Грашин А.Ф. Квантовая механика (Грашин А.Ф. Квантовая механика.djvu), страница 4

Поэтому амплитуда вероятности может быть записана в виде произведения спиноеой части и пространственной части 'ел (г, а) = «я (г) я (а). (3.7) Спинор имеет простейший вид в том случае, когда оси кванто- вания гл и гв совпадают: / 1 1 1 хгл (ов) — ( О ) — для ол —— го~ 1 рл(ов)=( ) для пл= =(,1) (3. 14) Спиноры (3.14) являются базиеными векторами (о р т а м и), которые соответствуют двум базисным спиновым состояниям.

Формулы (3.14) вытекают из очевидного факта: если имеется электрон 1 с заданной проекцией ол = †„ на ось А, то при измерении В 1 с достоверностью будет обнаружена проекция ов= — на ту же в 2 самую ось квантования. Поставив рядом два столбца (3.14), получаем единичную спиновую матрицу: 'рл (пв) = ~6 1) . (3.15) Заметим, что при совпадении осей квантования в начальном и конечном измерениях можно не вводить для обозначения соответствующих спнновых переменных двух разных букв А и В, так как в этом случае нужно считать В =А.

Однако необходимо отличать разные ориентации спина в каждом измерении — для этого достаточно пронумеровать их индексами 1, й=1, 2. Пусть 1 1 значения 1=1 и 2 соответствуют значениям ав — — и ав — — — —, В 2 2 ' 1 1 а значения й = 1 и 2 — значениям ол = — и ол — — — †. Ампли- 2 ' туду (3.15) можно тогда записать следующим образом: ЕА <А; ! А > = <о; ! оа> = бм. (3. 16) В выражении (3.16) мы использовали обще- принятое обозначение для единичной мат- рицы (символа Кронекера): ~ 1 для (=й, 1 0 для 1чый. (3.17) 8 Иногда вместо двух значений индекса 1 = 1 и 2 мы будем употреблять также индексы «+» и « †», которые более наглядно 1 указывают на две ориентации спина о = +— 2 ! и а= — —. 2 Рис. 1.

Спиновый момент количества движения в двух координатных системах (векторная модель). Перейдем к более сложному случаю, когда ось квантования В повернута на угол 8 относительно оси гл (рис. 1). Амплитуда (3.9) задает теперь преобразование к другому базису в спиновом пространстве. Классическая физика с достоверностью предсказывает следующий результат для проекции спина на новую ось га.. пв"'м = о„..8= — ' 8. 2 (3.18) ов=~п ш(В) в (3.19) имел место классический результат (3.18). Учитывая дополнительно условие нормировки (3.13), получим систему двух уравнений для двух неизвестных вероятностей: < - (-')+-.

( — ')=' 2 (Т) ( Т) 2 з8' (3.20) Решение системы уравнений (3.20) имеет вид: и~„( — ) =соз —, и., ( — —,) — шп —. (3.21) Комплексную амплитуду вероятности можно найти из резуль- тата (3.21) лишь с точностью до неопределенных фаз: (Т~Т) 2' в ( 1 / 1 ) ~ а 1, 0 (3. 22) Здесь а и (1 — произвольные действительные числа. 1В Но в соответствии с законами квантовой механики проекция спина на любую ось квантования может иметь только значения 1 1 о= — или — —. По этой причине мы должны обнаружить одну 2 2' из возможных проекций на новую ось га с вероятностью (3.10) и (3.11). При измерении проекций спина у большого числа идентичных электронов мы переходим к условиям макроскопического опыта, когда должны выполняться законы классической физики.

Значит, надо потребовать, чтобы для среднего значения проекции в макроскопическом опыте 1 Совершенно аналогично для электрона в состоянии ал — — —— 2 получаем: пс- ( — ) =з1п' —, ~ — ~ — — ~~=ест з1п —; цс ( — — ~=сов —, 1 — — ~ — — )=е соз —. 2) 2'1 2~ 2/ (3. 23) й 4. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ И ЗАКОН КОМПОЗИЦИИ АМПЛИТУД В квантовой механике допускается возможность складывать амплитуды вероятности следующим образом: <В ( А,>с,+<В ! А,>с,+... (4.1) Здесь А„А„...

— разные численные значения переменных в полном наборе А, а с„ с„ ... †произвольн комплексные коэффициенты. Интерпретация суммы амплитуд (4.1) составляет содержание принципа еуперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: если мы имеем состояния движения, описываемые амплитудами вероятности <В ( А,>,<В ) А,>, то возможно некоторое новое состояние движения, которому соответствует амплитуда вероятности вида (4.1). Коэффициент ес в сумме (4.1) имеет смысл амплитуды вероятности обнаружить в новом состоянии с'-ое значение переменных А.

Если сумма (4.1) берется по всем возможным значениям переменных А, то она имеет смысл амплитуды вероятности нового состояния в представлении В. Вводя для обозначения нового состояния индекс Ф, можно записать сделанное утверждение в виде следующего равенства: ~ч.", <В ) Ас> <А, ( Ф> = <В ( Ф>. (4.2) с 19 Амплитуды (3.22), (3.23) в пределе при Π— О должны переходить в единичную матрицу (3.15). Поэтому нужно подставить значения фаз сс =- 6 = О. Матрица перехода к повернутой оси квантования имеет, таким образом, следующий вид: в . е <ов | ол>= (3. 24) есзз!п — соз — с 2 2/ Произвольные фазы у и р в (3.24) не влияют на физические результаты, следовательно, их можно выбрать только из дополнительных математических соображений. Отметим, что 2 х 2 матрица (3.24) является аналогом Зх3 матрицы преобразования вектора от одной системы координат к другой, повернутой относительно первой на угол О.

(4.3) Действительно, мы имеем одинаковые индексы А у двух разных матриц и проводим суммирование по всем возможным значениям этого индекса, получая в результате новую матрицу. Таким образом, суммирование в (4. 2) аналогично свертыванию матричного индекса А у двух матриц: Ч"ВА = <В ~ А> и Ч"АР = <А ~ Ф>. Отличие состоит, во-первых, в том, что квантовомеханический индекс является обычно совокупностью нескольких переменных и свертывание индекса эквивалентно суммированию сразу по нескольким переменным; в о-в т о р ы х, некоторые переменные принимают непрерывные значения, поэтому вместо суммы иногда необходимо вычислять интеграл. В результате свертывания индекса А амплитуда <А ~ф> нреобразуется в амплитуду <В ~ф>, т.

е. мы переходим к другому представлению волновой функции состояния ф. Рассмотрим соотношение (4.2) для бесспиновой частицы, когда в качестве наборов А и В выбраны импульсное и координатное представления: <г~р><р) ф>,,~Рр <г~ф> (4.4) Формула (4.4) осуществляет переход от волновой функции в импульсном представлении <р~ф> к волновой функции в координатном представлении <г ~ Ф>. Матрнцей перехода является плоская волна (2.3); поэтому соотношение (4.4) имеет вид фурье- преобразования функции <р)ф>: е'РЫ <р ! Ф> г(зр — <г~ ф> бь $)ч (4.5) Обратное фурье-преобразование может быть получено умножением равенства (4.5) на в-Ф~ма ,, =<г)р,>* (4. 6) и интегрированием по координатам.

Интеграл по координатам в левой части полученного соотношения можно заменить 6-функцией (2;7), после чего легко выполнить оставшееся интегрирова- 20 Суммирование в левой части равенства (4.2) аналогично суммированию в равенствах (1.9) и (2.10): оно проводится по спектру переменных в полном наборе А, т. е. по всем базисным состояниям в А-представлении (для непрерывных переменных подразумевается вычисление интеграла). С математической точки зрения соотношение (4.2) является законом композииии (правилом умножения) амплитуд вероятности. Обратим внимание на то, что закон композиции напоминает правило умножения матриц: ~л.~ 1ВАЧАФ 1ВФ.

А ние по импульсам. В результате мы получим соотношение для перехода от координатного представления к импульсному: <р,(Ф>= ~ <г(р,>*<г)Ф>Р'г. Сравнение с формулой (4.2) показывает, что <г(р>' = <р(г>. (4.8) В общем случае соотношение (4.8) можно записать в виде: <В(А>*=<А(В>. (4.9) Оно имеет смысл правила перестановки начальных и конечных условий в амплитуде вероятности, что аналогично обращению времени в классической механике. Учитывая свойство амплитуд (4.9), можно переписать соотношение (2.10) в следующей форме: ~ <А, ! В> <В ( А,> = 6 (А„А,). (4.10) в Левая часть (4.10) — это композиция амплитуд, поэтому в правой части этого равенства должна стоять амплитуда <А, ~ А,>.

Мы получаем, таким образом, важное свойство амплитуд перехода между двумя разными базисными состояниями в одном представлении: <А;(А >=6(Ао А„). (4. 11) Для случая непрерывных переменных в полном наборе А-(х, у,... ) правая часть равенства (4.11) — это многомерная б-функция, т. е. произведение 6-функций вида 6(х; — х„) 6 (у; — у„) .... (4.12) Соотношения (4.10) и (4.11) справедливы также и в случае дискретных переменных А, но символ 6(А,, А„) нужно тогда понимать как единичную матрицу )' 1 для Е=/г, с Ав)=бы='( 0 й 0 для (Ф-й.

Для спиновых переменных электрона, например, соотношение (4.11) совпадает с (3.16). В общем случае непрерывных и дискретных переменных в правой части равенств (4.10) и (4.11) стоит произведение, которое содержит по единичной матрице от каждой дискретной переменной и по 6-функции от каждой непрерывной переменной в полном наборе А. Так, для электрона символ 6(Ап А„) в координатном представлении имеет вид: 6 (Ао Ах) = 6(х; — хв) 6 (у; — уа) 6(г; — га) 6(оь ав). (4.14) Учитывая, что 6-функция Дирака 6(х; — х„) является обобщением единичной матрицы б,„на случай непрерывной переменной, символ 6(Ан: А ) можно рассматривать как многомерную единичную матрицу в пространстве переменных А.

Физический смысл принципа суперпозиции состоит в том, что любой переход Ф вЂ” В можно представить как сумму переходов типа Ф вЂ” А — В через промежуточные базисные состояния А, причем описание перехода осуществляется суперпозицией амплитуд вида (4.2). Вероятность перехода можно записать в виде: в (Ф вЂ” В) = ~" 1р (Ф вЂ” А1) 1е (А; В) + (4.15) + ~ <В ( А;> <А; ) Ф> <В ( Аа>* <Ав ) Ф>'. ~~в Первая сумма в (4.15) содержит произведение вероятностей перехода через определенное промежуточное состояние.

Во второй сумме имеется произведение амплитуд, соответствующих разным промежуточным состояниям, что указывает на своеобразную зависимость различных возможных путей перехода Ф- А- В друг от друга. Если бы переходы через различные промежуточные состояния А; были независимы друг от друга, то вероятность перехода Ф вЂ” В была бы равна сумме вероятностей для всех возможных путей перехода Ф вЂ” А — В. Наличие второго члена в (4.15) приводит к явлению интерференции в квантовой механике, которое аналогично интерференции электромагнитных волн.

Вспомним, что интерференция в электродинамике обусловлена тем, что интенсивность равна квадрату суммы амплитуд, соответствующих разным путям распространения электромагнитных волн. Учитывая это, можно сказать, что принцип суперпозиции в квантовой механике приводит к интерференции волн де Бройля, соответствующих разным возможностям движения микрочастицы. й 5. СУПЕРПОЗИЙИЯ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ АТОИА Для иллюстрации принципа суперпозиции рассмотрим несколько опытов с прибором, состоящим из трех последовательно соединенных магнитов Штерна — Герлаха (рнс. 2).