Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ.djvu), страница 12

форма эллипсоида зависит от Х, а обьем — от (1!!ч)у' (а) при дан- Для проверки гипотезы о том, что р = р, где рз — определенный вектор, мы используем в качестве критической области 33! Распоаделгпиа Вахтова вызопочного Гпиднвго 79 ном Х . В р-мерном пространстве р* (16) является поверхностью и внутренней частью зллппсоида с иентром в х.

Если Х ' = У, то (14) говорит, что а есть вероятность того, что расстояние между х и р больше, чем )гу'(и)/М. Р Теорема 3.3,4. Если х — среднее значение выборки обвема М, взятой из совокупности М(р„Х), и Х известна, то (!5) определяет критическую область вероят, ности а для проверки гипотезы р=р„и (!6) дает доверительную облисть для !ь с доверите ганам уровнем ! — и. уа (и) выбираелься так, чтобы удовлетворить (13), е Такая же техника может быть использована для соответствующих проблем в случае двух выборок. Предположим, что у нас имеется выборка (х!П~(а= 1, ..., М,) из совокупности, распределенной М(ро, Х), и выборка (х~ '! (а =1, ..., Ма) из другой нормальной совокупности М(р' ', Х) с той же ковариапионной матриией.

Тогда оба выборочных средних сб 1Ч, лв а 1 Иь х = — у х!г~, -!а, ! ъ-~ пь "®" независимы н распределены М1!ьы', (!/М ) Х! и М (рФ, (1/Мг)Х! соответственно. Разность двух выборочных средних у = = хп! — х'а' распределена М !», !(!/М,) +(!/Ма)) Х), где «=1ь — р, . Таким образом, и> !а~ (у — «)' Х ~ (у — «) .( уа („) (! 3) является доверительной областью для разности» двух векторов средних значений. а критическая область для проверки гипотезы р!и =рР' дана неравенством (хп' — х"') Х '(х'и — х"') )~ у~~(а).

(19) опенкл ВектоРл сРГднГГО знлчГния [ГЛ. 3 М а х а л а н о б н с (! ) прелложил рассматривать ([ьп[ — [ьж[)'Е '(р[[[ — р[з) как меру расстояния между двумя совокупностями. 3 З.З. Достаточные статистики для р и Е. Было показано, что ~ч~р(х„ — р)(х, — [ь)' = А + М (х — р)(х — р)', (20) ~ (»„— р)' Е ' (х, — р,) = зр (Е 'А) + М(х — р)' Е (х — р) а (21) Таким образои, совместная плотность Хн ..., Х, может быть записана следующим образом: К екр ~ — — ~М(х — [ь)' Е (х — [а).+ зр(Е А)~ ~ = =К[акр~ — — М(х — [ь)'Е (х — р)1К'акр[ 2 зр(Е 'А)1 (22) Таким образом, х н (1/М)А образуют достаточные статистики для р и Е.

Если Е известна, то х является лостаточной статистикой для р. Однако если известен р, то (1/М) А не является достаточной статистикой лля Е. но (1[М)л~л (х„ — р,)(х„ — р)' является достаточной статистикой для Е. Напомним, что является лостаточной статистикой для О, если л Ц У'(х„; О) =д(О О) Ь(хн ..., х„), (23) [ где [(х„; О) есть плотность вероятности лля а-го наблюдения; д'(С; 0) — плотность распределения т и й(хн ..., х„) не зависит от 0 (К р а ч е р 121 ). Если среднее значение ([-мерного случайного вектора У равно МУ = « н его ковариапионная матрица равна М($' — «)(у — «)'=тр, то Ь вЂ” «)' р (у — «) = — О+2 задачи называется эллипсоидом рассеяния для У (см.

К р а м е р [2)). Плотность вероятности, определяемая равномерным распределением в внутреннеи части этого эллипсоида, имеет тот же вектор среднего значения и ту же коварнационную матрицу, что и У (см. задачу 44 главы 2). Пусть 0 — вектор, состоящий иа д параметров распределения, и пусть г — вектор пссмещенных оценок (т, е. Мг' = 0), полученный по Ау наблюдениям над этим распределением с ковариационной матрицей Чг. Тогда эллипсоид Ау(р — 0)'М( дв )( да ) (Г 0)=в+2 (25) целиком лежит внутри эллипсоида рассеяния г', д !и у/д 0 обозначает вектор-столбец производных плотности вероятности (или вероятностной функции) по компонентам О. В работе К р а м е р а [2[ рассуждение проводится лля скаляра наблюдениИ, но ясно, что оно справедливо и лля вектора наблюдений. Если (25) есть эллипсоид рассеяния для А то г'называется эффективным.

В общем случае отношение объема (25) к оо.ьему эллипсоида рассеяния определяется как эффективность й В случае многомерного нормального распределения, если 0 =р. — вектору среднего значения, то .е эффективен. Если 0 включает н Р, и Х, то эффективность х и $ будет [(Аг — [УАГ['"'"~. ЛИТЕРАТУРА О 32. Вото, Рэфферти и 11ниер [Ц; Двайер [Ц; Лещ Рай [Ц, [2]; К е ил алл [3), стр. 329 — 334, 337 — 339; Крамер [2]; М у д [2), стр. 186 — 188; К. П и р с о н [1); С т ь ю л е и т [ Ц; Ф ищер [10]; Фретс [Ц; Хотелливг [7]; Хьюз [Ц; Чоун и М о р э н [Ц; Э й г к е н [3); К) л [2], [3).

О З.З. Р. Бозе [Ц, [2); С. К. Б о з е [Ц, [2]; д а п1 [Ц; К р амер [2]; Махалаиобис [Ц, [2); К. Пирсон [2], [4], [5]; У ил к с [2), [10), стр. 100 — 101, 103 — 105, 1Ю вЂ” 121. ЗАДАЧИ 1. (О 3.2) Определить и, 2 и (р;7) лля данных табл. 2, заимствованной из работы Ф р е т с а [Ц. 2. (О 3.2) Проверить численные Результаты (24). 3. (О 3.2) Вычислить !ь Х, Я, р для следующих пар наблюдений: (34,55), (!2,29), (33,75), (44,89), (89,02), (59,09), (50,4Ц, (88,87).

82 ОНГНКЛ ПГКТОРЛ СРЕДНЕГО ЗНЛЧГНИЯ [ГЛ. 3 4. (ф 3.2) Доказать лемму 3.2.2, используя тот факт, что (С' !=- =ДЛг,зрС = Р,Л! иС' Е если Лгв - ...~Лг-— -1,гдеЛь ...,Л— характеристические корни С'. (У к а з а и и е. !4спользуйте у, призеаеипую з подстрочном примечании к локазательстзу лепим 3.2.2.) Таблица 2 и!арона головы ~ илона головы первого сына ~ второго сына Плова головы первого сына Гпнрваа головы отарого сына 5. ($3 2) Доказать, что рг? инаариаптен относительно яыборз начала координат и паси!таба (т.

е. доказать, что ро? — — р*;, где ?т. яычнсляется на оспоаании того, что хг, — †с!, + г(! с с! > О), 6. (9 З.З) Пусть Х, распрелелен ЛГ(тс„, Х), о = 1, ..., Ф, где с„ — скаляр. Показать, что рзспределение Х - (1/,г'ст) лг'г„Х, есть Л!~?(1/~ с~)д).

Показать, что Е = ~ч', (Մ— Хс,) (Х,— Ес,)' х, 19! 195 181 183 176 208 189 197 188 192 179 183 !74 190 !88 163 195 186 181 175 192 174 176 197 190 ха 155 149 148 153 144 157 150 159 152 150 158 147 150 159 !51 137 155 !53 145 140 154 143 139 167 163 ха 179 201 !85 188 !71 192 !90 189 !97 1В? 186 174 185 195 187 161 183 !73 182 165 185 178 176 200 187 х, 145 152 149 149 142 152 149 152 159 151 148 147 !52 15? 158 130 158 148 146 137 152 147 143 158 150 злллчн лт-1 распределена как ~ К,Е„где Я', неэависимыиодипаковораспре- 1 далевы с законом рзспрелеления дг(0,2).

[Указание. Пусть К,= =ЕЬ, $'р ГдЕ б = Се/[тгЛ' СЭ, И МатрИца В ОртОГОНаааиа.~ 7. (6 3.3) Пусть т-мерный вектор Г распределен !У(», Т). Лои» казать, что У'Т !1' распределена как ~ К~пгде К, — независимые с-! нормально распределенные величины с дисперсией, равной единице, и МК, = 7Т»'Т '», МЕ! =О, 1> !. 8. (9 3.3) Локазать, что мощность критерия в (19) является функ- цией только р и [дг,д(э/()У, +)»т)[(р! > — П! !) л (р!'! — р~ ).

9. (6 32) Пусть х,— вес тела кошки (в килограммах), а к,— вес сердца (в граммах). (Лапные заимствованы у Фишера [1О].) а) В выборке из 47 кошек лик * ~432,5)' л(Л ' ~ (1029,62 4064,71) Определить р, Х, В и », б) В выборке нз 97 котов л»»! ( !098,3) ' ~ил " " 1, 3275,55 !3056,17) Определить р, Е, В и р. 1О. (й 3.3) Локазать, что х является эффективной оценкой р.

11. (6 3.3) Локазать, что эффективность х н В для оценки р и л равна [(дг — !)/Ф[л'л»нп. 12. Пусть К(д) —. (КВ(а)), где ! 1, ..., р, /=1, ... д и д = 1, 2, ..., является последователыюстью случайных матриц. Пусть одна норма матрицы А будет дг,(А) = шаха шод(аг ), а вторая норма будет о!э (А) = л, 'а; = яр АА . Альтернативными 2 61 способами определения стохастической сходимостн К(д) к матрице В порядка.

(р Х у) являются а) 7»', (К(Д) — В) сходится стохастически к нулю, б) Д(э(Е(Д) — В) сходится стохастнчески к нулю и в) ЕВ(д) — ЬВ сходится стохастически к пулю, 1= 1, ..., р ,/= 1. 4 Локазать, что эти три определения являются эквивалентными. Отметим, что определение стохастической сходимости К(д) состоит в том, что для любых положительных а и а можно найти столь большое 1(, что для Д > К Р [[К(д) — а[(э) > 1 — ю 34 О!ГРИКЛ ВЕКТОРЛ СРЕД!!ГГО 3!!Лт!ГНИЯ (ГЛ. 3 13.

(ф 3.2) )(оказат!ч что х квлвется состоя!елыюй оценкой и и Я является состоятелыюй оценкой Х, т. е. что х и 8 сходятся стокастическп соответственно к И н Х. 14. Пусть д-мерный вектор Г является достаточной статистикой лля г-мерного вектора а. Говорят, что т является полным, если из маУ(т) = О дла каждого а следУет /'(т) = О дла каждого г, за исключением множества нулевой вероятности для каждого 6. Доказать, что х в атом случае полон (для данного Х). [Указание. Для Е г получим ! Л'л'л А( у(х) -Ае хи и ~ ...

( [у(х)е е т г(х! ... !(хр н используем то, что зтот интеграл является преобразованном Ла- — 2 мй л нласа выражения У(х) е (У и л к с [10[).[ ГЛАВА 4 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ 4.1. Введение В главе 2, в которой было введено многомерное нормальное распределение, показано, что мерой аависимости между двумя нормально распределенными величинами является коэффициент корреляции р,.=с, )'у'апя . В условном распрелелснии величин Хп ..., Х при условии, что Х +, —— = хятп ..., Хл =- х, частный коэффициент корреляции р,~. еьь ...,л является мерой зависимости между Х; и Х .