Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ.djvu), страница 9

(5 2.3) !(ачертнте эллнпсы у(х, у) = 0,06, где )г(х, у) является двумерной нормальной плотностью распределения ддя следующяя значеннй; (а) 8,=1, ру=2, чх=!, зу — 1, р =О, 2 2 (б) «.х=О, ну=О, ах=! чу=1 Рту=О 2 2 (в) !.„=О, ру — О, а',=1 2=1 Р,=0,2. (г) 6„=0, Р =О, 2„=1, е =1, р =0,8. (д) Р. =О, р =О, аз=4, а~=1, р =0,8. 4. (6 2.3) Опрелелить Ь и А так, чтобы следующие плотности распределения моглн быть записаны в внде (23). Определить так- же рх !'у зх зу н рху.

1 ! 1 (а) —, екр < — — ((х — 1)2+ (у — 2)2) ?. хз ху 1 4 ' 2 — — 1,6 — -+ ут ~ 2! Р 012 /' (в) —, екр ( — 22 (хт+ уз+ 4х — бу+ 13)~. 1 г 1 (г) — елр ' — — (2хт -(- ут+ 2ху — 22х — 14у+ 65)~. 1 г 1 5. ($ 2.3) Какие плотности распределения в задаче 4 опреде- ляют распределения, в которых Х н 1' независимы? 6. (6 2.3) Лля каждой матрицы А в задаче 4 нзйтн С так, чтобы С'АС = У.

7. 6 2.3) Пусть Ь = О, А= 3 4 1 (а) Написать плотность распределения (23). (б) Найти Е. 8. (9 2.4) (а) Написать частную плотность распределения т' для каждого случая задачн 3. (б) Указать частное распределение Х в каждом нз случаев задачи 4, прнменяя обозначение М(а, 4). (в) Напашите частную плотность распределения Х, и Х, в задаче 1. 9. (6 2.4) Каков закон распределения 7 = Х вЂ” у, где совместные плотности распределения Х и 1' даны в задаче 3? 10.

(6 2.4) Каков закон распредслоння Х,.4- 2Х, — ЗХь где плотпосю< распределения Хн Хь Х, дань< в задаче 1? 11. (6 2.4) Пусть Х; независимы н одинаково распределены с законом распределения й<'(р, ч'). 91 мнОГОмернОе нОРмАльнОе РАспРедечение !Гл.т х, (а) Каково совместное распределение Х= ? Найти сред- Хж АГ~( ) (" "")~ 1=1 2 3.

(а) Найти совместное распределение шести случайных ваагна. /хч, (б) Найти совместное распределение Ы 14. (ф 2.4) Пусть Х имеет (вырожденное) нормальное распределение со средним значением, равным О, и коварнационной мж трнцей ~4 2) (а) )(оказать, по ранг Е равен 1. (б) Найти матрицу А такую, что жденное нормальное распределение, и пенна 1'. 15.

(й 2.4) Пусть Х= АУ и У имеет невыроуказать плотность распреде- ь ! б 3 (а) Найти вектор иные, такой, что Хи О. (Указание Взять алгебраические пополнения каждого столбца.] нее значение и ковариационную матрицу вектора Х. (б) Применяя теорему 2А,4, найти частное распределение — ! Х:= ч,хь 12. (ф 2.4) Пусть Хг независимы и распределены АГ(~+ !льа'), где л~ — данное число (! = 1, ..., Аг) и ~ а, = О. ! Х, (а) Найти совместное распределение (б) Найти совместное распределение Х и е ~х л/"~'гп (Х,) 13, (ф 2.4) Пусть ( ! независимы и одинаково распределены ~у;) е законом распределения 62 М!ЮГОМЕРНОЕ 1ЮРМЛЛЬЛЮР РЛСПРГДЕЛЕПИГ 1ГЛ.

2 24. (8 2.5) Локазать, что )21,„т1 инвариантеп относительно линейного преобразования Х1! [т. е. если Х'2! заменить на ОХ!2', где 11 не вырождена, то тт, „, р пе изменится). 25. (й 2.5) Определить множественный коэффициент корреляции между Х, и (Х, Х,) в задаче 17. 26. (й 2.5) Локазать подробно, что если Е положительно определена, то !ЕП 12222 ~21 1[Е22|' 27. (й 2.5) Локазать, что [Указание.

Используя задачу 26, доказать, что 1Е'<э1![Етт[, где ń— матрица порядка (р — 1) Х(р — 1), и применить метод иню кции.[ 22. (й 25) Локазать, что 212 з- эю з/«22 з и 31з 2— - а, дэ„ 20. 5 2 3) Пусть ковариационная матрица двумерного вектора Х имеет впл (48) й 2.3. Пусть У; = — ', 1' =. 1, 2. Локазать, что э1 ' () (У! — Ут) =-2(1 — 2). Почему это наводит на мысль, что Р является мерой связи между Х, и Хт? 30. (б 2.3) Локазать, что главные оси эллипсов (52) $2.3 всегда наклонены под )тлами 45' и 135' к оси х, а ик ллины равны 2У с(1+ 2) и 2)' с(1 — 2) соответственно, с помо!пью преобразования согласно у, —..

(«, +«1)1У2, у, — («, — «2)1['2. 31. (й 2.3) Локазать, что 2„ является иивариантной характеристикой двумерного нормального распределения Ф(р, Е) по отношению к преобразованиям х; = Ь,х1 †' с1(! = 1, 2) (Ь > О) н является единственной инвариантно!1 функцией параметров. 32. (й 2.о) Пусть лвумерйый вск1ор Х„ распределен ЬГ(0, Е), а = 1, 2.

Каковы Условные РаспРедсленив Хиз Х,т, Х21, Хкь если хи =' х117 33. (й 2.3) Предположим, что скалярные случайные величины Хь ..., Х„ независимы н нк совместная плотность распределен.1я является функцией только л1 + ... + хз. Локазать, что Х. распределены нормально со средним значением нуль и одной и той же дисперсией. Укажите самые слабые условия, пакладываемые на плотность, для того чтобы можно было провести доказательство. 34.

(й 2.5) Пусть и:ютпосгь распределения (Хь Х,) будет л(х!0, Е) —.у(х„хт). Пусть далее плопюсть распределения Х, при ланном Х, х, будет у'(хт!х,) и совместная плотность Х,, Х,, Хэ бУДет У(хь хт)У(хэ,'х,). Найти ковариационную матрицу для Хь дь Х, и частнйй коэффициент корреляции между Х, и Х, при фиксированном Хи 63 залы!и 35. (й 25) Докажите, что ! — /! та =(! — р!э)(1-р~з т). [У к аз а н и с. Используйте то, что дисперсия Х, в условном распределении при фиксированных кт и хт равна (1 — /1,,тз) яп.~ 36.

(6 23) Показать, что если Р (Х>0, У~О) з для распределения то я = соз (1 — 2а)я, 37. (3 2.6) Пусть У распределен Ф(0, т), Дифференцируя характеристические функции, проверьте (25) и (26). 38. (6 2.3) Доказать, что если р = р (! чь /; г', / = 1, ..., Р), то Г > — !)(Р— 1). 39. (6 2.5) Доказать, что при ! = 1, ..., 4; /= 4+ 1, ..., Р «с/ че! ' /-ц /ч! ..., Р 'с/ Ч+?, ", /-И /Ч Ь "" Л/Е// ЧЭЬ ..: /-!. /Ч.! "" Р. [Указание.

Докажите это для случая / 4+ 1, рассматривая (30) при Р~=-Ч Рт= !. Рт=Р— Ч !.[ 40, (й 2.5) Вели р —.— 2, то может ли быть различие между про- стой корреляцией между Х, и Х, и множественной корреляцией между Х, и Х~ ~ = Хт? 4!. (6 2.4) Доказать, что если совместное (частное) распреде- ление Х, и Х, несобственное (т. е. вырожденное), то совместное распределение Хь Х, и Х, также несобственное. 42. (й 2.5) Привести необходимое и достаточное условие дла )[ьч,, — 0 в терминах ап , а! . 43.

(6 2.2) Пусть /(х, у) С для л'+у'<йт н 0 в других 1 случаях. Доказать, что С = —, МХ = МУ О, МХЯ М?'т = Лт/4 яйз ' и МХУ=О. Являются ли Х н У независимымн? И. (й 2.3) Пусть плотность Р-мерного вектора У равна 1 /(У) =- ! ( — Р+ !// [(р+ 2) я[ для у'у < Р+ 2 и 0 в остальных 'т 2 случаях. Тогда МУ = 0 и МУУ" /. Из этого результата доказать, что 1 ,/! если для Хплотность равна 8(х) =)'[А! У~ — Р+1/)'[(Р+2) я[ 12 при (х — !ь)' А(х — р) <Р+2 и 0 в остальных случаяк, то МХ= р н М(Х вЂ” р) (Х вЂ” !х)' = А 45.

(6 2.2) Пусть Р(хь х,) — совместная функция распределе- ния Хь Х,, н пусть Р?(х!) — частная функция распределения Х! ! = 1, 2). Доказать, что если Р, (х!) (1 = 1, 2) непрерывна, то (лн х,) сакже непрерывна. ГЛАВА 3 ОЦЕНКА ВЕКТОРА СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И КОВАРИАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ 3.1. Введение Нормальное распределение полностью определяется вектором р среднего значения и ковариационной матрнцей Х. Первой статистической проблемой является вопрос о том, как оценить этн параметры по результатам выборки.

В ф 3.2 показано, что оценкой наибольшего правдоподобия для является выборочное среднее, оценка наибольшего правдоподобия для Х пропорциональна матрице, состоящей из выборочных дисперсий н коварнацпй. Выборочная дисперсия равна сумме квадратов отклонений наблюденных значений от выборочного среднего, деленной на число наблюдений без единицы; выборочная коваряацня определяется подобным же образои по результа|ач взаимных произведений соответствующих отклонений.

Выборочная ковариационна; матрица является несмешенной оценкой Х. Распределение вектора выборочного среднего дано в $3.3, и показано, как может быть проверена гипотеза, что Р является данным вектором, если Х известна. Случай, когда Х неизвестна, будет рассиотрен в главе 5. 3.2. Оценки наибольшего правдоподобия для вектора среднего значения н коварнационной матрицы Пусть дана выборка наблюдений (вектор) над р-мерным (невырожденным) нормальным распределением, и нас интересуют оценки вектора Р среднего значения и ковариацнонной матрицы Х этого распр,деления. Мы выведем оценки наибольшего правдоподобия.

зл1 ОЦЕНКИ НАИБОЛ!ан!ЕГО ПРАВЛОПОДОВИЯ бб Оказывается, что метод наибольшего правдоподобна очень полезен для различныл оценок и проблем проверки гипотез, относящихся к многомерным нормальным распределениям. Оценки, полученные по методу наибольшего правдополобня. или их модификации обычно обладают некоторыми оптимальными свойствами. В частном случае, изучаемом здесь, оценки асимптотнчески эффективны 1Кра мер [2), Ч 33.3). Допустим, что выборка из М наблюдений над Х, распределенным М112, .ь), есть х,...., хл1, где 1!1) р. Функция правдоподобия будет равна „р' — 2-...(х.—,).— (х.—,) .