Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 4

Найти изменение энергетических уровней н волновых функций стационарных состояний заряженного линейного осциллятора прн наложении на него однородного электрического поля, направленного вдоль осн колебаний. Каковы поляризуемости4) стационарных состояний осцнллятора? ') Укажем также на своеобразие энергетического спектра н свойств с.ф. гамильтоннана при движении в магнитном поле, см. 7.К ') Напомним, что поляриэуемость р определяет средний дипольный момент, д яэ Ре, индупнруемый слабым внешним электрическим полем; она же определяет квадратичную часть, йЕ= — рд'э/2, сдвига энергетического уровня в таком поле.

23 2.3. Вычислив среднее значение энергии Е(а) в состоянии с волновой функцией Ч'(х, а) = ~/а ехр( — а~ х1), а ) О, показать, что в любом однотиерном з) потенциале (/(х), удовлетворяющем условиям (/(х) -ь -ь О при х-ь. ~со и ~ с/(х) дх ( О, всегда имеется хотя бы одно состояние дискретного спектра с энергией Ее с О (так что такой потенциал всегда может «связать» частицу; отметим, что при этом не требуется выполнения более жесткого условия (/(х) ( О при всех значениях х).

2.4. Обозначим через Е„ н Е, значения и-го уровня энергии дискретного спектра в полях (/(х) и (/(х), связанных условием (/(х) =(/(х)+бг/(х), глеб(/(х) = =»О. Показать, что Е„зЕ„(этот результат непосредственно переносится на случай системы с произвольным числом степеней свободы). 2.5. Найти соответствие между энергетическими уровнями дискретного ' спектра и нормированными Углу Рис. 1 волновыми функциями стационарных состояний частицы в потенциалах (/(х) н (/(х), связанных между собой следующим образом: 0(х) = (/(х) при х) О и (/(х) = со при х ( О, причем потенциал (/(х) симметричен (рис. 1).

2.6. Потенциал имеет такой вид (/(х) = (/(х)+ +аб(х — хе), где (/(х) — ограниченная функция. Как ведут себя решение Ч л(х) уравнения Шредингера и его производная в точке хе? 2.7. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний дискретного спектра час- з) Сравиить с результатами задач 4.21, 4.33. тицы в б-потенциале ') (/(х) = †(х), рис. 2. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях.

Вычислить произведение неопределенностей координаты и импульса. Каков вид волновой функции в импульсном представлениир йж7 ~ Рис. 3 Рис. 2 2.8. Найти энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний частицы в потенциале, указанном на рис. 3. 2.9. Найти энергетические уровни дискретного спектра и соответствующие волновые функции частицы в потенциале (7(х)=(/о(е з"М вЂ” Ье "1'), причем (7а>0, а>0, Ь>0. Указание. При решении у.

Ш. сделать замену переменной а=2()е "1а и перейти к новой функции ш(г) согласно Ч'=гное-'(зш(г), где и=( — 2тЕ/Нз)тз, б = (2пт(/.аз/бз)" 2.10. То же, что и в предыдущей задаче, для потенциала (7 (х) =(7,/(1+ е'М)' — (//(1+ а'!а) (7, > О, а > О.

Для решения уравнения Шредингера сделать замену переменной г = — е"~а и подстановку Ч' = =(1 — г) — егито(г) (при соответствующем выборе параметров;в и )з у. Ш. сводится к гипергеометрическому уравнению). а) В одномерном случае 3-потенциал притяжения моделирует мелкую потенциальную яму У(х) (достаточно произвольного вида), для которой тазУа/Яз» 1; Уа, а — характерные величина потенциала и его радиус, прн атом — а = ~ У (к)з(х < О.

В связи с данной задачей см. также 2.17, 2.20, 2.23. 2.11. Найти энергетический спектр в потенциале вида: У,(х) = аб(х), а ь 0 при ) х) ( а и У = оо при )х) =,и (рис. 4). Показать, что при выполнении условия таа/Йь » 1 нижняя часть спектра состоит из последовательности пар близко расположенных уровней. Каков спектр сильно возбужденных состояний частицы? Какова картина энергетических уровней прн и со а(0? 2 12.

Обобщить результат предыдущей задачи на случай, когда 6-барьер разделяет прямоугольную яму несимметричным образом. 2.13. Исследовать поведение решения уравнения Шредингера при х- +-оо в случае Е = 0 для потенциала, удовлетворяющего условию У(х)- О при х-+ ~со. Показать, что не возрастающее как при х-ь + оь, так и при х-~- — ео решение Ч"а=а(х) уравнения Шредингера существует только прн исключительнсчх значениях параметров потенциала, отвечающих условиям появления новых состояний дискретного спектра при углублении потенциала. Рас, Б Каково число дискретных уровней частицы, находящейся: а) в прямоугольной потенциальной яме глубины ()ь и ширины а; б) в потенциале У = = — аб(х) — аб(х — а), в зависимости от значений параметров потенциала? 26 2.14. Для частицы в потенциале (7(х) вида: а) (7= при х(0, (7= — (7~ при 0(х(а, (7=0 при х) а; б) (7= оо при х~О, У= = — аб(х — а) при х 0 (рис.

5,а,б), найти число связанных состояний в зависимости от значений параметровв потенциала. 2.15. Найти условие существования связанныхсостояний частицы в потенциальной яме, изображенной на рис. 5,в. Рассмотреть предельные случаи: Кд) а) Ц=со, б) (I~=(7м 2.16. Частица находится в поле, имеющем -а д ГХ вид двух одинаковых симметричных потенциальных ям, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (рис. 6); области действия ям не перекрываются, так что (7(0) = О. Показать, что средняя сила, с которой частица действует на ямы в стационарных состояниях дискретного спектра, приводит к взаимному притяжению ям в четных состояниях и к их взаимному отталкиванию в нечетных состояниях.

9 2. Уравнение Шредингера в импульсном представлении. Функции Грина уравнения Шредингера. Интегральная форма уравнения Шредингера 2.17. Найти в импульсном представлении вид стационарного уравнения Шредингера в случае потенциала (7(х), обращающегося в нуль при х-~ ~со. На основе этого уравнения исследовать состояния дискретного спектра в потенциале (/= — аб(х) и сравнить с результатом 2.7. 2.18.

Исследовать связанные состояния частицы в потенциале (l = — а [б(х — а) + б (х + а) [ на основе уравнения Шредингера в импульсном представлении. 2.19. Рассмотреть связанные состояния частицы в случае сепарабельного потенциала, представляющего нелокальный интегральный оператор О с ядром (/(х, х') = — Х)(х)['(х'), исходя из решения уравнения Шредингера в импульсном представлении.

! 27 2,20. Найти функцию Грина 6а(х,х') уравнения Шредингера для свободной частицы при Е (О, убывающую при 1х — х'~-~со. Функция Грина удовлетворяет уравнению л' д~ (Н.— Е) Оа — = — — — Оа — Егха = 6 (х — х'). 2т дхэ Каков вид функции Грина в импульсном представлении? С помощью функции Грина записать уравнение Шредингера для состояний дискретного спектра в потенциале (/(х) (У(х)- 0 при х-~~со) в виде интегрального уравнения.

На основе этого уравнения рассмотреть связанные состояния частицы в 6-яме и сравнить с результатами задачи 2.7. 2.2!. Рассмотреть задачу о связанных состояниях частицы в случае сепарабельного потенциала, см.2.19, исходя из решения уравнения Шредингера в интегральной форме. 2.22. Воспользовавшись интегральной формой уравнения Шредингера, показать, что энергетические уровни дискретного спектра в произвольном потенциале У(х)(0 (У(х)- 0 при х-э~со) удовлетворяют условию 2.23.

В «мелкой> одномерной потенциальной яме (/(х), для которой (/а ч: Ьз/таз ((4, а — характерное значение потенциала и его радиус), имеется только одно связанное состояние, энергия которого пригл ~2 ближенно равна Еа = — — () У(х) г(х) . Воспользовя И вавшись интегральной формой уравнения Шредингера, найти поправку порядка таЧ/э/Ьэ к этому выражению. 2.24. Найти функцию Грина свободной частицы, движение которой, однако, ограничено непроницаемой стенкой (т. е. 0=0 при х) 0 и У= со при х(0, рис. 7, а) для Е(0.

Функция Грина удовлетворяет граничному условию сга(х = О, х') = 0 и убывает при 1х — х'~-ь оо. 28 С помощью функции Грина записать уравнение Шредингера для связанных состояний частицы (Е, ( 0) в потенциале вида, приведенного на рис. 7, б (т.

е. У= О(х) при х) 0 и У= сс при х(0) в интегральной форме. Рвс, 7 2.25. Используя интегральную форму уравнения Шредингера, показать, что условие ~ х) У(х) ~дх- Я2т с является необходимьсм условием существования связанных состояний в потенциале 0(х) вида, приведенного на рис. 7,б: У= сс при х(0, 0 = 0(х) (при этом У(0 и 0(х)- О для х- сс) при х О. Применить полученный результат к потенциалам: а) (7= — (7с для х(а, С=О при х)а; б) С= = — аб(х — а), см. рис.

5, а,б, и сравнить с точным условием существования связанных состояний. 2.26. Найти функцию Грина Оа(х, х') частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а. Обсудить аналитические свойства бе как функции переменной Е. Показать, в частности, что она имеет полюсы, и установить связь положений этих полюсов в плоскости комплексной переменной Е со значениями энергетических уровней Е, частицы.

2.27. Рассмотреть потенциальные ямы различного вида (7(х), удовлетворяющие условиям: (7(х)~~0; (7(х)-эО при х-~~со; У (х) дх = а = сопИ. Какой конкретный вид имеет потенциальная' яма, в которой: а) энергия связи основного уровня )Еч) принимает максимальное значение; б) содержится наибольшее число состояний дискретного спектра? 5 3. Состояния непрерывного спектра. Прохождение через потенциальные барьеры 2.28. Для свободной частицы, движение которой ограничено непроницаемой стенкой (т. е. (7 = 0 при х» 0 и (I = оо при х( О, рис.

7, а), найти волновые функции стационарных состояний. Нормировать их на б-функцию по энергии. Убедиться в полноте полученной системы функций (на интервале 0 ( < х«оо), 2.29. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной стенки, изображенной на рис.

8. Рассмотреть предельные случаи Š— ~(7о и Е-+ оо. са.~ 1 .с а г рис. э пас. а 2.30. Определить коэффициенты отражения и прохождения частиц в случае 6-потенциала (7 = яб(х). Обсудить аналитические свойства амплитуд отраженной А(Е) и прошедшей В(Е) волн как функций комплексной переменной Е. Убедиться, что точки Е = 0 и Е = оо являются точками ветвления этих функций. Проведя в плоскости комплексной переменной Е разрез от точки Е = 0 вдоль вещественной полуоси Е»0, найти особенности функций А(Е) и В(Е) на первом, так называемом физическом, и других листах их римановой поверхности (физический лист фиксируется условием, что фаза точек Е на вещественной полуоси Е» 0 сверху равна нулю).

Показать, что такими особенностями являются полюсы, и установить связь между положениями полюсов и уровнями дискретного спектра. 30 2.31. Найти коэффициент прохождения частнцчерез прямоугольный потенциальный барьер, изображенный на рнс. 9. Как изменяется полученное выражение прн переходе к потенциальной яме ((Ус(0)7 2.32. Найти значения энергий, прн которых частицы не отражаются от потенциального барьера вида (! = а(б(х)+б(х — а)), рнс. 10. Рис, 10 Рис. !1 2,33.