что при вхоле в лвухфазпую область (при В < Ве) теплоемкость сг, задаваемая как калорнческое уравнение состояния со- вместно с уравнением Ван-дср-Ваааьса при переходе на горизонтальный участок двухфазной изотермы испытывает положительный скачок (см. рис,64-В) за счет появления второй фазы и включения в энергетический баланс скрытой теплоты фазового перехода.

Чтобы сделать маше рассмотрение не связанным с выбором конкретной молслн фсрро- магнетика, будем исходить, как в 66, п. к), из условия минимума по отношению к величине М (или гг = М/Лу) выражения для свободной энергии эг(в,н;М) = лт(в)+г(в,м) — мн, где Г(В, М) — модельная форма Ландау, Г = Амз + ВМ', ее обобщение на произвольные значения показателей д и т, модель магнетика Вейсса или ешс какая-либо бочее совер- шенная модель. Отметим сразу очевидное свойство сиыметрии потенциалов гл и Г лля магнетиков (кстати, не нмеюшее места лля модели Ван-дер-быльса), З'(Е, -Н; -и) = лк(Е, И, М) и Г(В, -И) = Г(В, М).

Приравнивая нулю производную Влг/ВМ = О, получаем уравнение состояния магнетика Н= . = Н(В,М), аг(в, м) определяющее поверхность его термодинамических состояний типа изображенной на рис. 64-А. Решение этого уравнения в случае Н = 0 определяет в области В < Вл температурную зависимость спонтанной намагниченности М = Ме(в), график которой на плоскости Н = 0 очерчивает область, которая уравнением Н = Н(в, М) не описывается, а интерпретируется 232 Задачи и дополнил!ельныв вопросы согласно б 6, п. к) условно квк двухфазная» (или двухдоменная), внугри которой суммарное намагничение М(в) = М,(в)(1 — 20 меняется пределах ат +Мо(В) до -Мо(в).

Заметим, что в этой области перемещение вдоль изотермы, сопровожлающееся изменением параметра «смеси» ( в пределах О < С < 1 и переходом «фазы» М ! в фазу М (, не сопровождается тепловым эффектом, а зто озцачест, что энтропия вдаль всеЯ этой внутренней изотермы остается постоянной и в силу ее непрерывноети при фазовых переходах 2-го рода и Л-типа равной ее значению на границе возникновения спонтанной намагниченности, Я(в, М) = о(в, Мо(в)), (Заметим, кстати, что для газа Ван-дер-Ваальса, см. задачу 52, в двухфазной области энтропия линейно зависит от суммарного удельного объема в, являющегося «аналогам» величины М, именно а силу неравенства нулю скрытой теплоты фазового перехода газ — жидкость.) Таким образом, для энтропии в области, описываемой уравнением состояния Н = Н(В, М), имеем В(в,н)=В(в,м)= — ' ' =в(в) — — ' взу(в, и; М) ВР(в, М) Вв ВВ при В > Во и при В < Во, если М > Мо(В) («однофазная» область), и в «двухфазной» области (т.

е, на плоскости Н = О, ограниченной кривой М = Мо(в)) В(в, н)1 = в(в, м (в)) = В (в) — — ' ВР(в, М) 1 вв при В < В, и М < Мо(В). Обозначая верхним индексом (1) или (2) величины, относящиеся к «однафаэной» илн *двухфазной» областям, имеем лля теплоемкости См выражения через определяющую модель системы функцию Р(В, М) с„'(в,м)=в ' =с(в) — в 1„ВФ'1(в, м) ФР(в, м) вв вв з! ВВ1~(в, Мо(В)) (В Р(В, М)') В Р(в, Мо) д~о(В) Учитывая, что ВР/ВМ = Н и что-согласно идаче 1 ВН ВН Вм Вв Вм Вв ' получаем таким образом лля скачка теплоемкости Сог на границе возникновения спонтанной намагниченности Н = О, М = Мо(В), Эта формула очень похожа на многократно использованную нами формулу для Сл — См, справедливую в силу выполнимости уравнения состояния Н = Н(В, М) всюду в области (1), «"."-««'=«('— ) ( — ') .