Рейф Ф. Статистическая физика (Рейф Ф. Статистическая физика.djvu), страница 76

чю (58) Чтобы вычислить среднее значение и„сначала усредним (58) по вселг возможным скоростям о, (О) частицы немедленно после столкновения, а затем произведем усреднение по всем временам 1 пролета частицы до следующего столкновения. Мы допускаем, что результатом каждого столкновения является возвращение частицы в равновесное состояние; таким образом, после столкновения все направления скорости о равновероятны и о, (О) =О, независимо от истории поведения частицы до этого столкновения"*).

Среднее значение времени между двумя последовательными столкновениями равно, по определению, среднему времени свободного пробега т, и усредненное значение (58) равно (59) *) Случай электронов в металле характерен некоторыми особенностями, так как электроны не обладают максзеаловским распределением скоростей (это было показано в конце п.

6.3). Оии подчиняются так называемому разор»дел»нию Ф»рлш — Дираап, которое следует из строгого квантавомеханического рассмотрения электронного газа. **) Можно ожидать, что это приближение окажется очень хорошим, если заряженная частица испытывает столкновение с частицами, значительно большей массы. В противнол«случае после каждого столкновения у заряженной частицы остается некоторая «память» о компоненте скорости, которой она обладалз до этого столкновения.

Мы пренебрегаем всеми поправками, связанными с такими аффектами «памяти». 316 Выражение (57) для плотности гока принимает вид 1, =- п„8, где (60) (61) Мы получили, что 1, действительно пропорционально 8, как сз!едует из (56). Формула (6!) дает значение электрической проводимости, выраженное через молекулярные параметры, характеризующие газ. Формула (61) имеет общее значение, сохраняющееся даже для электронов в мегалле. Если проводимость создается иеболышгм числом находящихся в газе ионов, то столкновения, ограничивающие свободное движение ионов, происходят главным образом с нейтральныьш молекулемн газа *).

Обозначим через и полное поперечное сечение рассеяния пони молекулой и предположим, что в единице объема находится а, молекул с массой пгт))т. В этом случае тепловая скорость ионов будет намного больше тепловой скорости молекул и среднее значение относительной скорости нона — молекулы будет приблизительно равна средней скорости иона и. Поэтому среднее время свободного пробега иона согласно (4) будет равно ! п,оо Если воспользоваться выражением (23) для и, то пз (61) следуетт лба ! лдз (бз) г, .

г Зло р Сводка определений *) Лах~е если столкновения между двумв одинаковымн ионами происходнлн бы часто, они не повлияли бы на электрическую проводимость. Причина заключается в том, что в каждом таком столкновении сохраняется полный импульс сталкивающихся ионов. Если ноны идентичны, то их массы равны и векторная сумма скоростей обоих ионов не изменяется от столкновения.

Так как оба иона несут одинаковые заряды. столкновение не меняет общего тока, переносимого огюими ионами. Среднее врал~я свободного пробега. Среднее время движения молекулы мезкзу двумя столкновениями. Сргдиял длина свободного пробега. Среднее расстояние между двумя столкновениями молекулы. Полное поперечное сечение рассеяния. Эффективная величина площади, определяющая вероятность того, что молекула, сталкивающаяся с другой молекулой, будет рассеяна. Напряжение. Сила, приходящаяся на единиду площади.

Нязюмщь. Коэффициент ввзкости определяегся равенством ди„ Р гх— которое связывает напряжение Р,„в движущейся среде с гралпентоы скорости потока ил. Теп,юпроаодность. Коэффициент теплапровадности и определяется равенство«ь дТ О =- — н —, дг ' которое связывает плотность потока тепла Я«с градиенточ температуры Т. Са»гадпачрузия.

Коэффициент самоднфф) зни В определяется равенство«в /«.= — В- — г, дг ' которое связывает плотность потока /«ыеченых частиц с градпсцтач их концентрации и,. Элентролрвводнагпгь. Коэффициент элсктроправодности а« определяется равенством 1«-= ««8' которое связывает плотность тока 1«с величиной электрического поля ф» (т, е с градиентом электрического потенциала). Основные формулы Среди я я дл н на пробега ! !~в К 2яа Задачи 8.1.

Бросание лонг«пи. Рассмотрич бросание «юцсты, для которой верояг- 1 ность выпасть любой нз сторон равна — . 2 а) '1ечу равно среднее число бросаний ыонеты до ближайшего выпадения «решки»? б) Чему равно это среднее число бросаний после последнего появления «решки»? в) Предположи»ь что в предыдущеч бросании выпала «решка». Как эта информация изменяет ответ на вопрос а)» 8.2. Аналогия между рассуждениями а врез«ни пробега и пргд~идугцей л«дачей. Рассмотрим газ, для которого среднее время свобод»юга пробега молок« лы равно с.

Будем рассматринать определенную молекулу в некоторый момент вреыенн. а) Чеыу раааа среднее вреыя дви- жения этой молекулы до ближайшего столкновения? б) Чему равно среднее время движения этой молекулы после последнего столкновения? "с в) Допустим, что молекула талька что ИСпьггала последнее столкновеннЕ, !'вс а ! ! !'в«Ф«'з в ыв«> частя с«вэветв ог Как эта ни«)юрмация изменит ответ на впеиевв лвв пав«то!' »«»лв ш лвю«вввв вввв вопрос а)? 8.3. Среднее время прибеги и грела л«ежду сглалкнавенилмп. Иаи с зарядом д и массой т находится в газе и испьпывает действие электрического поля, направленного по оси г. Рассмотрим для упрощения следуюптпо модель; после столкновения ион начинает движение вдоль оси г с начальной нулевой скоростью и движется с ускорением а=ею»1и в течение определенного времени 1,.

Следзющеесталкновение приводит к остановке иона и процесс ускорения пачннаегся сначала. На рис. 8. П показана зависимость скорости иона от времени для нашей модели. 817 а) Расслютрнч ансамбль таних ионов в произвольный момент времени. Чему равно среднее время т до следующего столкновения иона? Выразите ответ через время Гг между последовательными столкновениями. б) Чему равно среднее прел~я, протекшее от предыдущего сталнновения? Выразите ответ через г, н) Чему равна максимальная скорость, приобретаемая ионом? Чел1у равна его среднян скорость о? Выразите ответ через Г, и через среднее время т [вопрос а)(. Сравните ваш ответ с (59). г) Чему равно расстояние В, которое пон проходит за вречя Р Определите срсдк он скорость иона а как В/(,.

Чему равна в этом сл) чае величина о? Выра- зите ответ через (, и через т. Сравните результат с Гд ответом в). 8.4. Лидгниг капель, опыт А(ил,лакана. Опыт Миллнкена, в котором впервые был измерен заряд электрона, закточзется н сравнении электрнческой силы, действующей на малую заряженную каплю масла, с силой тяжести. Этот опыт требует определения массы капли, что можно сделать, наблюдая падение капли (с постоянной скоростью) в условиях, когда сила тяжести скомпенсироаанз силой тренвя, действующей на каплю благодаря вязкости окружающего воздухз, (Воз«? кух находится при атмосферном давлении, так чта средний пробег молекул воздуха во иного раз лленьше уу уигг, диаметра капли.) Конечная (постоянная) скорость падении масляной капли обратно пропорциональна вязкости воздуха.

Пусть температура возкула возрастает. ыудет ли при этом конечная скорость капли возрастать, уменьшаться нли оставаться постоянной? Что ~роизойдет при возрастании атмосферного давления? 8.5. Вигказимюир (измгрилтль вязкости) г арии(и- югцимгя цилиндраль Необходимо измерить коэффициент ::, г?риф~ вязкости г) воздуха прн комнатной температуре. Лля этого предполагалот использовать вискозиметр, состоящий из неподвижного внутреннего цилиндра (радилс ??, длина Е), поддерживаемого закручивающейся нитью, н внешнего цилиндра (его радиус ??+6), медленно вращаюшегося с угловой скоростью га. Узкая область между цилиндрами толщиной 6(6((??) заполнена воздухом, и л~ы измернеы момент кру ~енилл С, действующий на внутренний цилиндр (ряс.

8.12). а) Выразите момент кручения, действуюший нэ гвс. з.лз. пвскчлячетэ е вн)трепиий цилиндр, через Ч и параметры установки. ирм ымнлнллея квзнняраи. б) Пусть для созданвя противодействующего момента используется кварцевая нить. Чтобы определить диаметр подходящей ннтв. носпользуемся известным значением коэффициевта вязкости н вычислим люмент кручения, возникаюший и приборе. Зададимся следуюшими параметрами прибора: )?=2 см, 6=0,1 см, 1. = 15 гм и ы=2п рид/ггл.

8.8. Сценки коэффициента вязкости газоиоразного оргона. Оцените величину коэффициента вязкости л) аргона (Аг) при 25'С и атмосферном давлении. Примите нля определения размеров атома аргона, что при низкой температуре они являются твердыми шарами, касаюшил~ися друг друга в твердом азоте. Изучение дифракцин рентгеновских лучей показало, что твердый азот обладает гранецентрированной кристаллической решеткой.