Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973).djvu), страница 16

!П-12. Вычислить электрическую поляризацию Р идеального газа, состоящего из дипольпых молекул с неизменным электрическим моментом р, при помещении его во внешнее однородное электрическое поле Е. П1-13. Идеальнгяй газ из М одинаковых молекул заклю. чен в объеме Р и находится во внешнем поле с потенциалом У (г). Найти вероятность того, что внутри объема в ( Р окажется и частиц. Вычислить среднее число частиц и и среднее квадратичное уклонение )~(п — и)' = Л (п). Рассмотреть случай, когда М ~ и и п *,д 1. Ш-14. Вычислить поправку к уравнению состояния для разреженного газа, частицы которого взаимодействуют по закону Ф (г) = — „, где сс ) О.

Ш-15. Определить среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа в одну секунду, Радиус молекул, температура и плотность газа заданы. 1П-16. Диск радиуса )т движется со скоростью и, направленной по нормали к его поверхности, в идеальном газе с температурой Т, состоящем из частиц массы т, распреде- 114 ленных с концентрацией о.

Найти силу сопротивления движению диска, пренебрегая отдачей последнего. Ш-17. Найти свободную энергию и уравнение состояния идеального газа, заключенного в сосуд, закрытый подвижным поршнем, нагруженным массой М. (Поршень рассматривать как тело, имеющее одну степень свободы в направлении оси г). Ш-18. Пользуясь теоремой о вариале, найти среднюю энергию частицы, движущейся во внешнем поле с потенциалом (l (д) = ад'" (а — натуральное число). 1И-19. Ангармонический осциллятор с потенциальной энергией У (х) = — (х'+ ух') находится в термостате с тем- 2 пературой Т. Найти среднюю потенциальную энергию такого осциллятора, выразив ее через интеграл / (у) = е — аЯ'-Ьтьв ~$. Ш-20.

Доказать, что произвольная классическая система взаимодействующих зарядов не может быть равновесно намагничена во внешнем магнитном поле. Ш-21. Система с переменным числом частиц двух сортов М+ и М подчиняется условию У+ — М = Я = сопз1. Найти среднее число частиц У.„, М в условиях термодинамического равновесия. Взаимодействием частиц пренебречь. 1Н-22. Обобщая вывод формулы (17.5), доказать для любой физической величины Р (Х) справедливость соотнодн дд шения Е,„х~ = В,—. И1-23. Вывести обобщенные леммы Гиббса (13.2) и (13.3) для большого канонического распределения (19.20).

Ш-24. Используя теорему о вариале доказать, что средняя потенциальная энергия частицы в потенциальной прямоугольной яме с бесконечно крутыми стенками стремится к нулю. глава 4 78()ря «мр~~~ю % 20, определенно коррелнцнонныз моментов кан ооновнан задача теорнн флтктрацкй Ряд макроскопически наблюдаемых физических явлений обусловливается флуктуацнями, т. е.

беспорядочными отклонениями физических величин от их равновесных статистических средних значений. Так, например, рассеяние света прозрачными средами происходит благодаря флуктуациям плотности, вызывающим пространственную неоднородность показателя преломления; флуктуации тока в электрических цепях являются причиной неустранимых шумов в радиотехнических устройствах; величина электрических и механических флуктуаций в электроизмерительных приборах определяет степень их чувствительности ит.д. нт.п.

Количественной характеристикой флуктуаций являются, как .это было отмечено в з 2, корреляционные моменты *, которые для и различных физических величин гь в общем случае можно записать в виде (Рт — Рт)" (Рз — Р,)' ... (Є— Р„)". (20.)) В ряде случаев, когда явление определяется временной зависимостью флуктуационных отклонений, для количественной характеристики флуктуаций используются временные корреляционноге моменты вида (Рз — Е~) ' (Е~ — Р~) ' ... (Рва — Р,) ", (20.2) где верхние индексы Г и 0 означают, что данная величина берется в разные моменты времени: т' = г н г = О.

* Ради удобства мы часто будем пользоваться упрощенной терминологией и аазывать корреляционные моменты просто корреляциями. тао В болы!|инстве случаев флуктуационные явления достаточно полно количественно отображаются корреляционными моментами второго порядка, или, сокращенно, квадратичными корреляциями, т.

е. величинами вида (Р„ — Р„)» = .б (Р,) = Л (Р„); (Р„ — Р,)(Р, Г,), (20.5) (Г» — Р»), Ж вЂ” Й (Р«! — Р!) (20 4) из которых наиболее важной величиной является среднее квадратичное уклонение Ь (Р), для краткости иногда называемое «флуктуацией», а также относительное среднее квадратичное уклонение или «относительная флуктуация», определяемая как Л (Е) Р (20.5) 107 Задачей теории флуктуаций является, очевидно, вычисление корреляционных моментов и, в первую очередь, квадратичных корреляций вида (20.3) и (20.4). Для различного рода физических величин эта задача решается по-разному. Для величин, зависящих только от скоростей или импульсов, вычисление соответствующих корреляционных моментов не вызывает затруднений.

В силу наличия общего выражения для вероятности заданного значения импульса (15.25) любые средние, например Р (р») или Р» (р,), а отсюда и Л (Р), вычисляются простым однократным интегрированием. Для величин же, зависящих от координат, прямое вычисление корреляционных моментов как средних по распределению Гиббса (11.27) представляет не меньшие трудности чем, например, вычисление свободной энергии реального газа или жидкости. Поэтому для вычисления корреляций применяются различные как приближенные, так и точные методы, дающие формулы для выражения моментов более высокого порядка (например, Ы (Р)) через моменты более низкого порядка (например, Е). Таким образом, эти методы позволяют вычислять величины, характеризующие флуктуации, путем использования макроскопических сведений о поведении средних значений интересующих величин.

В некоторых просгейших случаях средние квадратичные уклонения координат находятся при помощи теоремы о вириале, так же как средние квадратичные уклонения импульса вычисляются при помощи теоремы о равномерном распределении кинетической энергии. Из теоремы о равномерном распределении (17.6) имеем лб г~~~ю 8 2е~ 2 2' откуда, в силу того, что р„= О, получаем А(р,) =~~(р„р„)2=~ „Е, А(о )=$ (и б )2= у 2 (20.8) иэ Аналогично из теоремы о вириале (17.?) для гармонического осциллятора, согласно (18.2) и (18.3), имеем сц' 6 2 2' (20.7) откуда, в силу того, что д = О, получаем А И) = Ф' (и — р)' = ~' — „.

.уо Таким образом, для вычисления среднего квадратичного уклонения координаты любой системы типа гармонического осциллятора достаточно знать коэффициент еупругости» а. (20.10) — — — ' = — — ( — — -- '~ (Р— Р). (21.1) дР дл ! тдН дНт да дя 6 ( да да ) Если величина Р (Х) является функцией толысо координат, то ее можно представить как некоторую новую обобщенную координату д (Х). Под величиной же а, входящей в (2!.1), !ее % 21, Вычисление ивалратнчныа неррелнанй не ыеталр Гиббеа Аппарат статистической механики Гиббса представляет возможность вывести общие соотношения, связывающие дисперсии и вообще квадратичные корреляции обобщенных координат с их средними значениями при наличии дополнительных сил, действующих на эти координаты.

Таким образом, зная хотя бы эмпирически зависимость Р от внешней силы, можно найти и величину Я (Р) — (г" — Г)'. Остановимся на соответствующей теореме, позволяющей установить эту связь. Согласно второй лемме Гиббса (13.3), для любой величины имеем можно понимать дополнительную внешнюю силу, дейст- вующую в направлении обобщенной координаты Ч. Послед- нее допущение означает, что гамильтонова функция системы имеет вид Н (Х, а) = Н, (Х) + аЧ (Х). (21.2) Действительно, в этом случае, согласно уравнениям Га- мильтона, дН дНо р= — — = — — ' — а=А — а, (21.3) дНо т. е.

на систему, кроме силы А, = — действует допол- дЧ нительная сила — а. Заменяя в (21.1) Р на Ч и подставляя Н (Х, а) из (21. 2), получаем а' дЧ да ' (21.4) (р — р) (Ч вЂ” Ч) = — 6 ~,—. — д — 1. (21 Т) (дт де 1 109 Аналогично в случае двух обобщенных координат Ч, (Х) и Ч, (Х), полагая Н (Х, ан ао) = Но (Х) + аоЧ, (Х) + а,Ч, (Х), (21.5) согласно (21.1), получаем д ' (Чо Чо) д (Чо Чо) (Чо Чо) = — со д -'- —— — Й д — .