Рейф Ф. Статистическая физика (Рейф Ф. Статистическая физика.djvu), страница 79

В ЭТОМ Рис. П.г. Ресореиеиеиие Пуассона жлг кок функция л. Дии случая соответствуют сред- пределе пуассоновское распредеции яиячееияи и=г='ге и З. ление всегда применимо. П р о в е р к в т о г о, ч т о А=и. Выражение(26) для среднего значения и непосредственно следует нз рвспределепня Пуассона (23). Исггользун определение среднего зцзчення, мы имеем Ю Ло гг.=.~ Р(и)л=е-" ') —,и. =о =о Твк квк Р(л) пренебрежимо мало прн больших л, мы не сдезвем заметной ошибки, сслн распространим суммнроввнне до бесконечности.

Звметнв, что член с л=-В исчезает н положив а=л — 1, мы нзйдшг Ля " г,вег " )в Е.ю(л — 1)! Х г И 2~ а!= о=г в=о ь=о так квк последнии сумма предстввлнег собой Разложение экспоненцнвльной нкцин. Твкньг об азам, фу р л=Л. (27) *) Прп 6ОЛЬШИХ Дг Н Хвог раСПрЕдЕЛЕНИЕ ПУВССОНВ анахитов К рзевр Гаусса ддн значений л, не слишком далеких от Х.

П.З. Величина флуктуаций энергии Рассмотрим две макроскопические системы, А н А', находящиеся в термическом равновесии друг с другом. Используем замечания, сделанные в п. 4.1, и исследуем более подробно вероятность Р(Е) того, что энергия системы А лежит в пределах от Е до Е+ЬЕ. В частности, мы должны будем рассмотреть поведение Р(Е) вблизи значения энергии Е=Е, где Р(Е) имеет максимум. С этой целью исследуем медленно меняюнтийся логарифм Р(Е), определенный формулой (4.6): !п Р(Е) = !и С+ )п Й(Е)+ !п П'(Е'). (28) Разложим это выражение в ряд Тейлора в окрестности Е.

Обозначая разность энергий через з=Š— Е, (29) мы получим следующее разложение !п П (Е) в ряд Тейлора: 1~ П ~Е) = 1и "- (Е) ~ ~ де 1е т 2 '( де' Гд !по 1, ! Гд- '!и 01 (30) Здесь квадратные скобки указывают на то, что производные взяты в точке Е=Е. Члены, содержащие третью и бблыние степени е, в разложении опушены. Вводч обозначения (31) (32) мы можем переписать выражение (30) в простом виде: !п П (Е) = !п () (Е) +()е —, уе'-. (33) Знак минус в определении (32) введен для того, чтобы параметр ) был положительным 1в соответствии с формулой (4.32)1.

Аналогичное разложение в ряд Тейлора можно написать для !и Ы'(Е'), где Е' = Еч — Е. Мы имеем Е' — Е = — (Š— Е) = — а, и разложение по степеням а дает ! и П' (Е') =! и й' (Е ) + и' ( — е) — — у' ( — е)'-', (34) где [ да' 1 328 определены аналогично (31) и (32) через производные в точке Е'=- =Е'. Складывая (33) и (34), мы получаем ! п (Я (Е) ()' (Е)) = !п (() (Е) Я' (Е )) + (р — р') в — (у+ у) е'.

(35) При значении Š— — Е, где Р(Е)=СНЕ)П'(Е') имеет максимум, из (4.8) следует, что ()=-(1', поэтому член„линейный по в, исчезает, как это и должно быть. Теперь (28) принимает вид )п Р (Е) = )п Р (Е) — — у,в-", илн (36) где з) (37) 70 = — 7 + 7 ° Из (36) следует, что для того, чтобы вероятность Р(Е) имела максимум (а не минимум) при Е=Е, величина у„должна быть положительной.

Действительно„из (36) сразу следует, что вероятность Р(Е) пренебрежимо мала по сравнению со своим значением в максимуме, если т/зу,(Š— Е)з))1, т. е. если !Š— Е!~)уа и . Другими словами, весьма мало вероятно, чтобы энергия Е оказалась за пределами интервала Е-~ХЕ, где а') ХЕ = у„-'и. (38) Порядок величины АЕ легко оиенить, если воспользоваться определением (32) для у и приближенным выражением (3.38) для П(Е). Мы можем, таким образом, написать для любой обычной системы, энергия основного состояния которой равна Е,: !п Р Г (Š— Еа) + сопз1.

Из определений (31) и (32) мы получаем для Е=Е=Е (39) ( а) *) Заметим, что наши аргументы аналогичны тем, которые были использованы в приложении ПЛ, н что (36) является обычным гауссовским распределением, **) Выражение(36) зависит только от абсолютногозначения !Š— Е! и симметрично относительно значения Е. Поэтому среднее значение энергии равно Е, т.

е. Е=Е. Тот же результат следует нз формулы (П.!7) для любого гауссовского распределения. Аналогично, из (П.!7) следует, что ЬЕ в (36) равно стандартному отклонению энергии Е Из последнего выражения следует, что у — величина положительная. Из него также следует, что при данном значении р, общем для всех находящихся в равновесии друг с другом систем, наименьшая система (т. е.

система с наименьшим числом степеней свободы) имеет наибольшусо величину у. Поэтому величина у, в (Зс) определяется главным образом наименьшей из двух систем. Допустим, например, что система А значительно меньше А', так что у>))э' н у„жу.

Тогда из (38) и (39) следует ллŠŠ— Ео У! (40) В случае макроскопических систем ) — весьма большое число, и из (40) следует, что относительная величина флуктуаций энергии ЛЕ)(Š— Ео) чрезвычайно мала. Этот результат весьма подробно обсуждался в п. 4.1, где (4.10) следует из (40). П.4. Столкновения молекул и давление газа разреженный газ, находящийся в равновесии, и молекул, ударяющихся о малую поверхность йА аправим ось г перпендикулярно к этой поверхности, наружу из сосуда, как это показано на рис. П.З. Сосредоточим наше г внимание иа молекулах, расположен- 1 ных вблизи стенки и нлсеюсцих скорости в интервале от ч до ч+йч. За бес- йА конечно малое время й( этн люлекулы смешаются на ч йд Поэтому втечение такого интервала времени все рассматриваемые молекулы, находящиеся в бесконечно малом цилиндре с основанием с1А и длиной ч й(, ударят о стенку; молекулы, лежащие за пределами цилиндра, до стенки не дойдут ').

Если 0 — угол между ч и осью г, то объем цилиндра равен йА ой( соз 0 =йАовй(, Рассмотрим вычислим число стенки сосуда. Н Рис. СС.З. слоэлновенне молекул. скорость котормк л«жнт между и н ли~ли, с элементом поверхности НЛ стеиссй. (Заметьте, кто вмсотв пилиндра стремсмсн к нулю. если лс-оз где о,= — и соз 0 — г-коллпонента скорости ч. Среднее число молекул в цилиндре, скорости которых лежат между ч и ч+йч, равно () (ч) й"ч~ '(йАввй(~), (41) *) Ллину цилиндра ощ можно считать произвольно малой — зто позволяет рассматривать лишь молекулы, находящиеся в непосредственной близости от стенки. Если величину и Л сделать много меньше средней длины свободного пробега, то лсожко не приннлсать во внимание столкновения лсежлу молекулалси; действительно, любая молекула, находящаяся в цилиндре н движущаяся к стенке, не будет отнлонена из-за столкновения с другой молекулой и ударит о стенку.

где )(ч)срч — среднее число молекул в единице объема со скорос- тями в интервале от ч до ч+с(ч. Выражение (41) дает число молекул, ударяющих в поверхность 0А за время с(1, поэтому величина о7(ч) срч= — среднее число молекул со скоростями от ч до ч+дч, ударяющих в единичную по- (42) верхность стенки за единицу времени, получается делением (41) на дА и с(г. Таким образом, (43) Величина !(ч) задается максвелловским распределением (6.21). Чтобы, получить лолног среднее число молекул Я„ударяющих о единичную поверхность стенки за единицу времени, мы должны проинтегрировать выражение (42) по всем возможным скоростям молекул, ударяющих о стенку.

Таким образом, нам следует интегрировать по всем положительным значениям о„так как только при о, )О молекулы движутся ло направлению к стенке и ударяют о нее. Итак, а) о7, = ~ ~(ч) о, сРч. (44) аа) О ! а) После интегрирования по всем углам (44) принимает внд яе= — пе, где о м — среднее число молекул в единице объема, а о — нх средняя скорость. зз! Формула (43) позволяет вычислить среднюю силу, с которой молекулы газа действуют иа единицу поверхносги (т. е.

давление). Для этого следует повторить рассуждения, приведенные в п. 1.6. Молекула со скоростью ч имеет г-составляющую количества движения, равную то,. Поэтому средняя г-компонента импульса, передаваемая за единицу времени единице поверхности стенки всеми молекулами, движущимися к стенке, равна произведению среднего числа молекул 2(ч) срч на то„просуммированному повеем молекулам, движущимся к стенке. Таким образом, средний импульс равен оТ(ч) сРч (то,)= — т ~ г(ч) о,'сръ. (45) ю~о е,>о Если газ находится в равновесии, в нем нег выделенного направления и среднее значение г-компоненты импульса молекул, отраженных от стенки, равно н противоположно среднему значению импульса молекул, ударяющих о стенку.

Поэтому полное среднее значение г-компоненты импульса, передаваемой единице поверхности стенки за единицу времени, равно удвоенной величине (45). В ссютветствии со вторым законом Ньютона средняя сила, действующая на единицу плошади (давление), равна р =- 2т ~ ~ (ч) о', с1ач. (46) ег>0 Но )(ч) зависит только ог 1ч(, поэтому подынтегральные выражения ~ля +в, и — и, совпадают, и значение интеграла (46) равно половине такого же интеграла, распространенного на все без исключения значения и,. Таким образом, имеем р=т ) )'(и) и,'-' Й'»=-тпо', (47) где — 1 Р а,".= — ) ~ (т) и,". Фт, п,~ по определению, представляет собой среднее значение с3.

Из симметрии следует, что а„. = О~ = с» и, таким образом, Р = ~„'-' —,' о„'-'-1- о,- = З~,-". Выражение (47) принимает внд (48) — 1 где еы)=- — та' равно средней кинетической энергии молекулы. Фор- 2 мула (48) отличается от результата (1.19), полученного при нашем раннем и упрощенном рассмотрении, тем, что она содержит У вместо о'. Из теоремы о равномерном распределении энергии следует, — 3 что е"'= — йТ, поэтому (48) дает 2 р=ай7, (49) что является знакомым нам уравнением состояния идеального газа.

й(АТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ М.1. Обозначения суммирования Обозначил! через х переменную, которая принимает дискретные значения х„хл,;... х„. Тогда для суммы ««« х, +х„+... +х,„-== ~",х! (!) У=! мы применяем сокрашенпе, показанное в правой части равенства (!). Выбор индекса ! является произвольным; л!ы можем с равным успехом взять другой индекс, например, /г, и написать ««« .~, х; == ~ х,.

Этими обозначениями легко воспользоваться и для двойного суммирования. Предположим, что у — переменная, прнннмаюплая дискретные значения у„у«,..., у„. Сул!ма произведений хлу, по всем возможным значениям х и у равна ллу =- «л« «=! !=1 =-х, (у, +у,+...