Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ.djvu), страница 14

( — 1)~Р . ! а Так как еи=г(! — гч) з, то дт/дг=(1 — гт) '. Следовательно, плотность распределения г равна (заменяя п на М вЂ” 1) Т ~ (Л 1)1 гг)Т ! Т ~-' РЧ- 2)~ У . Следует заметить, что выражеияе (15) является условноИ плотностью распределения величины г при фиксированном ли Но так как (15) не зависит от ло то она является и часпюй плотностью распределения величины г. Те оре ма 4.2.!.

Пусть Хп .... Хы — независимые одинаково распределенные случаиные величины с закопан распределения М(р, Х). Если БП-- — -О. гло пло!лность распределения величины г!р определенной фор.чулой (!), диев!сл формулой (15). Иа (! 5) мы видим, что кривая плотности симметрична относительно начала координат. Для М) 4 она имеет моду при г = — О, а при г = ~ 1 ее порялок касания с осью г 1 1 равен — (М вЂ” 5) для нечетных М и — М вЂ” 3 для четных М, 2 2 Так как вта плотность является четноИ функцией, то все нечетные моменты равны нулю; в частности, математическое ожидание равно нулю. Четные моменты находятся интегрированием (полагая х = гв и используя определение бета- функции). Читателю предлагается проверить, что 92 ВЫБОР01н!ыв коэФФЙцигнты коРРБляцнн (гл 1 С наиболее важным применением теоремы 4.2.1 мы сталкиваемся при нахожлении точек значимости для проверки гипотезы о том, что две случайные величины являются некоррелированными.

рассмотрим гипотезу Н: р„=о (16) для некоторой конкретной пары (О у). Выло бы разумно отвергнуть эту гипотезу, если бы соответствуюший выборочный коэффициент корреляции сильно отличался от нуля. Но как решить «сильно» отличается выборочный коэффициент корреляции от нуля или нет? Предположим. что наряду с гипотезой Н имеется конкурируюшая гипотеза рО) О, Если выборочный коэффициент корреляции г, больше некоторого числа г„, то мы отвергаем гипотезу Н.

Вероятность отвергнуть гипотезу Н, когда она верна, равна ~ й,(г)г(г, (17) где функция йж(г), опрелеляемаи формулой (15), является плотностью расйределения вероятностей выборочного коэффициента корреляции, полученного по М наблюдениям. Выберем ге так, чтобы выражение (17) давало желаемый уровень аначимости. Если конкурируюшая по отношению к Н гипотеза состоит в том, что рО( О, то мы отвергаем Н при гы ч.

ге. Предположим теперь, что нас интересует случай, когда рО чЬ О, т. е. когда ры может быть как положительным, так и отрицательньы1. Тогда если гО .Р г, или гО с. — го то мы отвергаем гипотезу Н. Вероятность отвергнуть гипотезу Н, когда эта гипотеза верна, равна 1 маг(г)йг+ ~ кгг(г) 1(г. (18) -1 г Число г, выбирается так, чтобы выражение (18) давало желаемый уровень значимости. Точки значимости г, приводятся во многих книгах, содержащих таблицу Ч1 Фишера и Иейтса (11, Индекс и в таблице Н! равен в нашем случае М вЂ” 2. Так как у'й2 г/')/1 — га имеет( -распределение с М вЂ” 2 степенями свободы, то можно испольаовать,также таблицы 1-распределения.

При конкурирующей гипотезе р1)чь О Н отвергается, аи кОэФФициент кОРРгляции пзумеРноп ВЫВОРки 93 если УМ вЂ” 2 > Ь,ч я(я) РГ 1 — г~тг (19) гпе Ь, (я) — двусторонняя точка значимости С-статистики с М вЂ” 2 степенями свободы пля уровня значимости я. При конкурируюшей гипотезе оы ) 0 гт' отвергается, если гы )/М вЂ” 2 — ) 1, (я), аГГ1 — гг где Ьм т(я) = Ьм в(2я) — олносторонняя точка значимости. Из (11) и (12) видно, что угМ вЂ” 2 г/~(Т вЂ” гз является соответствуюшей собственной статистикой для проверки гипотезы о том, что регрессия х на х, равна нулю. В терминах первоначальных наблюдений (х„) имеем г Ь )гМ 2 ) 1 — г 4 ~(хаа — х,— Ь(х„— х,))а/(М вЂ” 2) а (21) где Ь = ~ (хга — хя) (х„— х,) ~~~'„(хы — х,)~ — коэффициент а а регрессии х„на хие полученный по методу наименьших квадратов.

Легко видеть, что проверка гипотезы ри — — 0 эквивалентна проверке гипотезы о том, что регрессия Хя на х, Равна нУлю (т. е. что Рива/а, =О). Для иллюстрации этого метода рассмотрим пример, приведенный в э 3.2. Проверим нулевую гипотезу, состояшую в то», что действия двух наркотиков не коррелированы. Конкурируюшая гипотеза состоит в том, что они положительно коррелированы. Используем пятипроцентный уровень значимости.

Для М= 10 бага ная точка значимости (гз) равна 0,5494. Полученный нами по результатам наблюлення коэффициент корреляции 0,7952 является значимым. Поэтому мы отвергаем гипотезу о том, что лействия двух наркотиков независимы. 4.2.2. Распределение выборочного коэффициента корреляции в случае, когда коэффициент корреляции генеральной совокупности не равен нулю. Проверка гипотез. Доверительные области. Чтобы найти распределение выборочного козффициента корреляции в случае, котла 94 выворочць!г. Коэффицигиты корргляпии !Гл 4 коэффициент корреляции генеральной совокупности отличен от нуля, найдем сначала совместную плотность распределения случайных величин ац, аю и азт В 9 4.2.1 мы видели, что если л! фиксирован, то случайные величины Ь = а,~ац и И/22 =(а — а2,,/а )122 независимы и имеют соответственно ( 22 121 Ц) распределения Лг!р, 22/ст) и т2-распределение с л — ! степенями свободы.

Обозначая плотность у2-распределения через л', ! (о), запишем условную плотность Ь н И в виде п(Ь)3, а2/ац)аи 1!о/22)/22. Совместная плотность распределения У1, Ь и Ъ' равна п(г! ) Р, е~т) п(Ь ) р, е'/ац)п'„1(о/22)/22. ЧаСтиая ПЛОтНОСтЬ ВЕЛИЧИНЫ У;Е! 22! = ац,122! раВНа яи(О); Зиачит, плотность распределения величины ац равна фй„~'— ",') = / ... / (,~р,.,у)аЧр, <22) '!и! "ц ... / п(Ь |~,У%ц)й' !!о/22) 2 ,/' и'и! аи =д„(ац!ат!)л(Ь|~, 22/ац) 1 2" (ац) 1 (7)'" 8) л(а, !Р, 22/)с/1В'= д„, (о/ат)/ (е222) =- 1 ! )!ац — ац) =,— Х 222 ~ )Г2пчт 1 ! — !и-21 о2 Х Х ехр[- ' —," (Ь вЂ” р)'~ — 1и-1! (2 )2 Г ~- !и — 1)~ Х ехр~ — —,, о). !23) где д)р' — соответствуюший элемент объема.

Интегрирование ведется по сфере л,'л, =- ац, поэтому а!Ф' будет элементом поверхности этой сферы !см. задачу ! главы 7 на использование полярных координат лля определения с/)р'). Таким образом, совместная плотность распределения случайных величин Ь, У и ац равна 4.21 кОЭФФи1!Иент кОРРГля!1ни .чнумГРИОВ ВыВОРЯП пб Положи!1 6 = а!2)ан, (г = — а22 — а!2/а11. Озрелеа!атель 2 этого преобразования равен (24) — 2 —" 1 ан Таким образом, совместнаа плотность распределения ан, а,г и а22 равна 1 ,,— !а з! — 2!Р-З! ама, — ар 2 — О О (25) 1 ! / 2 2 2 2 Ъ( ап ап аж а!а2 а12 р а,а Д= —,-+ — ( — — — 2 —,— + — ~+ 41 42 ~,а ' аа а а4,/ 1! ! 1! ! 12 2 1 + раа а„ а а2 (1 — ра) аз (1 — р ) 1 /а„ 2 ( 2 ~ — — 2о — + — - ° (26) а„а!21 1 — р '(а ' ааа аз) 2)' Эта плотность может быть записана в зиле 1, ! — !4-31 Г З О !А!2 Е (27) ! 2" ) Е !2 рга Г ( — а) Г ~ — (а — 1)~ Это 42!Стмый случай распрелеления Уишарта, моторс(е оу!аат рассм6треио в Главе 1.

! д (ь, ) д(а!2, ааа) ~ ! — О ан йб Выворочные коэФФицигнты кОРРеляции (гл. 4 Плотность распределения вероятностей случайных вели- чии пц, ае, и г= а!~/)г о!!лез(гра!1 — г)г ")г' адад) равна 1 1 1 1 л-1 — л-1 г 2 1 1 — !л-11 -- и п„ац (1 — г) е (28) 2л (аггея (1 — р )~Т )га. Г! — пг Г ! — (п — !)~ где — 1),г Р'Р'и !)гйа! 1 ~~ (Р''" 'ц) ' )', (30) 1=ъ (! — р!) а1а г! лм а! (ааа! (1 — ра)) «-о Тогда плотность (28) запишется в виде 1 —,! -з> (! — га) — л алаг П вЂ” Рг) 1 2л Р "Г! —,и! Г( — (и — 1) ~ 1 о Х ехр — ",,- а з (31) Так как У вЂ”, !лалг агг ЕХР о ! = 1' [ — (и+ а)~ '12ог (! -, р~)) 1 (32) Чтобы найти плотность распределения вероятностей величины г, нужно проинтегрировать (28) по ац н ац в пре.

делах от 0 до ОО. Существует несколько методов вычисления такого интеграла, которые приводят к различным выражениям для плотности. Мы приводим здесь прямой метод вычисления. разложим в ряд зкспоненту .2) коэеоицивнт коррвляции двгмврной выворки 97 то интеграл от функции (31) (почвенное интегрирование за- конно) равен 1 — (и-3) СО (1 — г') (рг) 2 2 л, 1 .