Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973).djvu), страница 15

е. все возможные частоты зз,„,„. Опишем в пространстве вектора сй сферическую поверхность радиусом ез и обозначим через М (ез) число узлов кубической решетки, находящихся в одном октанте внутри этой сферы. Очевидно, У (ес) имеет смысл числа всех абстрактных осцилляторов с частотой, не превышающей ез. Если радиус сферы велик по сравнению с длиной ребра элементарного кубика, то число Ле (ез) можно приближенно положить равным числу кубиков, находящихся внутри рассматриваемого октанта. Следовательно, М (ьз) х (объем ячейки) = = (объем октанта), го(Е+ — — =О, с((у Е = О, с((у Й=О.

(18.40) Следствием этих уравнений являются волновые уравнения для векторов поля: уаŠ— — = О, с' дн (18.41) Следовательно, компоненты электромагнитного поля подчиняются волновым уравнениям типа (18.27). Отличие будет состоять лишь в виде граничных условий. Если стенки куба, ограничиваюшего электромагнитное излучение, считать идеально проводяшими, то на одни компоненты — Его Е„ Е„Н, Н, Н, — будут накладываться условия типа тР = О, а на другие — типа — = О. Это не скажется, однако, сущедф ственным образом на решении, и последнее будет отличаться от (18.29) только тем, что некоторые синусы заменятся косинусами тех же величин *. Последнее же не приводит к из- " Точным решением уравнений (18АО) внутри куба с идеально проводящими стенками является следующее: Е.= Ах сои(еи — ф) соей„х а1п Дур Мп й,а, Е =А сов(ыг — гр) ап гг„х ° соей„р ° Мп (г г, Е,=А,соа(ы( — гр) а(п )г х а1п (г,р сов(г,х, Н = В Мп(гог — гр) а!па„х.соей у соей,г, Н, = В, Ип (ыт — гр) соз (г„х Мп (г„у соа )газ, Н,= В, ап (ыт — гр) сон(г,х соаlгур а1п (г и, и и и тдей = — 1, й = — т, й,=--п, 1, ш, о — полые числа,ы= к г у Е =се(й'-'+Й'-'.+й-",) и векторы А, В и К взаимно перпендикулярны, причем )А ( = '! В Р 6.

Формула Релея — Джинса для равновесного излучения абсолютно черного тела. Электромагнитное излучение в пустом пространстве является распределенной физической системой рассмотренного типа. Действительно, электромагнитное поле в пустоте подчиняется уравнениям Максвелла: менснию всех последующих вьпладок, и формулы (18.32) и (18.35) останутся теми же. Небольшое изменение необходимо внести лишь в формулу (18.37), ибо электромагнитные волны поперечно поляризованы, и каждому вектору ей соответствуют два состояния поляризации, т. е. не один, а два абстрактных осциллятора. Следовательно, число абстрактных осцилляторов, имею;цих частоты, меньшие в, должно удвоиться, т.

е. вместо (!8.37) для электромагнитного излучения необходимо написать вор Ф(в) = —, в о (18. 42) откуда в'р е(М (в) = —, йо. (18. 43) Следовательно, средняя энергия электромагнитного излучения, приходящаяся на интервал частот в, в + е(в, определится формулой и (в) Йо = —, г' ав. (18. 44) Е= ~ и(в) а'в вз -о.со о о (18. 45) На самом деле, согласно закону Стефана — Больцмана, полная средняя энергия излучения Е =аТ4. (18.46) Это расхождение теории с экспериментом, так же как н все другие, рассмотренные выше, устраняется в квантовой статистике.

Эта формула, впервые полученная Релеем и Джинсом, находится в хорошем согласии с опытом только для низких частот. Для высоких частот эксперимент дает экспоненциальное уменьшение спектральной плотности с частотой. Формула же Релея — Джинса в противоречии с опытом дает ее увеличение. Последнее приводит к так называемой фиолетовой катастрофе, состоящей в том, что согласно (18 44), полное электромагнитное излучение является величиной расходящейся,' так как % 19. Распределенне Гпббса длп систем с переменным чнслем частнп В равновесии с термостатом могут находиться системы, не имеющие фиксированного числа частиц и обменивающиеся ими с другими системами, или порождающие неограниченное число частиц определенного вида.

Так, например, излучение, являющееся фотонным газом, ие имеет определенного числа частиц, так как фотоны рождаются и поглощаются стенками ящика, в котором заключено излучение. Для таких систем с переменным числом частиц основное уравнение термодинамики имеет вид где р, — химические потенциалы, Л', — число частиц различных сортов (см.

формулу (1.21)), или для свободной энергии (см. формулу (1.22)) БАРР= — 5 г(Т вЂ” ~ Ааг(а, + ~ р, г(Фь (19.2) Для однокомпонентной, однородной системы, с единственным внешним параметром г' это уравнение приобретает вид г(Р = — 5 бТ вЂ” Р сП/ + )м(М. (!9.3) Термодинамический потенциал (в узком смысле) такой системы определяется, согласно (1.20), (1.23) и (1.24), как (19.4) Для такой однородной системы удобно также ввести новую характеристическую функцию, зависящую от Т, г' и р,— потенциал омега (Р), определяемый как а(Т, Р, р)= — Р).

(19. 5) Согласно (19.4) и (19,3), НР = г( (Р— Мр) = — 5 3Т вЂ” Р Л' — М др, (19.6) откуда 100 (19.10) — нн(хио) ее 11= — 01пЯ= — 01п ~~ — ' ~ е е дХоо н=о (х<н<) (19.13) ,1(ля среднего значения любой величины Рн (Х<н>), очевидно, имеем О а+он — нн(хсо) — Рн (Х< ') е е <1Х'~~ . (19,14) — (х< >) 141 Перейдем к рассмотрению статистического распределе- ния для системы с переменным числом частиц, называемому болыиим ансамблем Гиббса. Если к термостату присоединена система, которая может черпать из дополнительного резервуара частицы, то для каждого фиксированного числа частиц У будет справедливо каноническое распределение в фазовом пространстве 6М измерений, однако такое распределение необходимо умно- жить на некоторый весовой множитель, зависящий от чи- сла <<<.

Следовательно, плотность вероятности является функцией Х<н> и числа частиц У, т. е., согласно (14.19), чн<н(х) <гн(Х' ~) =;-< е (19.8) причем условие нормировки, в отличие от (5.2), должно быть записано в виде С жн — нн ( х <н<) — е е <(Х< ~ = 1. (19.9) н=о (х<н<) Вводя вместо свободной энергии Ч' потенциал й, т. е. пола- гая, согласно (19.4) и (19.5), Р = Г = 1<й< + (), (19.8) и (19.9) можно записать в виде а .<- он — нн (х <и<) п<н (Х' ') = —,—,; е е, (19.11) ОЭ а+он — нн(х<н<) — е е <(Х< ' =1, (19.12) н =о <х)<оо) откуда получаем для 11 (19.

16) (19.17) Термодинамические средние, аналогично обычному распределению Гиббса, могут быть вычислены путем дифференцирования условия нормировки по О, У и )х. Произведя это дифференцирование, получим ди ! д6 6 -' = — (Й+рЛ~ — Н(, дп ду) р др дц — = †.Ч. ди Составляя полный дифференциал д2= "сп9+- — д1/+ — бр= ди ды дГ2 ди дТ/ ди = -- (() + рУ вЂ” Й) — Рг(Ъ' — Ядр (19.18) и сравнивая его с соответствующим термодинамическим выражением (19.5), получаем 5 = — й — (Й вЂ” рУ вЂ” Н) =- — й --. (19,19) 1 — дп 6 дб' Итак, Б, определяемое формулой (19.13), играет роль интеграла состояний 2 для большого ансамбля Гиббса, изображающего систему с переменным числом частиц У.

Все полученвые в этом параграфе формулы, легко обобщаются на случай многокомпонентной системы, имеющей п сортов частиц. Для такой системы выражение плотности вероятности, являющееся обобщением (19.8), имеет вид аъ, и (Х(' 0;..., Х(~ 1) = х е + -(а+ ~„ч,х,— н(х( п,...,х(~ ))) е '=' . (19.20) Соответственно, (19.13) — (19.17) обобщаются следующим образом: х 1 и Х "~ х х,— о н„=о н(х( 0.. х( х)) х ~ ... ~, 'е аХ(')... Х('.),(19.91) ( ')~и (х'"х') 102 11 = — 0)п В Е= — -"' (11 — Ъ р,Л,— О = — й дп — дп Ля = — — '-, Хд = — —.'--, (! 9.22) дад ' дня ' л~,=:.о м„=о ' "' ( (л,)) Е(Х('), „Х(')) и (х( )) л о~- Ъ' я,.~,.— и(»' ~,...,х(' л)) /' =! хе г(Х( ~)...г(Л( «).

(19.23) В рассматриваемом случае многокомпонентной системы потенциал 11 очевидно имеет следующий термодннамический смысл Й (Т; ам ..., а„,; и,, ..., 9„) = — ~; Ахам (!9.24) А=! Это выражение является обобщением (!9.5). 1АДАЧН Ш-!. Вычислить фазовый объем Г для: а) гармонического осциллятора; б) релятивистской частицы, движущейся в объеме и" и обладающей энергией Е.

Ш-2. Ж частиц идеального газа заключены в объем У и подчиняются мнкроканоническому распределению с энергий Е. Вычислить для них фазовый объем Г, энтропию 5 и температуру Т. Найти уравнение состояния газа. Ш-3. Решить предыдущую задачу для системы, состоящей из М независимых гармонических осцилляторов. !11-4. Зная нормировочный делитель микроканонического распределения 11 (Е), найти интеграл состояний 2 (О). Ш-5.

Выразить нормировочный делитель 11 (Е) через интеграл состояний 2 (О). 111-6. Используя результаты задач Ш-2 н Ш-4, вычислить интеграл состояний для идеального газа. Ш-7. Идеальный газ, состоящий из У частиц, находится в термостате с температурой Т. Найти вероятность того, что газ имеет полную энергию, значение которой находится в интервале от Е до Е + ЛЕ.

П1-8. Вычислить интеграл состояний для релятивистского идеального газа. Рассмотреть предельные случаи нерелятивистских и ультрарелятивистских частиц. Для последнего случая вычислить среднюю энергию. Ш-9. Написать распределение Максвелла — Больцмана для идеального газа, окружающего тяготеющую массу, имеющую радиус )с. Исследовать, законно ли применение этого распределения в данном случае.

Ш-1О. Определить распределение плотности частиц идеального газа в цилиндре радиусом )с, вращающемся с угловой скоростью в, и определить давление на стенки. Ш-11. Смесь двух идеальных газов, состоящих из М, и Ф, частиц с массами т, и т, соответственно, заключена в цилиндрический сосуд высоты й с площадью основания Я. Смесь находится в поле тяжести. Найти давление на верхнюю стенку сосуда, а также положение центра масс. Рассмотреть дополнительно случай бесконечно высокого цилиндра.