Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа.djvu), страница 68

Введя те же обозначения, что и в задаче 6.15: е(т Д) -„1. У22тн ° чФ= — —,. 11=А[ у м' 1 е приведем уравнение к виду [Ч1н он (зз) + фрез (зз)1 ехр'[(нз — к)!Л) т(~ )е-ч— Ут( (к) — Ч (й) ВЕЛИЧИНЫ ф„.„($) И фоз,(Е) СВяЗаНЫ МЕжду СОбОй. ИЗМЕНЕНИЕ числа перезарядившихся йонов на расстоянии т[х пропорционально числу образовавшихся ионов, именно Йх Е[фрзз = 1Рнон (Х) ) Это Дает 1Р „з($) = — )фнонЯ')т(к'. С помошью этого соотношениЯ о преобразуем уравнение к виду ('Ы [ к гттЬ ( (Л,т ~ к — ехр ( — ) [ фнон(б') ~(б' )е-ч.- е х „[3. Уч (к) — ч (к) о Решая это уравнение (уравнение Абеля) таким же способом, как и в задаче 6.15, получим ч к — ехр ~ — т)'+ (' ) ~ = е тх ~ ф„,„($) т(е.

о о Отсюда для плотности тока в точке х находим к 1 — — ') ф„,„д) б$ =- — ~ ч ехр ~ — Ч'+ о о Поскольку на электроде плотность тока максимальна, то здесь выполняется условие т(1[т[11 ---О. Это дает следующее уравнение для величины Ч,= т[(1): ч (1 — „—,) ехр ~ — Ч'+ — 1 Учо — ч $2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ СТОЛБ РАЗРЯДА 367 Огсюда *) для плотности тока на электродах получаем . ехр ) — — ) . ехр — т) — — +— В пределе Х оо все полученные результаты совпадают с данными задачи 6.15.

Определим плотность тока на электродах с учетом первого члена разложения по малому параметру 1/). Имеем с где )упр' т),— плотность тока при отсутствии резонансной перезарядки, Ч,= 0,855. Для вычисления последнего интеграла необходимо найти зависимость ь) (х). Используем простейшее выражение для этой величины, дающее правильный ход для этой зависимонч сти. Именно, учтем, что при х=-0 имеем т)=0 и — „" =О, а при х=-1 т) =- Ч, и — = оо.

Зти условия выполняются, если связь межй~ а)х ду искомыми величинами задать в виде Л вЂ” э)а~а ух 12 — '~'+ 1 =1. Чо ',17 В этом случае имеем для безразмерного потенциала на электро- дах т)„ =- 0,855 и для плотности тока на электродах Вычисляя искомый интеграл,иполучим У,„= 0,3441' (1 — 1/).).

Как видно, наличие резонансной перезарядки приводит к умень- шению плотности тока на электродах. Задача 6.19. Определить поток заряженных частиц на стенки цилиндрической разрядной трубки и изменение потенциала от оси трубки до ее стенок в положительном столбе разряда низкого давления. ") При этом мы используем выражение дли производной д) "11ч')нч' Г а~' " +116) 368 ГЛ. Ь. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВОГО РАЗРЯДА Будем считать, что частота столкновения электронов друг с другом значительно превышает частоту ухода заряженных частиц на стенки. Поэтому электроны находятся в термодииамическом равновесии и их плотность на расстоянии р от оси трубки определяется законом Больцмана й( /(/ ( — е((/а — (/ (()1) е(р) = аехр'( у е где (/е — потенциал на оси трубки, Т,— температура электронов, /т'е †плотнос электРонов на оси тРУбки.

Плотность ионов удовлетворяет соотношению (температура электронов много больше температуры атомов) Р ф (г) 2лг ег )' 2е((/ (г) — (/ (р)1/М где ф(г) — частота образования ионов, приходящихся на единицу объема. Приравнивая плотности электронов и ионов (плазма положительного столба квазинейтральна), получаем ( — е 1(/е — (/ (р)1( Г ф (г) 2лг Нг лр,ехр ~ Те ) У 2е 1(/ (г) — (/ (р)1/М Введем новые переменные: т) (р) —. — е [(/ (р) — (/Д|Т„ се=Л/,'рг2Т,/М. В этих переменных уравнение для потенциала самосогласованного поля принимает вид Р Серс-Ч(И вЂ” ( ф(г) гее (6. 17) Г г Нас интересует ток электронов на стенки трубки, который приходится на единицу длины трубки: е с = ~ ср (г) 2лг с(г, где г,— радиус трубки.

При этом плотность тока на стенки разряднои трубки равна =,—,' =~~()+ (6.18) о Умножим обе части уравнения (6.18) на величину '1г) ()7) — е)(р)) '/'с(с)/с(р и проинтегрируем по йр в пределах от О до Л. Так как нч „, Г'()я — ч)(ч — ч ) 370 ГЛ. О. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВОГО РАЗРЯДА Задача 6.20. Найти функцию "распределения ионов по скоростям в цилиндрической разрядной трубке в продольном направлении. Считать, что напряженность электрического поля вдоль оси трубки Е не зависит от сечения и частота образования заряженных частиц в каждой точке пропорциональна плотности электронов в этой точке. Скорость иона в продольном направлении равна еЕ(!М, где ( †вре с момента образования иона.

Время, за которое ион, образовавшийся в точке г, доходит до точки г„ равно т т (' М т/о (' т)о — т!' т(Ч '! 2Т Г ! Чо )Гт!' (Ч вЂ” т!') (2т)о — т!') (' с~р о т Время, за которое ион, образовавшийся в точке г, доходит до Г М )тто р / т),— и т)Ч стенки, равно Г = ( — ) г ) тог †.

В частности, (,2т,~ о,) ОГ Ч(2яо — Ч) Ч, ' и т т' М,тто ! Г / ! — х (' М то)о Гтаак(0) =, 2т ) го,г ! тот х(2 х т(т'=- 1,12 т 2т ) о Ча гчо" ~ тр (г') г' о(г' = С '1(т), — 1) (! — е -ч) + пе- 1, о где оо и т) связаны соотношением то Отсюда т(их= ао 1/ "" Ч т(т) и т! (2чо — т!) т)о ~(оо) В,=С((Ч вЂ” 1)(1 — е-")+Че "1 1гг „"' ", бЧ, Как видно, те ионы в разряде, которые появляются в точке р, имеют в продольном направлении скорости, лежащие в интервале 0(о,((еЕ/М) (,„. При этом число ионов, образующихся в точке р и имеющих скорости в интервале от о, до о,+т(о„пропорционально о(о, и не зависит от о,.

Это связано с непрерывным способом образования ионов. Отсюда следует, что число ионов в разряде со скоростью о, пропорционально о 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ СТОЛБ РЛЗРЯДЛ зт! где С вЂ констан, определяемая условием нормировки функции распределения. Средняя скорость ионов в направлении (оси разрядной трубки равна е Чо о1е = )Р[(О!о — 1) (1 — Е ")+О)Е-Ч) ~ГГ Ч Ч Е(Ч)Р— Ч у' Ч Ч М о (2Чо' — Ч) ЧЧо УЧо Ч' (2Чо — Ч') и 1 е Че х ~~ [(Чо — 1) (1 — е-")+ Че-Ч1 ~гг 2 "' " о(ч ) о О 2 З по=О,343РО.

0,2ЗЗЗ Задача 6.21. Найти функцию распределения ионов по скоростям в цилиндрической разрядной трубке в поперечном направлении. Считать, что частота образования заряженных частиц в каждой точке пропорциональна плотности свободных электронов. Плотность ионов в точке р с энергией, лежащей в промежутке от е до е +о(е, равна ф (г') е' лг' Уч (р) — ч (г'), ' При этом е(Т,= т)(р) — т)(г'). Это соотношение определяет точку г', из которой приходят ионы, обладающие в точке р энергией а и, следовательно, радиальной скоростью оо=)г 2е(М.

Подставляя ер(г')=Се — ч', р -= е!Г "( чо "), получим — Г 2 го Чо ("(р, з) е— С ехр (о(Те Ч) (Чо-(-о(Те Ч) ( е. и о/Те Константу С можно найти из условия нормировки функции распределения ( на границе трубки ч г )'(г„е) х(е = Л'ое '"'. о ! Задача 6.22. Определить скачок потенциала вблизи стенки в цилиндрической разрядной трубке для электрической дуги малого давления. Скачок потеипиала возникает в малой области вблизи стенок, размер этой области порядка радиуса Дебая — Гюккеля. В этой области положительный и отрицательный заряды разделяются, причем возникающая в результате этого разность потепциалов уравновешивает ток ионов и электронов на стенку, 372 ГЛ, б, НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВОГО РАЗРЯДА сохраняя квазинейтральность плазмы внутри трубки.

Для плотности тока электронов на стенку имеем: ! " '3'"Р( 2те )"."" 1Г ае ели~ / т, =ЛГ ехр — 11 — — ~ ь т, 7'Г где Л17 =-тза!2е †скач потенциала в пРистеночной области, ось х направлена перпендикулярно поверхности стенки. Приравнивая плотскость тока электронов плотности тока ионов, ко- тоРаЯ Равна 1, =- 0,272Жа 1' 2Т,(М, полУчим УРавнение длЯ скачка потенциала еЛУ 1 ееетт еЛУ ! / М ехр ~ — 11,— — ~ =0,54 1à —, =1и — у — =-с. (6.22) Например, в случае гелия с=3,35, в случае аргона с=-4,5, в случае ксенона с=-5,1. ! Задача 6,23. Определить температуру и ток электронов в цилиндрической разрядной трубке, если напряженность продольного поля постоянна по сечению.

За время пребывания внутри разрядной трубки каждый электрон создает в среднем пару заряженных частиц. Поскольку сечение неупругого столкновения электрона с атомом значительно меньше сечения упругого столкновения, то за время пребывания внутри трубки электрон испытает много упругих столкновений с атомом. Поэтому импульс, получаемый электронами от поля, отдаегся атомам. Уравнение баланса для изменения импульса электрона в единицу времени имеет вид ВР— = ВŠ— и <пч,„> = О, Ю где усреднение < > проводится по максвелловой функции распределения электронов, частота столкновения электрона с ато- МОМ РаВНа Чеа —.. М,ееп,",; Л~,— ПЛОтНОСтЬ атОМОВ, П,",— ДнффУ- зионное сечение рассеяния иона на атоме.

Считая, что дрейфовая скорость электронов Гг много меньше их тепловой скорости, получим <Вт„> = ш <т„'>. Отсюда еЕ еЕХеа И <Теа> 7Ее 2тет где длина свободного пробега электрона Х„=- ее 2т, <Реа> ф~'~и Напишем уравнение баланса для энергии, приобретаемой и теряемой электроном в единицу времени, Энергия, которая Ъ74 Гл. 6, некОтОРые свояствл глзового Рлзвядл Средняя скорость ионов в продольном направлении равна 0.34еета и;=- ' ' . Сравним ее с дрейфовой скоростью электронов: ~'2тМч, ' (каждый из множителей меньше единицы). Полный ток в трубке в продольном направлении равен в == ~ ене2прФш =™а О 71пео.