УМФ Тихонов (А.Н. Тихонов - Уравнения математической физики), страница 13

Процесс распространения волн изображен на рис. 13. Вначале процесс происходит так же, как и на неограниченной прямой. Заданное отклонение разбивается на две волны, движущиеся в разные стороны с постоянной скоростью, причем это продолжается до тех пор, пока волна, идущая налево, нс дойдет до точки х = О (рис. 13).

В этот момент с левой стороны (х < О),. на которой происходили аналогичные процессы, к точке х = О подходит волна с «обратной фазой». В последующие моменты про* исходит отражение волны от закрепленного конца. Это изображено в деталях на рис. 13. Профиль отражающейся волны укорачивается, отклонения исчезают, затем отклонения появляются с обратным знаком, и, наконец, отраженная волна пойдет вправо за ушедшей туда волной с той же скоростью.

Таким образом, при отражении волны от закрепленного конца струны ее отклонение меняет знак. Рассмотрим второй пример. Пусть на полуограниченной прямой х > О, закрепленной при х = О, начальное отклонение всюду равно нулю, а начальная скорость ф (х) отлична от нуля только в интервале (хы хз) (О < хз < хз), пРичем здесь 1Ь (х) = сонэк ПРодолжим нечет- но начальные данные. От каждого интервала (хы хз) и ( — хз, — хз) распространяются отклонения, подобные отклонениям, изображенным на рис. 14.

Как видно из рисунка, в начальной стадии в области х > О процесс идет так же, как и на бесконечной прямой. Затем происходит отражение от закрепленного конца, и, наконец, волна с профилем в виде равнобедренной трапеции с постоянной скоростью движется впра; во. Изучение отражения от свободного конца проводится аналогично, только начальные данные нужно продолжать четно, так что отражение волны от свободного конца будет происходить нс с измененной, а с той же фазой.

МЕТОЛ РАСПРОСТРАНЯ1СЩИХСЯ ВОЛН 73 Мы рассмотрели задачи с однородными граничными условиями и (О, 1) = р ф = 0 или ия (О,. 1) = и (1) = О. В общем случае неоднородных граничных условий решение представляется в виде суммы, каждое слагаемое которой удовлетворяет только одному из поставленных условий (либо граничному, либо начальному). Обратимся теперь к решению уравнения при нулевых начальных и заданном граничном условиях; и (и, 0) = О, ис(т, 0) = О,. и <О, 1) = д (1), 1 ) О. Очевидно, что граничный режим вызовет вол- Рис.

14 ну, распространяющуюся вдоль струны направо со скоростью а, что Рис. 15 подсказывает нам аналитическую форму решения и(т,1) = ~ (т — а1). Опредслим функцию 1 из граничного условия и (О,г) = 1 ( — аС) = р1г), откуда 1(я) = р(- —,), 74 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.

П так что Однако эта функция определена лишь в области х — ае < О, так как д(1) определена для 1 > О. На рис. 15 эта область изображается заштрихованной частью фазовой плоскости. Чтобы найти и(х, 1) для всех значений аргументов, продолжим функцию д(1) на отрицательные значения 1, полагая д(1) = О для 1 < О. Тогда функция и(х,1) =д(1 — — ) а будет определена для всех значений аргументов и будет удовлетворять нулевым начальным условиям. Сумма этой функции и функции (23), определенной в начале настоящего пункта, представляет решение первой краевой задачи для однородного уравнения колебаний.

Для полуограниченной струны у(х+ а1) + ~р(х — а1) 1 /' х + —, / ф(о)Но для 1< —, 2а а (24) и(х, 1) = х1 у (х + а1) — р (а1 — х) д 1 — -')+ ( ) + а 2 яты 1 х — / 1э(о)й~ для 1> —. 2а,/ а Аналогично может быть построено решение второй краевой задачи. О третьей краевой задаче см. и. 9, с. 83. Мы ограничимся здесь решением краевой задачи для однородного уравнения колебаний. Решение неоднородного уравнения см. в п. 9. 7.

Задачи для ограниченного отрезка. Рассмотрим краевые задачи для ограниченного отрезка (О., 1). Будем искать решение уравнения г ии=а и,„ удовлетворяющее граничным условиям и (О., 1) = дз (1), ( и (О, 1) = дэ (1), ) 75 ~ г) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН и начальным условиям и (х, 0) = ссз (х), ( ис (х, 0) = ссс(х), ~ Рассмотрим предварительно случай однородных граничных условий и(0,1) =и(1,1) =О. Будем искать решение задачи в этом случае методом продолжения, предполагая возможность следующего представления: Ф(х+а1) + Ф(х — а1) 1 и(х, 1)— 2а,/ где Ф и Ф функции, подлежащие определению.

Начальные условия и (х, 0) = Ф (х) = ссс(х), ( ис(х, 0) = Ф (х) = с1с(х),)с определяют значения Ф и Ф в интервале (О, 1). Рис. 16 Чтобы удовлетворить нулевым граничным условиям, наложим на функции Ф (х) и Ф (х) требования нечетности относительно точек х=О, х=1: Ф (х) = — Ф (-х), Ф (х) = — Ф (21 — х), Ф(х) = — Ф(-х), Ф(х) = — Ф(21 — х). 76 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Сопоставляя эти равенства, получаем Ф(х') = Ф(х'+ 21) (х' = — х) и аналогично для Ф(х), т. е.

Ф и Ф являются периодическими функциями с периодом 21. Нетрудно видеть, что условия нечетности относительно начала координат и условия периодичности определяют продолжение Ф (х) и Ф (х) на всей прямой — со < х < оо. Подставляя их в формулу (9), получаем решение задали.

На рис. 16 совмещены фазовая плоскость (х, 1) и плоскость (х, .и), в которой дано начальное отклонение и его продолжение. На фазовой плоскости штриховкой выделены полосы, внутри которых отклонение отлично от нуля (см. рис. 7). Знаки «плюс» и «минус», стоящие в этих полосах, указывают на знак (фазу) отклонения (в виде равнобедренного треугольника). Пользуясь рис. 16, легко представить себе профиль отклонения в любой момент й Так, в момент 1 = 21ла мы получим отклонения, совпадающие с начальными. Таким образом, функция и (х, 1) будет периодической функцией 1 с периодом Т = 21лла (см. с.

96). Рассмотрим теперь задачу о распространении граничного режима. Будем искать решение уравнения илл= а, и«, с нулевыми начальными условиями и (х, 0) = ~р (х) = О, ал (х., 0) = Ф (х) = 0 и граничными условиями лл (О., 1) = р(1), 1 > О. и(1., 1) = О,. Из результатов и. 6 вытекает, что при 1 < 1ла решением служит функ- ция и(х, 1) = 1л(1 — — ), где 1л(1) = х (д(1), 1>0: Однако эта функция не удовлетворяет граничному условию и(1,1) =0 при 1>11а.

Рассмотрим «отраженную» волну, идущую налево и имеющую пРи х = 1 отклонение, Равное лл(1 — 1лла). Ее аналитическое выРажение дается формулой 77 з 2) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯгОЩИХСЯ ВОЛН Легко убедиться, что разность двух волн есть решение уравнения при 2 < 21/а. Продолжая этот процесс далее., получим решение в виде ряда 1' 21П хй 1' 21П хй и(х, 1) = ~ р ) 2 — — — — ) — ~ р ~2 — — + — (, (25) а а1) )1 а а( п=о п=1 содержащего (для каждого фиксированного 1) только конечное число отличных от нуля членов, ибо с каждым новым отражением аргумент уменьшается на 21/а, а функция р(2) = 0 для 2 < О. Выполнение граничных условий проверяется непосредственно. В самом деле, положим х = 0 и выцелим из первой суммы отдельно первое слагаемое при и = = О, равное р (~).

Остальные слагаемые первой и второй сумм, соответствующие одинаковым значениям п, взаимно уничтожаются: это показывает, что и (О, 1) = р ф. Заменяя и на и — 1 и изменяя в связи с этим пределы суммирования, преобразуем первую сумму к виду Полагая теперь х = 1, непосредственно убеждаемся в том,что слагаемые первой и второй сумм взаимно уничтожаются'~. Формула (25) имеет простой физический смысл. Функция представляет собой волну, возбуждаемую граничным режимом при х = О, независимо от влияния конца х = П как если бы струна была бесконечна (О < х < оо). Следующие слагаемые представляют собой последовательные отражения от закрепленного края х = 1 (вторая сумма) и от края х = 0 (первая сумма). Аналогично функция дает решение однородного уравнения с нулевыми начальными услови- ями и(х, 0) = О, и1(х, 0) = 0 П Начальные условия также проверяются непосредственно, так как аргументы всех функций отрицательны при Г = 0 и выражение (25) при ~ = 0 равно нулю.

78 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П и граничными условиями и (О, 1) = О, и (1, Х) = р (1). На доказательстве единственности решения рассмотренной задачи и непрерывной зависимости решения от начальных и граничных условий мы не останавливаемся. 8. Дисперсия волн. Уравнение колебаний струны и„= а и,, г допускает решение в виде бегущей волны и = 7" (т т а1) произвольной формы. Общее уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами г— ип — а иги+ Ьггн+ Ьгб, + си = 0 (2б) с помощью указанной в гл. 1 подстановки и = иез*з "~, где Л = = 0,5 Ьг/аг, р = — 0,5 Ьм сводится к уравнению ии — аги,„.

+ си = О, (27) где с = с — (Ьг/2)г + (Ьг/2а)г. Покажем, что УРавнение (27) не допУскает решений в виде произвольной бегущей волны при с ф. О. В самом деле, подставляя и = 7' (я — аг) в (27), находим аг га — аг га + су" = О, откуда в силу произвольности 1 следует с = О. Импульс или сигнал произвольной формы может быть разложением в интеграл Фурье представлен в виде суперпозиции гармонических волн вида и(х Г) е~бл — ьх'1 где ы - . частота. Ь = 2я/Л волновое число (Л - длина волны). Скорость, с которой фаза волны а = ы1 — Ья перемещается в пространстве, называется фазовой скоростью волны и равна, очевидно, и = аг/к.

Если фазовая скорость гармонической волны зависит от частоты, то говорят о дисперсии волн. В этом случае гармонические составляющие сигнала смещаются друг относительно друга, в результате чего профиль сигнала искажается. Очевидно, что если уравнение не допускает решений в виде волн произвольной формы, то фазовая скорость гармонической волны зависит от частоты, т. е. имеет место дисперсия. Покажем, что для уравнения (27) имеет место дисперсия при с ф О. Подставляя в (27) и = ец ч ьг1, получаем уравнение, связывающее ы и й: агг — агйг + с = О. Отсюда следует, что фазовая скорость ы ы и= а г г+. зависит от частоты. При условии с = О, т. е.

для уравнения колебаний струны ии — — а и. х и = а не зависит от частоты и дисперсия г з 2) МКТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН 79 отсутствует. Условие с = О называют также условием отсутствия искажения. В качестве примера рассмотрим телеграфное уравнение (см. 8 1, и. 4) г„= СТ, ги+ (СЛ+ ВС) г, + СЛг. Полагая г = ие "г, где 1г = 0,5 (СЛ+ ЬС)/(СЬ), получаем для и уравнение и,, = СЬии+ си, где с = — (СЛ вЂ” Т,С)г/(4 СТ,). Отсюда видно, что при СЛ ф ТС сигнал по кабелю распространяется с искажением, так как имеет место дисперсия волн. Условие Л С СЛ = АС, или Т С' называется условием отсутствия искажения в линии.