Грашин А.Ф. Квантовая механика (Грашин А.Ф. Квантовая механика.djvu), страница 6

промежуточным базисным состояниям Ео Переход к вектору А можно осуществить, просто вычеркивая символ В в соотношении (6. 1): А = ~~.", ег (егА). (6.З) При этом получается разложение вектора А по трем базисным ортам. Поступив аналогично с (6.2), мы приходим к соотношению: ) А>=~! Ег> <Е;) А>. (6.4) Здесь появилась новая величина вида (6.5) аналогичная вектору А. Символ (6.5) обозначает квантовомеханический вектор состояния, или более кратко вектор соапояния. Его можно рассматривать как элемент некоторого абстрактного каантоволгеханичепкого пространства, которое в математике принято называть гильбертовым пространством'.

Из принципа суперпозиции вытекает, что в квантовомеханическом пространстве существуют операции сложения векторов и умножения вектора на любое комплексное число, так как в правой части равенства (6.4) стоит линейная комбинация вида ~ Е,>сх+! Е,>с,+... (6.6) Пространство, обладающее таким свойством, называется линейным. Вектор (6.5) является математической характеристикой физического состояния микрообъекта', заданного указанием полного набора переменных А. В отличие от вектора ~ А> амплитуда характеризует не только состояние наблюдаемого микрообъекта, но и способ наблюдения путем указания измеряемых переменных В.

Один и тот же вектор (6.5) можно описать несколькими амплитудами вероятности, которые отличаются индексом представления. Эта многозначность является следствием того, что над заданным микрообъектом можно сделать много наблюдений, отличающихся измеряемыми физическими переменными. Вводя вектор (6.5), мы отвлекаемся от конкретного способа рассмотрения микрообъекта с помощью конкретного измерительного прибора точно так же, как отвлекаемся от конкретной системы координат при рассмотрении символа А. Таким образом, вектор ~ А> отличается от амплитуды <Вг~ А> подобно тому, как вектор А отличается от про- з Действия с векторама в абстрактных пространствах изучает раздел математики, который иазыаается функциональным анализом.

з Строго говоря, состояние микрообъекта характеризуется ие вектором, а линией (лучом) в абстрактном пространстве 1 А> с, где с †произвольн число, так как умножение вектора иа число изменяет лишь иормировку и ие влияет иа физические результаты. <В ~=~<В ~ Е«> < Е;!.

(6.7) Следуя Дираку, величину (6.7) называют бра-вектором, а величину (6.5) — кет-вектором. Названия «бра» и «кет», введенные для обозначения векторов <В! и ~А>, являются фонетическим переводом английских слогов «Ьга» и «ске(», которые составляют слово Ьгаске1 (скобка) аналогично тому, как символы <В ~ и ~ А> составляют обозначение амплитуды вероятности <В ~ А>. Составление скобки <В ~ А> из бра- и кет-векторов имеет не только чисто формальный смысл, но может быть интерпретировано как переход.,к скалярному произведению двух векторов. Вектор (6.7) наряду с вектором (6.5) характеризует состояние микрообъекта, так как каждому кет-вектору ~ А> можно сопоставить бра-вектор < А ~ = ~~Р„< А ) Е«> <Е; ~ = ~~'„< Е; ~ А>» <Е, !.

$ (6.8) Сравнение формул (6.4) и (6.8) показывает, что коэффициенты разложения бра- и кет-векторов по базисным векторам в соответствующих пространствах отличаются друг от друга комплексным сопряжением. По этой причине пространство бра-векторов является как бы комплексно сопряженным пространству кет-векторов. Любое векторное соотношение в квантовой механике можно написать как в бра-пространстве, так и в кет-пространстве, а для составления скалярного произведения требуется два типа векторов. Умножение комплексно сопряженных векторов прн составлении скалярного произведения дает действительное число — норму <А)А> вектора ~А>. Учитывая, что в амплитуде <В ~ А> вектору <В~ соответствует измерение физических переменных с помощью прибора В, можно сопоставить вектору ~ А> измерение физических величин с помощью прибора А.

Прибор А приготовляет начальное состояние А, а прибор В а пал изир чет начальное состояние в терминах переменных В. Указанное соответствие можно проследить на рассмотренном в й 5 примере с фильтрами-анализаторами Штерна — Герлаха. Интерпретация амплитуды вероятности как скалярного произведения показывает, что соотношение (4.11) имеет смысл усло- 30 екции А;=(Ае») на определенную координатную ось.

Измерительный прибор В как бы выполняет функцию фиксированной системы отсчета при измерении физических характеристик заданного микрообъекта, а амплитуда <В;~ А> играет роль проекции вектора ~ А> на определенную базисную ось. Кроме вектора (6.5), в квантовой механике существует вектор другого типа, который можно получить вычеркиванием состоя. ния А в соотношении (6.2): вия ортонорлгированности базисных векторов ~ Аг>, так как оно аналогично соотношению ортонормированности з (еге„) =,Я еые,„= бг (6.9) л=! для базисных ортов ен В равенстве (6.9) символ е;„обозначает и-ю проекцию (-го орта.

Получим еще одно важное свойство базисных векторов ~ Аг>. Для этого заметим, что переход к правой части равенства (6.1) можно осуществить, вставляя в левую часть равенства единичную матрицу б„=~ег„ег . г Таблица ! Векторная алгебра Квантовая механика Вектор состояния ) А> илн <А ( Вектор А Амплитуда вероятности (волновая функция) <В ) А>=<А ) В>* Скалярное произведение (АВ) Принцип суперпозиция амплитуд <в) л>=~<в) ег> <ег) л> г Разложение вектора состояния по ба- зисным векторам в гильбертовом про- странстве нли Условие ортонормированности базисных ортов (е;еа) = бп, Условие ортонормированности базисных векторов <Е;) Ел>=б (Д Д) Соотношение полноты базисных век- торов Условие полноты базисных ортов ~ (ей (ейв=б„б г ~~~" ( Ег> <Ег ) = 1 г 3! Запись скалярного произведения через проекции векторов на базисные орты (ВА) = чп (Вег) (егА) г Разложение вектора по базисным ортам А= Ъ'ег (егА) г ) А>=~яр~) Е > <Ег) А> <А (=чу<А ) Ег> <Ег( г Соотношение (6.10) — зто условие полноты базиса (е„е„ез).

Оно означает, что любой вектор можно разложить по базисным ортам ео Подобный переход в равенстве (6.2) можно осуществить под- становкой ~=~(Е;> < Е/'1. (6.1 1) Величину (6.11) по аналогии с (6.10) нужно рассматривать как единичную матрицу в квантовомеханическом пространстве. Действительно, основным свойством единичной матрицы является возможность умножать ее слева и справа на любой вектор, получая в результате тот же вектор. Умножая равенство (6.11) слева на вектор <В~ или справа на вектор ~А>, мы получаем равенства (6.7) или (6.4), которые выражают указанное свойство.

Соотношение (6.11) нужно интерпретировать как условие полнопгы базисных векторов ~ Е/>. Оно математически выражает тот факт, что любой квантовомеханический вектор можно разложить по базисным векторам. С чисто формальной точки зрения оно означает, что вертикальную линию в символах Дирака можно заменить на сумму по произвольным базисным состояниям. Аналогию между векторной алгеброй и формализмом квантовой механики иллюстрирует таблица 1. Задачи к главе 1 1.1.

По заданной волновой функции Ч'(х, у, г) вычислить вероятность нахождения частицы в интервалах значений координаты г от гт до г и импульса рт от р, до р,. Ответ: р, г, и/= ~ /(х) /(рг ~ с(г(Ч/(х, р„, г)~', Ю р1 71 где волновая функция в х-, р„-, г-представлении имеет вид: Г -/р г/х Ч" (х, р„, г) =1 ' Ч" (х, у, г) г(у. )/ 2яя Ответ: е — /ргт/а (2яв)'/з !о о-и)/а /(зр = б (г — г,). <р) г,> = <г, ) р>* <г) г> =2', <г ( р> <р(г> = 32 1.2. Найти волновые функции в р- н г-представлениях для частицы, локализованной в точке ге.

1.3. найти волновую функцию в импульсном представлении ч'(р), которая соответствует волновому пакету прямоугольной формы /р,х/й а а 1/ а = е а — для — — ~х( —, 2 2' а Π— для )х) > —. 2 ' Ответ: (р — рэ) о Г -Фх/й /"2е э|и 2е Ч' (Р) = 1 Ч'( ) дх=~// )/ 2пй "' О Рэ 1.4. Найти нормировочный коэффициент /(/ и перейти в импульсное представление для волнового пакета гауссовской формы тр („) ь/р )ьл/8-ох' Решение. Из условия нормировки на единицу имеем: Ю Ф 1 = ~ )Чг(х)(эдх=(Ф!' ~ е т«х'/(х=~ Ф(' ~/ —.

Отсюда (2а)г/ь м Выбирая для простоты фазовый множитель 6=0, получаем для нормировочной постоянной Ф = (2а/тт)т/'. Вычисление волновой функции в импульсном представлении можно выполнить следующим образом: глх/ й е Чг (Р) = ~ — и Ч" (х) с(х = я-л. /Ч -а 1 — '-х) С(Р-Рйг/4ийг Е ~ таз / ( )/ 2пй =/1/.)/ 1(2а$е (л-") /ао"' 1.5. Найти нормировочный коэффициент д/ для волновой функции основного состояния атома водорода ф (г) =й/е-г/гв Ответ: 1 зз 2 Нг 388 1.6. Найти вероятность того, что импульс электрона в основном состоянии атома водорода заключен в интервале (р, р+з(р)г если известна волновая функция в координатном представлении (см. задачу 1.6). Р е ш е н и е. Волновая функция в импульсном представлении может быть записана так: .рг г " е грг(1 з т)г (р) — ~ зр (г) г(зг — ~ е й в г(зг ,) (2яв)Ы и'(2вгв) А Вычисление интеграла удобно выполнить в сферических коорди- натах с полярной осью, направленной по вектору р: .рг г з ! рг сот э г -г— э е " 'и зззг=2п ') гзг(г ') е " 'в г(созО= о Отсюда для плотности вероятности в импульсном представлении имеем: вгз йз р (р) =!зр (р) Г =, (й.