УМФ Тихонов (А.Н. Тихонов - Уравнения математической физики), страница 11

10). Они определяют два угла аз и аз, называемые соответственно верхним и нижним характеристическими углами для точки (хо, Го). Действие точечного импульса в точке (хе, 1е) вызывает отклоне- 1 1 ние, равное — — внутри верхнего характеристического угла и нулю 2о р вне его. 4. Неоднородное уравнение. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения колебаний 1 он = п*~ + 1 (х г), — оо < х < со, 1 > О, ог (14) и (х, О) = ~р (х), ( ис (т, 0) = ф (х),/ Пусть юу (х, 1; т) решение вспомогательной задачи Коши 1 (шу)м = (шг)яя, оо < х < сю, 1 > т, (15) оз шу (х, т: т) = О, дюу (х, т; т) = 1" (х, т), 1 = т, — со < х < со. (16) Формула Даламбера (9) дает ята 0 — ~ ) 1 шу (х, 1, т) = юу (х, 1 — т; 0) = — / 1" (С, т) ЙС.

(17) 2а я — ар — ~ ] ~2) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯВШИХСЯ ВОЛН Перепишем формулу Даламбера (9) в виде дюе и (х, с) = (х, 1; 0) + юа (х, 1; 0), д1 где (18) у-,'-ос ю. (х, 1, 0) — ~ ср(с) йс 1 /' 2а юа (х, 1; 0) = — / ус (С) йС, 1 л — аС являются решениями задачи (15) (16) при т = 0 и 1 = ссс(х), Х = = ср(х) соответственно, так как непосрсцственное дифференцирование показывает, что леас дю„д 1 /' р(х+а1) ~-ус(х — а1) 2 ис(х,1)=а ю1(х,1;1)+а лс (х,1;т)йт= о =а / (х,1; т)йт, 2 дсоу / д1 о г дг сссс(х, С) =а (х,1:, С)+а / (х, Слт)йг = (20) и г д'ю = а / (х, р г)йт+а ((х, 1), дсг о с и„(х,1) =а ус (х,1; т)йт= ( (х,с;г)йт.

о о Отсюда видно, что функция (19) удовлетворяет уравнению (14). Из Докажем, что справедлива следующая лемма. Решение неоднородного уравнения (14) с нулевыми начальными данными ис (х, 0) = О, и (х, 0) = 0 имеет вид с и (х, с) = а / ну (х, с; т) йт. (19) е Дифференцируя функцию (19) и учитывая условия (16) для юу (х, 1; т), находим 64 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П формул (19) и (20) сразу следует, что решение задачи (14) в силу (18) и (19) можно представить в виде и(х,1) = п(х,1; 0)+ши(х,г; 0)+аг ( гоу(х,1; т)дт. (21) о Пользуясь выражением (17) для шу, получаем д(х+ а1) + ~р(х — а1) 1 / и(х, г)— 2 2а з' л-~-а 0 — -) + — / ( 1 ф т) д~дт. (22) о я — ар — О если только начальные значения иг (х, 0) = угг (х) иг (х, 0) = дг (х), ( д1 (х, 0) = чч (х) д1 (х, 0) = зог (х) отличаются друз от друга меньше чем на о: !Рг (х, 1) — Рг (х, 1)~ < б; ~1бг (х, 1) — фг (х, 1)~ < б Показательство этой теоремы чрезвычайно просто.

Функции иг (х, 1) и иг (х, 1) связаны со своими начальными значениями формулой (9), Прямая подстановка (22) в (14) показывает, что функция (22) в самом деле является решением задачи (14), если существукгт производные ~ов(х), ф'(х) и ду/дх. Из формулы (17) следует, что функция гоу удовлетворяет уравнению при 1 = г, если 1 дифференцируема по х, т. е. представление (21) возможно при тех же условиях, при которых решение задачи Коши существует. Формула (21) показывает, что решение общей задачи (14) может быть сразу написано, если имеется решение вспомогательной задачи (15) (16).

Аналогичная формула имеет место и для решения задачи Коши в неограниченном пространстве (см. гл. У). 5. 'Устойчивость решений. Решение уравнения (1) однозначно определено начальными условиями (2). Покажем, что это решение меняется непрерывно при непрерывном изменении начальных условий. Каков бы ни был промежуток времени [О, 1о) и какова бы ни была степень точности е, найдепгся такое б(е, 1о), чгпо всякие два решения уравнения (1) иг(х, 1) и иг(х,. Г) в течение промежутка времени 1о будут различаться меньше чем на е: ~иг (х, г) — иг (х, с)( < е (О < с < ео), МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН з 2) так что ~у1 (х + а1) — соз (х + а1) ~ ~из (х, 1) — из (х, 1) ~ < + 2 ~уЧ (х — а1) — 1оз (х — а1)( 1 (' 2 2а,/ откуда получаем б б 1 (из (х, 1) — из (х, 1)! < — + — + — д .

2а1 < б (1 + 1о), 2 2 2а что и доказывает наше утверждение, если положить е д = 1+ 1о' Всякий физически определенный процесс, развивающийся во вре- мени, должен характеризоваться функциями, .непрерывно зависящими от начальных данных. Если бы не было этой непрерывной зависимо- сти, то два существенно различных процесса могли бы соответство- вать практически одинаковым системам начальных условий (разли- чие которых лежит в пределах точности измерений). Процессы такого типа нельзя считать определенными (физически) начальными услови- ями.

Из предыдущей теоремы следует, что процесс колебаний струны не только математически, но и физически определен начальными усло- виями. Если решение математической задачи непрерывно зависит от до- полнительных условий (от начальных, .граничных данных и от правой части уравнения от исходных данных задачи), то говорят, что зада- ча устойчива. В связи с изучением физически детерминированных явлений вводится понятие корректности. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если; 1) решение задачи су- ществует, 2) задача имеет единственное решение, 3) решение задачи непрерывно зависит от исходных данных (устойчиво). Отметим, что некорректно поставленные задачи часто встреча- ются в приложениях и к их числу относятся многие хорошо известные математические задачи. Приведем пример некорректно поставленной задачи, решение ко- торой неустойчиво.

Функция и (х, у), являющаяся решением уравнения Лапласа и,, + ия„= О, однозначно определяется своими начальными услови- ями и(х, О) = у(х)., ия (х, О) = уз (х) П. Рассмотрим функции 1 и~~~ (х, у) = 0 и абб (х, у) = — гйпЛх. сЬЛу, Л П Эти условия математически однозначно определяют решение уравнения Лапласа. В самом деле, задание ик (х, О) эквивалентно оя (х, О), где 5 А. Н. Тихонов, А.

А. Самарский бб УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П удовлетворяющие уравнению Лапласа. Функция и(з) (х, у) зависит от Л как от параметра. Начальные значения 1 и"' (х, 0) = О, и(з~ (х, 0) = ~р (х) = — эшЛх, Л (х, 0) = О, ик (х, 0) = ф(х) = 0 различаются сколь угодно мало при достаточно больших Л. Однако при этом решение и(~) (х, у) может стать сколь угодно большим, каково бы ни было фиксированное значение у. Следовательно, задача с начальными условиями для уравнения Лапласа является некорректно поставленной.

Естественно возникает вопрос;могут ли нехорректно поставленные задачи вообще соответствовать каким-либо задачам математической физики? А также, какую научную ценность может представлять приближенное решение некорректно поставленных задач, поскольку малым ошибкам в условиях задач могут соответствовать большие ошибки решения? Подобные сомнения возникают в связи с тем, что в сказанном выше подразумевается, что в качестве приближенного решения задачи берется точное решение задачи, соответствующее приближенным условиям. Приведем пример некорректно поставленной задачи., имеющей важное практическое значение.

Рассмотрим задачу о нахождении производной з (х) = пу,?пх по равномерным приближенным значениям для 1 (х). Пусть мера точности при задании 1 (х) и определении й (х) задана как шах~((х) — 1(х)) и шах(й(х) — з(х)~. Очевидно, что эта задача с точки зрения приведенной выше терминологии неустойчива (некорректно поставлена). В самом деле, если ?(х) = 1 (х) + + боевых, где д > 0 мало, то шах(1 (х) — 1 (х)~ = б тоже мал.

Однако если мы в качестве приближенного значения й (х) выбрали бы точную производную для функции 1 (х), то 3' (х) = 1 (х) — бы в1п ых и шах ~й (х) — к (х) ~ = бы; бы при фиксированном б и большом ы может быть как угодно большим числом. Однако хорошо известно, что в качестве приближенного значения 1 (х + Ь) — 1 (х) производной берется разностное отношение , которое представляет исходную производную с как угодно малой погрешностью, если только 6 и б?'6 достаточно малы. Понятно при этом, что для получения хорошего приближения для йу?'йх по приближенному значению для 1 (х) погрешность б должна быть достаточно мала. Итак,.

в приведенном примере., несмотря на неустойчивость задачи., можно указать метод получения сколь угодно точных приближений для искомого решения по достаточно точным приближенным условиям задачи. в (х, у) функция, гармонически сопряженная цля и (х, у). Этим с точностью до постоянной однозначно определяется аналитическая функция, действительной частью которой является функция и (х, у) (см.

гл. 1У, З 1, и. 5). МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН 67 3 2) Подобное положение типично для многих нехорректно поставленных задач Некорректно поставленные задачи часто встречаются в физико при изучении объектов, недоступных непосредственному исследованию (измерению). В этих случаях приходится делать заключения о характеристиках «з» таких объектов по их косвенным 1физически детерминированным) проявлениям «и», доступным для экспериментальных измерений и связанным с «з» функциональной зависимостью вида Аз = и.