УМФ Тихонов (А.Н. Тихонов - Уравнения математической физики), страница 10

П где те и С постоянные. Из равенств Л (и) + Уз (и) 'Р (т) 1 Р .(1 (х) ,(2(х) ф (о)с(о + С яе находим 1 1 Г С Л( ) = -р( )+ — / ф(п) 1о+ —, 2 2а,/ 2' яе (8) 1 1 С Л ( ) = -1 ( ) — — / ф (о) 4о — —. 2 2а,/ 2 яе Таким образом, мы определили функции (з и уз через заданные функции у и ф, причем равенства(8) должны иметь местодлялюбого значения аргументаН. Подставив в (5) найденные значения 11 и уз, получим или яе а р(т+ а1) + у(т — а1) 1 2 2а,/ Формулу (9), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи.

Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (1) (2), то оно бы представлялось формулой (9) и совпадало с первым решением. Нетрудно убедиться, что формула (9) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции ез и однократной дифференцируемости функции ф) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи. Н В формуле (5) функции Уз и Уз определены неоднозначно.

Если от Уз отнять, а к тз прибавить некоторую постоянную См то и не изменится. В формуле (8) постоянная С не определяется через у и ф. однако мы можем ее отбросить, не меняя значения и. При сложении Уз и ~з слагаемые С/2 и — С/2 взаимно уничтожаются. МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН 57 з 2) 2. Физическая интерпретация. Функция и (х, 1), определяемая формулой (9), представляет процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать 1 = 1о, то функция и(х, 1о) дает профиль струны в момент яо, фиксируя х = хо, получим функ- цию и(хо, 1), дающую процесс движения точки х = хо (рис.

4). Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке х = 0 в момент 1 = О, движется со скоростью а в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая х' = х — а1, Р = й В этой подвижной системе координат функция и, (х, 1) = = 1" (х — а1) будет определяться формулой и = 7'(х') и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный о аз момент. Следовательно, функция и (х, 1) = Рис.

4 = 1 (х — а1) представляет неизменный профиль 7 (х), перемещающийся вправо (в положительном направлении оси х) со скоростью а (распространяющуюся или бегущую волну). Функция 1(х -~- а1) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся влево (в отрицательном направлении оси х) со скоростью а. Таким образом, общее решение (9) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн 1"з (х + а1) + 5з (х — а1), одна из которых распространяется вправо со скоростью а,, а вторая влево с той жс скоростью. При этом 1 7з (х+ а1) = — ~Р(х+ а1) + Ф(х+ аЬ), 2 1 уз (х — а1) = — ~р (х — а1) — ф (х — а1 ), 2 где Пля выяснения характера решения (9) удобно пользоваться плоскостью состояний (х, г), или фазовой плоскостью.

Прямые х— — а1 = сопзс и х + а1 = сопз$ являются характеристиками уравнения (1). Функция и = 1 (х — а1) вдоль характеристики х — а1 = сопзс сохраняет постоянное значение, функция и = 1 (х+ а1) постоянна вдоль характеристики х+ а1 = сопзС. Предположим, что 1(т) отлична от нуля только в интервале (хы хз) и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики х — а1 = х1 и х — а1= хз через точки (хы 0) и (хз, 0); они разбивают 58 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П полуплоскость (х, г ) 0) на три области: 1, П, и П1 (рис.

5, а). Функция и = у'(х — а$) отличнаот нуля только вобласти П, где х1 < х — аг < хг и характеристики х — аг = хг и х — а1 = хг представляют передний и задний фронты распространяющейся вправо волны. о я, о Р(хо — ыо,о) с)(хо+ аоло) Рис. 5 некоторую фиксированную точку (хе, 1е) характеристики х — аг = хе — аге и х + + ит = хе + а1е, которые пересекут ось х в точках хг = хо — ого, =0 и хг =хе+ага 1=0. Значение функции и = уг (х — ог) + + уг(х+ аг) в точке (хо, го) равно н (хе, ге) = г1 (х1) + гг (хг), т. е. определяется значениями функций (г (х) и (г (х) в точках (ты 0) и (хг, 0), являющихся вершинами треугольника МРс) (рис. 5, б), образованного двумя характеристиками и осью х. Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки (хе, ге). Из формулы (9) видно, что отклонение и(хе, бе) точки струны в момент ге зависит только от значений начального отклонения в вершинах Р(хе — аге, 0) и с) (хе + аге, 0) характеристического треугольника МРс) и от значений начальной скорости на стороне бенно ясным, если формулу (9) записать в Рассмотрим теперь и проведем из нее обе о ая Рис, б РЯ.

Это становится осо виде (М) е (~ )+Зг(б ) 1 / ~ ( )) 2 2а,/ (10) Рсг МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН 59 з 2) Начальные данные, заданные вне Рг1, нс оказывают влияния на значения и(х, 1) в точке М(хщ 1а). Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке РЯ„то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок РЯ,. 3. Примеры.

Решение (9) можно представить в виде суммы и = =и~ (х,1)+из(х,1), где 1 из (х, 1) = — [р (х — а1) + Зз (х + а1)), 1 Р из(х.,1) = Ф(х+а1) — Ф(х — а1) = — / ф(о)йо. (12) 2а,/ я — ы Если начальная скорость равна нулю (ф(х) = О), то отклонение и = = из (х, 1) есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией 0,5 ~р (х), равной половине начального отклонения. Если же р (х) = О, то и = из (х, 1) представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью. Пример 1.

Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка [хы хз). На рис. 6 даны последовательные положения струны через промежутки времени ьз1 = (хя — хз),1(8а). Наглядное представление о характере процесса распространения можно по- !П лучить с помощью фазовой плос- 1У 11 кости (х, 1). Проведем характеристики через точки Р (хы О) и у 1 1,) (хз, О); они разобьют полуплоскость ( — оо < х < оо, 1 ) О) на шесть областей (рис.

7). Отклоне- Рис. 7 ние из (х, 1) в любой точке (т, 1) дается формулой (11). Поэтому в областях 1, П1, У отклонение равно нулю, так как характеристический треугольник любой точки из этих областей не имеет общих точек с отрезком [хы хз), на, котором заданы начальные условия. В области П решением является правая волна и = 0,5д(х — а1), в области 1Ъ' левая волна и = 0,5р(х+ аК), а в области У1 решение есть сумма левой и правой волн. Пример 2. Пусть начальное отклонение д(т) = О, а начальная скорость отлична от нуля только на отрезке [хы хз), где она принимает постоанное значение УЗе. .УЗ (х) = 1гв пРи хз < х < хз, УЗ (х) = 0 пРи х ) хз и х < хы В этом случае решением является функция из (х, 1).

60 УРАВНЕЕ1ИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Вычислим функцию Ф [х), выбрав при этом хо = 0 (рис. 8): 1 /' я 0 при х < хы Ф (х) = — й [о) Йх = [х — хг) Фо/2а при хг < т < хг, (13) 2а у о (хг хг)уе/2о при х > хг. Ф(х+ аХ) = Ф [т — ас) = сопяг, и(х, С) = О. В области Ч [х+ аг < хг) Ф[х — аЦ =Ф(х+аг) =О, и[х,1) =О.

В области Н1 [х — аС < хы х + ас > хг) хг г1 Ф [х+ аг) = солзФ = Фо, 2а Ф(х — а1) = О, и(х, 1) = 'Фо. 2а В области П (хи < х — а1 < хг, х + аС > хг) Ф(х+а1) = ' Фо; 2а хг — [х — ас) и(х, 1) = Фо. 2а х — аг — хг Ф(х — а1) = Фе 2а В области 1Ч [хг < х+ аг < хг, х — аг < хг) х -~- ог — хг Ф [х+ а1) = гго, 2а х+ а1 — х, Ф [х — иг) = О, и (х, 1) = Фо 2а Решение иг [х, 1) есть разность правой и левой волн с профилем Ф (х). Последовательные положения этих волн через промежутки времени Ы = [сг — хг)/(8а) изображены на рис. 9. Профиль струны для 1 > > 4Ьг имеет форму трапеции, расширяющейся равномерно с течением времени.

Если Ф (х) отлично от постоянной на [хы хг), то изменится лишь профиль Ф(х). о Для выяснения характера реше- ния воспользуемся фазовой плоскоРис. 3 стью (х, 1) [см. рис. 7). Напишем выражения для и [х, 1) в различных областях фазовой плоскости. В области 1 [х — а1 > хг) МЕТОЛ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН В области У1 (х — а~ ) хы х + а~ ( хз) х+ а1 — х~ Ф(х+п1) = . Фо, 2а х — а1 — х~ Ф (х — а1) = фе, и(х, г) = $Фо. 2а, и хг — х~ ва Рис.

9 Пример 3. Рассмотрим задачу о колебаниях струны под действием сосредоточенного импульса. Сообщая в начальный момент точкам струны (х, х+ Ьх) постоянную скорость фе (например, ударяя струну молоточком), мы прикладываем к етому участку импульс 1, равный изменению количества движения при 1 = О, так что 1 = = рЬхфе, где р линейная плотность струны. Таким образом, мы должны решить задачу о колебаниях струны с нулевым начальным от- 62 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П клонением и начальной скоростью ф = 1е(р = фе на интервале (х, х + + Ьх), ф = 0 вне этого интервала; здесь 1е = 1(Ьх — плотность импульса.

Анализ решения этой задачи был дан выше при решении примера 2. Отклонение, вызываемое импульсом, распределенным на интервале (х, х + Ьх), представляет собой при 1 > Ьх!(2а) трапецию с нижним основанием 2а1+ Ьх и верхним 2а1 — Ьх. Совершая предельный переход при Ьх — э О, 1 = сопз1, видим,что отклонения будут равны нулю вне (х — о1, х+ а1) и !~(2ар) внуО~ три этого интервала. Можно условно го(х Л ) ворить, что эти отклонения вызываются ха, М) точечным импульсом Д Рассмотрим фазовую плоскость (х,1) и проведем через точку (хо, 1е) обе о характеристики: х — ай=хо — аэо, т+аг=хо+аэо Рис. 10 (рис.