Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ.djvu), страница 4

е. У(хп .. хр)~(К. (8) Теперь мы определим К так, чтобы интеграл от (6) по р-мерному пространству был равен елииице. Положим ОЭ -ь'л -ь К* = ~ ... ~ е ' с!х„ ... Ихо (9) Ь!ы испольауем тот Факт, что (см. слелстаие 4 приложения !) если А положительно опрелелена, то существует невырождепная матрица С, для которой С'АС= У, (10) где через 1 обозначена единичная матрица, а через С' — трапспоннрованная матрица С. Пусть х — Ь=Су, (1 1) где (12) ур! Тогда (х — Ь)' А (х — Ь) = у'С'АСу = у'у.

(13) Определитель преобразования будет У=- щоб! С~, (14) где «щод) С!» обозначает абсолютную величину определителя матрицы С. Поэтому из (9) получается СО О> К'= щоб!С~ 3 ... 1е э с(ур... Иуи (15) вы ыногомеРИОе нОРмАльнОе РАспРеделение 25 Так как (16) то мн можеи записать (15) сведующим образом: 1 2 1 я е т !., е д аеагу, !(у Р''' К' = во!)1С( / 1 (~ 2-.) = вой~С~ (2к)з (1 !) ввиду того, ч!о ! = /е У !(1=1, )' 2г.

В соответствии с (10) 1С ~ 1А!.1С~=1г!. (18) (19) Так как 1С 1 =-1С~ и (11'1=1, то из (19) следует, что 1 воо1С) = )~! А ! (20) (21) Тогда 1 К= К*=УТАИ2п) ' . (22) Таким образом, нормальная плотность распределения вероятностей есть 1/! А1 — — ы-Ы'АЫ вЂ” Р! е (23 ( ) —. Р (2к) ~ Теперь мы установим роль вектора Ь и матрнйы !й, определив первый н второй моменты,ХР .... Х . е йо(зй)) = вой) С1Ц 1=1 Р = воо1С1П ! 1 Р 1 2б . мнОГОмеРнОе нОРмальное РАсппеделенне (Гл я рассматривать случайные всдичниы как комноненты случайного вектора Х1 (24) Хд Определим понятия случайной матрины и ес математического ожидания; случайный нектар рассматрипается как особый вид случайной матрицы, когда оиа состоит лишь из одного столбца. Оп редедеиие 2.3.1.

Случайнан матрица а есть матрица У=(Уеа), у=1, ..., т; й=1, ..., и, (25) случайных величин еп, ..., /„,„. Если каждая из случайных всяичии /и, ..., У.„,„может принимать только конечное число значений, то случайная матрица а является одной из коне шаго числя матриц л (1), ..., Е (а). Если вероятность того, что Е= л (1) есть ро то мы можем опрсдсднть Мх. как „Х(1)ро Ясно ~-1 тогда, что Мл.

= (М/ „). Если ддя случайных величин /и...,, /иы существует совместная плотность распределения вероятностей, то суммирование по Риману лает возможность определить МУ как предел (ссди этот предел сущсстпует) аппроксимирующих сумм такого вида, как в дискретном случае, и тогда опять-таки Мл =(М/ „). Поэтому мы можем дать следующее общее определение. О п р е дед с и не 2.3.2. Математическое ожидание случайной матрицы л есть Ма=(Мг'.еа). д'=1, ..., т; й=!, ....

и. (2б) Математическое ожидание случайной матрицы (иди вектора) удовлетпоряст определенным свойствам, которые могут быть обобщены п следующей демме. Ле м ма 2.3.1. Если 2', является случайной матрицей порядка т К и, а действительные матрицы Р, Е, Р 22] МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РЛСПРЕДЕЛЕНИЕ 27 ч =Е 2 ) )1гу 2 ги ~ — '-Т" „~= )Г 2н 7 МУ,= /... /уЦ 22 О ) 2Г.

7уг= О, (32) 1 2 Р Последнее равенство следует нз того '), что у,е 2 ' является нечетной функцией уг. Таким образом, МУ =- О. Поэтому ') Илн же последнее равенстно следует нз того, что предмдугцее выражение является математическим ожиданием нормально распределенной величины со средним значением, равным нулю. имеют порядок 1'к'нг, и к'д, 1)г',о соотаетсглаенно, то М(3)ЕЕ+ Е) = 0 (МЕ) Е+ Е. (27) )аоказа тел ь ство, Элемент Г-й строки и у-го столбца матрицы М(ОЕЕ+Е) равен М ( Х гугагаеел)+ Лу) = Х в112(Мале) ее)+УО, (23) а это является элементом 1-й строки и у'-го столбца матрицы )р(МЕ)Е+ Е, что и требовалось доказать.

Таким образом, если Х= — СУ+ Ь, (29) где С и Ь имеют прежний смысл, а У является гп-мерным случайным вектором, то МХ = СМ )' + Ь. (ЗО) Согласно теории преобразованиИ, изложенной в Э 2.2. плотность распределения вероятностей вектора У пропорциональна (16), т.

е. она равна —,-е 2 =Ц( е 2 )~ (31) --р '7,1 У 2н (2с) 2 Математическое ожиданно Г-й компоненты У равно 28 многомгРное нОРАААллное РАОНРеделение !Гл 2 МУ1'= / ... /уу Ц у — е 2 "А~Ну ...А(у Л-1 СО ОЭ (36) так как плотность распределения пероятиостсй У раппа (31). Когда ( = /, тогда СО 2 Р ! МУ1 = — ! уте 2 1 г(у. ТТ / е 2 А агу а А 1 и+ ' 1 )г2г. (37) Последнее рапенство имеет место потому, что предпоследнее выражение является математическим ожидапл!ем квадрата нормально распределенной случайной пеличипы с матемагическим ожиданием, равным О, и дисперсией, раиной 1. Если ! Рь Г', то по (36) 1 1,".,2 1 М)',1' = —. 1 у,е 2 12(у1 — 1 у е ' 11(у >( Х Ц вЂ”.' ! Р" О,1=О.

2~1Е 1ЗВ! У2п . а ть 1, / среднее значение Х, обозначенное через р, будет р —..— МХ= Ь. (33) Ковариациоиная матрица вектора Х определяется как С (Х, Х ) =- М (Х вЂ” р) (Х вЂ” р)' = (М(Х, — р 1) (Х вЂ” р, ) ). (34) Диагональный элемент этой матрицы М(Х; — р;)2 является дисперсией величины Х,; недиагопальпый элемент матрицы М(Х1 — рг)(Х вЂ” р.) язляется копариацией Хг и ХЛ Применив (29), мы получим М(Х вЂ” 1!) (Х вЂ” р)' = МСУУ'С' = С(МУ)") С'. (35) Элемент г-й строки и !его столбца матрицы М1'У' есть 221 м1!ОГОмеРное нОРИАльнОе РАспРеделениГ 29 так как первый интервал равен О. Согласно (37) и (38), можем записать М'г'У' = г.

(39) Тогда М (Х вЂ” 11) (Х вЂ” 11)' = С!С' = СС'. (40) Мы получим А=(С') 'С '. умножая (1О) на (С') ' слева и на С ' справа. Если от матриц, являющихся левой или правой частью этого равенства, перейтн к обратным, то получим СС'=А '. (41) Таким образом, коваризциоппая матрица величины Х, которую мы обозначим через Х, есть Х = М (Х вЂ” р) (Х вЂ” р)' = А Из (41) видно, что Х положительно определена. Суимируем наши результа!ы. Те о р е ив 2.3.1. Если плогпность распределения вероятностей р-мерного случайного вектора Х есть (23), то среднее значение Х есть Ь и ковариационная матрица есть А . Обратно, если даны вектор р и положительно определенная матрица Х, то существует такая много.нернан нормальная плотность распределения вероятностей 1 ! 1,Х-1 (2) 2 !Х! 2е 2 — — — — !л-Рг Л (е-Ш (43) (42) ч11 еы Р11 (44) что математическое ожидание случайного вектора с этой плотностью распределения есть р.

и ковариационная матрица есть Х. В дзльпейшем плотность распределения вероятностей (43) будем обозначать через п(х1(ь, Х), а закон распределения— через И(р„Х). 1!шш, что 1-й диагональный элемент аи ковариационной матрицы является дисперсией 1'-й компоненты Х; мы можем обозначать ее через вг коэффициент корреляции между хг и Х! апреле; яется так: йб многомспнок погмяльнос пасппсдслснив !гл, а Очевидно, что р; =рд. Так как матрица (46) положительно определена (см.

приложение 1), то определитель ! с! сер..~ ! г') !г = сете (! — рт ) с)су / (46) положителен. Поэтому — ! ( ру ( 1 (для невырожденпых распрсделепий, см. 6 2,4), В качестве особого случая изложенной теории мы рассмотрим двумсрнос нормальное распределение. Среднее значение вектора равно (47) (Х, — р,) (Х, — рч) (Х, р,) Х=М (Хт — Рт) (Х, — р,) (Ха — рт),/ где а~ является лисперсисй Хн с' — лиспсрсисй Хт и р — коэффициентом корреляции межлу Х, и Хм Легко проверить, что обращение (48) есть 1 р 2 ч~ ~~ чт 2 чтя~ ча Плотность вероятности Х, и Хт равна ! 1 Г (х~ —;,)' скр ковариациопная матрица чожст быть записана следующим образом: т.з1 МЧОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 31 Ниже будет показано, что ес л и р = О, то Х , и Хт н ез а в и- симы; если Р > О, то межлУ Х, и Хт сУгцестзУет положительная связь; н если р «.

О, то между Х, и Хт — отрицательная св5555ь. Отмегим, что плотность вероятности (43) з р-мерном евклидозом пространстве постоянна па эллипсоидах (.е — р)' Х (х — р) = с для каждого положигельного значения с. 1(ентром каждого эллипсоида является точка р. Форь5а и положение эллипсоида определяготся значением з', а размеры (при финсированном з') — значением с. Рассмотрим подробно двумерный случай плотности вероятности (50). Преобразуем координаты посредством равенства — — ' — 55 -=у (1 — — 1, 2) тах, чтобы центры линий, на кото« рых п55отност5 распределения постоянна, находились в начале координат. Эти линии определяются уравнениями ! 1 Е555 5з з) — -Гу' — 2ру у -'г- у'1= с. (52) Отрезки, отсекаемые на осях у, и ун равны между собой, Если р > О, то большая ось эллипса наклонена под углом 45 н оси х и ее длина равна 2 у'с(1 -5- р), а длина малой оси равна 2 ф'с(1 — р).

Если р «, О, то большая ось эллипса наклонена под >глом !35' к оси х и ее длина равна 2 р' с (1 — р), а длина малой оси равна 2 р' с (1 + р). В рассматриваемом сл>чае мы можем считать. чго плотность распределения графически изображается поверхностью над плоскостью. Контуры равных плогностеИ аналогичны конт> рам равных высот на топографической карте; они показывают форму «холма» (или вероятностной поверхности). Если р > О, то эта поверхность простирается вдоль линии с положительн5я55 наклоноч; большая часть «холма» в этом случае находится в первом и третьем квадратах. При обратном переходе к координатам х5 = — агу,.+р; мы растягиваем каждый контур в аг раз в направлении 1-й оси и переносим центр в точку (рг, рт) '!исленные значения функции распределения одномерной нормальноИ сл>чаИноИ величины могут быть получены из таблиц, приводимых в большинстве учебников по статистике.

Численные значения для г (х,, хг) = Р (Х! ~~ хм Хг < х ) = тле у! — — (х,— р,)/о, н уз=(х,— р )/ог, можно найти у Пи р сана (2К [3]. Пирсон также показал, что (,,) — ~ ь,-.г~ ),~(у,) (54) где так называемые четнрехклеточние (тетрахоричесние) функции тг(у) табулированы у П и рс о на (2К (3) до ты(у). Кз ндал л (2] показал, что выражение (54) может быть рас- пространено на Г(хн ..., х„), 2.4.