Рейф Ф. Статистическая физика (Рейф Ф. Статистическая физика.djvu), страница 74

Т >Т (( <д Нас будет интересовать следующая величина: Рве и б. Вещество, наводни!с са в тепловом «оптанте с двуми т~лами. абеолютнан температура которые равна Т, и Тв. Если Т >Ть тепло тенет н йапраалении — т, от тела с большей темперш'трой и телу с меньшей температурой, таки» обрааон, нели»вне Ча отрийательна. Я, =..= количество тепла, перенесенное за единицу времени через единицу поверхности в направлении +сг. Величина 9, называется плотностью попвка тепла в направлении оси г. Если температура однородна, 9, О.

В противном случае рассуждения,,аналогичные тем, которые мы провели при рассмотрении вязкости, приводят к тому, что величина 1~, должна быть (в хорошем приближении) пропорциональна градиенту температуры ЬТ(дг, Для сравнения укажем, что измеренное значение коэффициента вязкости т) у азота Хе при комнатной температуре 300' К равно 1,78 1О 4 г с,и ' сек Подставляя (23) в (22), мы получим приближенное выражение для коэффициента вязкости если этот градиент не слишком велик. Мы имеем, таким образом, дТ сг,= — х —. да (29) Величина х называется коэффицаентсж теплаправаднасти рассматриваемого вещества.

Так как тепло течет от областей с высокой температурой к области с более низкой температурой, то (),(О, если дТ)дг= О. Для того чтобы величина х была положительной, в (29) стоит знак минус. Выражение (29) справедливо практически во всех газах, жидкостях и однородных твердых телах. Вычисление коэффициента тегглопрааадности разреженного газа. В простом случае разреженного газа коэффициент теплопроводности может быть вычислен с помощью того же упрощенного молекулярного рассмотрения, использованного нами при изучении вязкости газа. Рассмотрим в газе плоскость г — ысопз(, где Т=Т(г).

Механизм переноса тепла заключается в том, что молекулы газа пересека7от плоскость сверху и снизу. Если дТ)(дг .О, то средняя энергия в(Т) молекул, приходящих снизу, меньше чем а(Т) у гиолекул. пересекающих плоскость сверху. В резуль- я Т(г+() тате возникнет перенос энергии из области над плоскостью в область под ней. Как н при расчете вязкости, мы можем написать, что за единицу времени через единицу поверхности сверху вниз пройдет е( +7) р йпр г- — — — ' — — т — —— Т(и () й л-7 | средняя энергия, перенесенная в единицу1 времени через единицу поверхности в = †, ггп в (г — 7).

(30) направлении снизу вверх, ь ) Теплопроводность газа изучается нами в стационарных условиях, когда коивективиое движение отсутствует. Поэтому поток молекул, пересекающих поверхность с одного каправления, равен потоку молекул с противоположного направления, и в нашем элементарном рассмотрении мы можем считать, что произведение пр постоянно. Таким образом, мы пренебрегаем небольшим различиелт з значениях и и р над и под плоскостью, вызванным существованием градиента гемпературы. 307 около 176 пп молекул *). Здесь и— ЧИСЛО МОЛЕКул В ЕДИИИ!Щ ОбЪЮГа Ркс.

8.7. Молекулы, гсрсссккюж с олоскость, нсрсноскт энергию. вблизи плоскости г, а п — средняя скорость молекул. Молекулы, пересекаю,цие плоскость г снизу, испытали последнее столкновение в среднем на расстоянии ( от плоскости. Но температура Т зависит от г, а средняя энергия и от температуры, поэтому средняя энергия молекул в зависит от координаты г, т. е. ь=в(г). Молекулы, пересекающие плоскость г снизу, переносят среднюю энергию е(г — !), так как мы считаем, что последнее столкновение имело координату г — Д Таким образом, Аналогично, рассматривая молекулы, приходящие сверху, где пос- леднему столкновению отвечает координата (г+1), мы имеем: средняя энергия, перенесенная в единицу1 времени через единицу поверхности в ~ =- — поз(г+1).

(31) направлении сверху вниз, б Вычитая (31) из (30), мы получаеь! результирующий поток энергии !',1, через поверхность г--=сопя( в направлении снизу вверх: 4~, =- — „, !г о ~ з (г — 1) — з (г -1. 1) ~ = = —.по ~~а (г) — ! — Я) — ) а (г)+1 — )~, ! — Г дз1 ! — дя дТ =- —. п о ~ — 21 — ' ~ = — —, и о( —.; —, д7 ~ 3 дт дг (32) Величина с означает теплоемкость (при постоянном объел!е), отнесенную к одной молекуле.

Теперь (32) принимает следующий вид: ет !! =:= — к —, дг ' (34) где к =- — н!с/. (35) Из (34) следует, что Я, пропорционально градиенту температуры (см. (29)), а (35) выражает коэффициент теплопроаодности к газа через основные молекулярные величины. Обсуждение. Коэффициент ')я в формуле (35) получен в результате приближенных вычислений и не заслуживает большого доверия. Формула (35) дает, однако, правильную зависимость к от всех параметров, имеющих существенное значение.

Так как (сс п ', то плотность опять исчезает, Воспользовавшись (21), мы получаем выражение для к: ! е зу з (35) Таким образом, при заданной температуре теплопроводность не зависит от давления газа. Этот результат имеет то же обьяснение, что и аналогичное свойство вязкьсти. Он справедлив в области давлений, где средняя длина свободного пробега молекулы удовлетворяет так как з зависит от г через температуру Т. Введем обозначение: с= — —. де дТ ' (33) условию с(((1-Я/. (здесь д — диаметр молекулы и 1, — наименьший размер сосуда).

Для одноатомного газа из теоремы о равномерном распределении з следует а = — 'хТ, поэтому теплоемкость, отнесенная к одной моле- 2 з куле, равна с=-- — Й. Применим выражение (36) к молекулам, которые ведут себя подобно твердым шарам. Так как оссТ".-, а с от температуры пе зависит, мы получаем, что коэффициент теплопроводности х пропоршюнален корню из абсолютной температуры (37) хсе Т"'. В действительности о несколько меняется с температурой.

Мы обсуждали этот вопрос в предыдущем параграфе при рассмотрении вязкости. В результате х меняется с температурой более быстро, чем , зто следует из (37). С помощью (36) легко оценить порядок величины коэффициента теплопроводности х для газа при комнатной температуре. Заметим, что измеренное на опыте значение коэффициента теплопроводностн аргона при 273 К равно х==1,65 10-' ат см 'град '. Используя выражение (23) для о, мы получим из (35) следующее приближенное выражение для коэффициента теплопроводности: х =. =.

— т; Гкт (38) рй а 1' м Сравнивая выражения (20) и (35) для коэффициентов вязкости ~) и теплопроводностп х, мы видим, что их отношение равно (39) и т После умножения числителя и знаменателя (39) на число Авогадро Ф, мы получаем Ч где ск=й,с — малярная теплоемкость газа при постоянном объеме, а р= Л' т — молекулярный вес газа. Таким образом, между двумя коэффициентами переноса х и т( существует весьма простое соотношение, которое легко проверить на опыте.

Такая проверка показала, что отношение (х/ц)(с/т) ' лежит в пределах 1,3 — 2,5, но не равно единипе, как это следует из (39). Имея в виду, что наши оденки коэффициентов т( и х были получены с помощью весьма приближенных методов, мы можем быть вполне удовлетворены такой степенью согласия между теорией и экспериментом. Действительно, часть обнаруженного расхождения объясняется тем, что в своих рассуждениях мы не принимали во внимание распределения молекул по скоростям, а оперировалп со средними величинами. В действитель- ности быстрые молекулы пересекают плоскость чаще, чем медленные.

В случае теплопроводности эти быстрые молекулы переносят больше кинетической энергии, но в случае вязкости с ними не связан перенос большего количества х-компоненты импульса. Поэтому отношение к/Ч действительно должно быть несколько больше, чем следуег из (39). 8.4. Самодиффузия и перенос молекул Определение коэффиииента сал~одиффузии. Рассмо~рим вещество, состоящее из одинаковых молекул, ио предположим, что часть этих молекул каким-то образом помечена. Например, ядра меченых молекул могут быть радиоактивными. Пусть п,— числотаких молекул в единице объема. В состоянии равновесия меченые молекулы равномерно распределены по всему доступному объему и, таким образом, и, не зависит от координат. Допустим, однако, что распределение ие является однородным н и, зависит от координат. Пусть и, зависит только от координаты г, так что п,=.п,(г).

(При этом предполагается, что полное число и молекул в единице объема остаегся постоянным, так что результирующее перемещение молекул вещества отсутствует.) Такое состояние не является равновесным. Меченые молекулы будут перемешаться в сосуде таким образом, чтобы достичь равновесного состояния, когда онн будут равномерно распределены по всему объему. Рассмотрим плоскость г=сопз( и обозначим илогпноспаь потока меченых молекул через /,. Под величиной э' мы понимаем следующее: .),=среднее число меченых молекул, пересекающих единицу плоШади за единицу времени в направлении + г (40) Если п, не зависит.