УМФ Тихонов (А.Н. Тихонов - Уравнения математической физики), страница 12

В результате мы приходим к задаче обработки наблюдений, которая является обратной задачей и состоит в определении характеристик «з» объоктов по данным «и» эксперимента. Многие из этих задач являются некорректно поставленными. В частности, приведенная выше задача Коши для уравнения Лапласа имеет непосредствонное отношение к обратной задаче гравиметрии 1об опрсдолении формы тела по создаваемой им аномалии силы тяжести). Приведенный выше пример о вычислении производной по приближенным значениям функции типичен для многих экспериментов, где измерения проводятся по принципу накопления.

Отметим теперь следующее обстоятельство. Очевидно, что функция и (х, 1), определяемая формулой (9), может быть решением уравнения (1) только в том случае, если функция зр (я) дифференцируема, а функция 1о 1т) дифференцируема дважды. Из сказанного ясно, что функции, изображенные на рис. 11 и 12, не могут являться решением уравнения (1), так как они не всюду дважды дифференцируемы.

о О зз Рис. 12 Рис. 11 Более того, можно утверждать, что решения уравнения колебаний, удовлетворяющего условиям (2), не существует, если функции 9з (х) и ф (х) не имеют нужных производных. Действительно, повторяя рассуждения, приведшие нас к формуле (9), мы можем утверждать, что если существует решение уравнения колебаний, то оно должно представляться формулой (9). Если же функции 9з (т), ф (т) не дифференцируемы достаточное число раз, то формула (9) определяет функцию, не удовлетворяющую уравнению (1), т. е. не существует решения этой задачи.

1 Лаврентьов М. М. О некоторых некорректных задачах матоматичоской физики. Новосибирск, 1962; Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач н методе регуляризации 0 ДАН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501 504: Тихонов А. Н. О регуляризации некорроктно поставленных задач 0 Там же. Т. 153, № 1. С. 49 -52:, Т и хо нов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода 0 Там же. 1965. Т. 161, № 5. С. 1023 1026.

68 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Однако если немного изменить начальные условия, заменив их дифференцируемыми функциями 1о (х) и ф (х), то этим начальным функциям уже будет соответствовать решение уравнения (1). Кроме того, заметим, что при доказательство теоремы настоящего пункта мы фактически доказали, что функции, определяемые формулой (9), непрерывно зависят от начальных функций уз (х) и ф (х) (независимо от того, дифференцируемы эти функции или нет). Таким образом, если некоторым функциям у (х), ф (х) не соответствует решение уравнения колебаний, удовлетворяющее условиям (2), то функция, определяемая формулой (9), является пределом решений уравнения колебаний с немного сглаженными начальными условиями.

Полученные таким предельным переходом функции называются обобщенными решениями. Понятие обобщенных решений, играющее большую роль в физике, было введено С. Л. Соболевым П. 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений. Рассмотрим задачу о распространении волн на полуограниченной прямой х > О. Эта задача имеет особенно важное значение при изучении процессов отражения волн от конца и ставится следующим образом. Найти рещение уравнения колебаний пи,,=изз при 0<х<ж, 1>0,.

удовлетворяющее граничному условию и(0, 1) = д(1) (или и, (О, 1) = о(1)), 1 > О, и на тльным условиям (О < х < оо). из(х, 0) = ф (х) ! Рассмотрим сначала случай однородного граничного условия и(0,1) =0 (илии, (0,1) =0), т. е. задачу о распространении начального возмущения на струне с закрепленным концом х = 0 (или свободным концом). Отметим следующие две леммы о свойствах решений уравнения колебаний, определенных на бесконечной прямой. 1. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой (задача (1) — (2)) являются нечетными функциями относительно некоторой точки хо, то соответствующее рещение в этой точке.

хо равно нулю. 2. Если начальные динные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой (задача (1) —. (2)) являются четными См. подробнее: Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М., 1992; Петр он ский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.

М., 1991. См. также Пополнение П1. з 2) МКТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН 69 ас и(0, с) = + — ф(о)сКо = О, 2 2а,с — аС так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности со (х), а второе равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю.

Аналогично доказывается лемма 2. Условия четности начальных данных имеют вид ср(х) = чс(-х), ф(х) = ф(-х). Заметим, что производная четной функции является функцией нечет- ной; р'(х) =- р'(- ). Из формулы (9) следует и, (О, с) = + — [ф(и1) — ус( — ас)) = О., й > О, ср' (а1) + ср' ( — а1) 1 2 2а так как первое слагаемое равно нулю в силу почетности ср'(х), а второе в силу четности ус(х)~с. Приведенное выше доказательство фактически опирается на формулу Даламбера и не связано с двукратной дифференцируемостью функции и(х, 1).

Тем самым доказано, что лемма 1 верна для любых функций, представимых формулой Даламбера, а лемма 2 для функций того же вида с дифференцируемой функцией ср (х), т. е. для обобщенных решений задачи (1) —. (2). При помощи этих двух лемм можно решить следующую задачу. Требуетпся найти решение уравнения (1), удовлетворяющее ничильным условиям и (х, 0) = р (*), ( 0 «, ис (х, 0) = ус(х),) (2') 0 Эти две леммы являются следствием того, что если начальные условия четиы (или нечетны), то и при С > 0 функция и(х, С), определяемая формулой Даламбера, обладает тем же свойством (предоставляем читателю доказать это). Геометрически очевидно, что нечетная непрерывная функция и производная четной дифференцируемой функции равны нулю при х = О. функциями относительно некоторой точки хв, то производная по х соответствуюизего решения в этой точке равна нулю.

Докажем лемму 1. Примем хв за начало координат, хв = О. В этом случае условия нечеткости начальных данных запишутся в виде р(х) = -р(- ), ф(х) = -ф(- ) Функция и (х, 1), определяемая формулой (9), при х = 0 и 1 > 0 равна 70 УРАВНЕЕ1ИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П и граничному условию и(0,1)=0, х>0 (первая краевая задача).

Рассмотрим функции Ф (х) и Ф (х), являющиеся нечетным продолжением ух (х) и Ф (х), входящих в условие (2'): р (х) для х > О, — ва ( — х) для т < 0; Ф (х) для х > О, — Ф ( — х) для х < О. Функция Ф (х + а1) + Ф (х — а1) 1 Р а(х, 8) = 2 2а / х — аС определена для всех х и 1 > О. В силу леммы 1 и (О, 1) = О. Кроме того, эта функция удовлетворяет при 1 = 0 и х > 0 следующим начальным условиям: и(х, 0) = Ф (х) = <р(х), х > О. ис (х, 0) = Ф (т) = Ф (т), ~р (х + ат) + ~р (х — а1) 2 + х ' аа 1 + — / ф (а) Иа для 2а,/ 1< —, х>0, а х — аа и(х,1) = (23) у (х+ ах) — ух(а1 — х) 2 + х а1 1 Р + — / ф (о) с~а для 2а,/ 1> —, х>0.

а аС вЂ” х Таким образом, рассматривая полученную функцию и(х, т) только для х > О, 1 > О, мы получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи. Возвращаясь к прежним функциям, можно написать ~ г) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН 71 В области 1 < х/а влияние граничных условий не сказывается, и выражение для и (х, 1) совпадает с решением (9) для бесконечной прямой. Аналогично, если при х = О мы имеем свободный конец: ил(О, г) = О, то, взяв четное продолжение функций р (х) и Ф (х) ) ьз(х) для х > 1), '(~п ( — х) для х < О; / 1У (х) для х > О, 1 ф ( — х) для х < О, получим решение уравнения колебаний Ф (у + а1) + Ф (х — 1) 1 Р и(х, 1)— 2 2а ./ ч — ы или ~р(х+ аг) + ~р(х — аг) 1 1 х + — / ф(о)до для 1< —, 2 2а / а ~р (х + а1) — ьз (а1 — х) 2 + и(х,1) = леы ы — л + — й(о)до+ ф(о)сЬ для 8 > —, 2а у д ! а е в удовлетворяющее в области х > О начальным условиям (2) и граничному условию и (О, 1) = О.

В дальнейшем при решении различных задач нам часто придется пользоваться методом продолжения на бесконечную область начальных данных, определенных на некоторой части этой области. Поэтому мы еще раз сформулируем полученные результаты в виде слсдующих двух правил. Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием и (О, 1) = О начальные данные надо продолжить на всю прямую нечетно. Для решения задачи на полуограничснной прямой с граничным условием и (О, 1) = О начальные данные надо продолжить на всю прямую чегано. Рассмотрим два примера.

Пусть начальные данные на полуограниченной прямой, закрепленной при х = О, отличны от нуля только в 72 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П интервале (а, Ь), О < а < Ь, в котором начальное отклонение, даваемое функцией д(х), изображается равнобедренным треугольником, а ф(х) = О. Решение этой задачи будет получено, если начальные данные нечстно продолжить на бесконечную прямую.