Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981), страница 4

!У Если для функции г(з, <) яЕоЯ) существует после.довательность [го(в, <)) он С (<1) такая, что !пп езззнр ~',го(з, 1) — г(з, 1) <оде=О, о <~<о, г<о' то г(з, 1) также имеет след г(, <) ен Ее[0, 1) при каждом <ен[0, Т), причем существует эквивалентная функция, значения которой совпадают со следом г(, 1) при всех 1~[0, Т) [35). Остальные обозначения, определения и факты из функционального анализа будем приводить ниже по мере надобности. 5 2. Градиент. Условия оптимальности 1. При исследовании экстремальных задач в банаховых пространствах, как и в случае и-мерного пространства Е", большую роль играет понятие градиента функции. О п р е д е л е н и е 1.

Пусть  — некоторое банахово пространство, пусть функция 1(и) определена в некоторой у-окрестности 0(и, у) =(о: о он В, <<о — и((у) точки и. Говорят, что функция 1(и) дифференцируема в точке и, если существует элемент 1'(и) ен В* такой, что приращение функции можно представить в виде Л1 (и) = 1 (и + И) — 1 (и) = (1' (и), И)в+ о (И, и), (1) где )И)в(у, <о(И, и) ЯИ<<в- 0 при )И!в-о-О.

Величина о(1(и) = (1' (и), И)в представляет собой главную линейную часть приращения (1) н называется дифференциалом функции 1(и) в точке и, а элемент,/'(и) из В" — первой производной пли градиентом этой функции в точке и. Если градиент существует, то он определяется однозначно. В самом деле, если 1[(и) и 11(и) — два градиента функции в точке и, то из (1) имеем (1< (и) — 1;(и), И) =о<(И, и) — оо(И, и) при всех И, ~ И ) ( у. Возьмем произвольный элемент е ~ В, еФО, и положим И= ге, 0(1(<о=у/<~е'.

Тогда (1[(и)— — 1о(и), е)<=о(<), где 1!<п о(<)<-'=О. Поделив на < н о -ьо устремив < к +О, отсюда получим (1< (и) — 1о(и), е) =О при всех е ~ В, т. е. 1< (и) = 1[(и). 1В Нетрудно видеть, что если функции l (и), 6(и) дифференцируемы в точке и, то функция д(и) =аl (и)+()6(и) прп лю: ых действительных я, р также дифференцируема в этой точке, причем д' (и] = ц/'(и) + ()6' (и), далее, если функция,/ (и) дифференцируема в точке а с= В, а функция /(1) одной переменной дифференцируема в точке 1=/(и), то сложная функция д(и) = — 1(/ (и)) дифференцнруеча в точке и, причем справедлива формула д' (и) =1' (/ (и)) Г (ц).

В самом деле, если /(1+Л1) — /(1) =/' (1) Л1+о, (Л1, 1), той(и+Ь) — й(и) =-/(/(и+Ь)) — /'(/(и)) =1'(/(и))Л/(и)+ -(-о,(Л/(и), /(и)) =/" (3(и))(/'(и), Й) +/'(/(и))о(й, и) + + о, (Л/(и), У (и)) = (Г (/(и)) Г (и), й,'+о, (Ь, и), где о,(6, и)1,,'Ь(- 0 при,',Ь) — ~-0. Очевидно, если функция дифференцируема в точке и, то она непрерывна в этой точке в метрике пространства В. Определение 2. Функция /(и) называется непрерывно диффгрснцирусной на множестве У из банахова пространства В, если оиа дифференцируема во всех точках и~(/ и ~ Г(п+й) — Г(и))в*-~О при )п)а- 0 для всех и, и+Ь ~ (/. Множество всех функций, непрерывно дифференцируемых на (/, будем обозначать через С'((/).

Заметим, что определение 1 предполагает, что если функция У(и) дпффсренцируема в точке и~(/, то она определена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому, говоря о принадлежности функции l (и) множеству С'((/), обычно подразумевают существование некоторого открытого множества )Р' из В, которое содержит (/ и на котором определена эта функция. Приведем несколько примеров дифференцируемых функций в банаховых и гильбертовых пространствах. П р и м е р П Пусть Н вЂ” гильбертово пространство.

Тогда функция /(и) =) и () = (и, ц)н дифференцируема во всех точках и еп Н, так как /(и+Ь) — I(и)=(2и, й)н+(й, Ь)н. Отсюда следует, что /'(и) = 2и и /(и) е=-С'(Н). П р и м е р 2. Пусть оператор А ен Х(Н вЂ” Н), где Н— гильбертово пространство, Ь вЂ” фиксированный элемент из (9 Н. Рассмотрим функцию у(и)= -(Аи, и) — (Ь, и), и ~Н. 1 Приращение этой функции представимо в виде , г (и+Ь) — 3 (и) = 2((А и, Ь) + (и, АЬ)) — гЬ, Ь) + -2- (А/г, 6) = -2. (А+ А*) и — Ь, Ь + -2 (АЬ, Ь), )2 где А* — оператор, сопряженный к оператору А. Отсюда следует, что У (и) дифференцируема во всех точках и ен Н, причем ее градиент равен 7'(а) =, (А+А*) — Ь Нетрудно видеть, что У (и) ен С'(Н). В частности, если А — самосопряжеиный оператор, т. е.

А*= А, то )'(и) == Аи — Ь. П р и м е р 3. Пусть  — банахово пространство, Н— гильбертово пространство, Л я Х (В - Н), Ь ея Н. Рассмотрим функцию з' (и) =,', Аи — Ь "и, и е= В. Имеем .((и+ Ь) — 2 (и) = 2 (Аи — Ь, ЛЬ)и+! АЬ (й = = (2Л*(Аа — Ь), Еа+(А "Ай, Ь.,'а, где А* сна(Н- Вб) — оператор, сопряженный к опера- тору А. Отсюда следует, что У(и) ~ С'(В), причем з" (и) = 2А" (Аи — Ь).

Пример 4. Пусть 4 /б ,7(и) =~ ДА(а, () и (() Ж вЂ” Ь(а),'г(а, с а гд Ь() (.,,'с, 1, А)э, 1) —.(,(Е, гг=)(а, () Вб: о-=ам й, а(((Ь). Пользуясь теоремой Фубини [11, 1571, 30 имеем ,) (и -(- й) — ) (и) = 2 с) 1 с) А (з, О и (О ссс— а а ,с 1с — Ь(з)) $ А (з, Е) й Я) с($с(з+ $~$ А (з, ~)й (() сУ) с(з= а 'а э 1 /Ь 1(а1аа, сс(1са, а чан-см)а!сасс-~ а с а а а /а + ~ ~ ~ ~ А (з, () А (з, с) с(а ) й (1) й (а) сс( И$. Отсюда следует, что ) (и) непрерывно дифференцируема на Ь,(а, Ь], причем с( )=21Ас, а(1Аа, а сай — с(а1сц, с а Предлагаем читателю вывести эту формулу, пользуясь результатом примера Ь. и Пример б. Пусть У(и)=~Е(и(())Ж, где Р(и) — иеа прерывно дифференцнруемая функция одной переменной и енЕ', а и= и(1) я С(а, Ь). Тогда 1(и+й) — у(и) =$Р'(и(1))й(1) г((+ о(й, и), а где о(й, и) =) (г"'(и (()-)-а (()й (()) — Г (и(1)))й(1) й.

Так а как Р' (и) непрерывна, то при й",с-э О будем иметь Р' (и (1) + а (() й(()) — Е' (и(()) — О равномерно по(~(а, Ь1. Тогда о (й, и)/~ й 1с ~ ~ , 'г"' (и (() + 0 (1) й (1) ) — Р' (и (1)) , 'й -а- О а прн, й с — «О, Таким образом, У(и) дифференцируема на С(а, Ь). Другие содержательные примеры дифференцируемых функций, связанных с задачами оптимального управле- ния процессами, описываемыми обыкновенными диффе- ренциальными уравнениями, разностными уравнениями и уравнениями с частными производными, будут рассмот- рены ниже, 21 2. При исследовании экстремальных задач в банаховых пространствах могут быть использованы также и вторые производные. 0 п р е де л е н и е 3.

Пусть  — банахово пространство и пусть функция 1(и) определена в некоторой у-окрестности 0(и, у) точки и ев В. Говорят, что функция 1(и) двтйды дифференцируема в точке и, если приращение Л1(и) = 1(и+й) — 1(и) можно представить в виде б1=<1'( ) й>+2 (1" ( )й, й)+а(К ), (2) где 1'(и) — градиент функции 1(и) в точке и; оператор 1" (и) ~ Х( — В"), порождающий симметричную билинейную функцию (1" (и) и, г), и, г е= В, называют второй производной функции 1(и) в точке и; квадратичную форму де1 (и) = (1" (и) и, й) называют вторым дифференциалом этой функции в точке и; а(п, и)/(й)е-~-0 при ~й) — О. Функция 1(и) называется дважды непрерывно дифференцируемой на множестве (1~ В, если она дважды дифференцируема во всех точках и~(1 и 11" (и+й)— — 1" (и)1- 0 при (й)-нО при всех и, и+и ~ К Множество всех функций, непрерывно дифференцпруемых на У, будем обозначать через С'((1).

Нетрудно видеть, что функции из примеров 1 — 4 дважды непрерывно дифференцируемы на рассматриваемых пространствах, причем вторая производная функции из примера 1 имеет вид 1"(и) = 2Е, где Š— единичный (тождественный) оператор на Н; в примере 2 1" (и) = = (А+А*)12 в примере 3 1" (и) =2А*А, в примере 4 1" (и) = 2~ А (в, () А (в, $) йв, с 3. Если функция 1(и) ен С'(У) или С'((1) и точка и+(й принадлежит У при всех (, О ((( 1, то функция ~ (О = 1 (и + Й) переменной ( принадлежит С'(О, 11 или С'(О, 1) соответственно, причем ~'Я=(1'(и+1й), Ы, )" (()=(1" (и+Я)Ь, й), 0==.(==. 1, и, кроме того, справедливы следующие формулы конечных 22 приращений: ./(и + Ь) — l (и) = 1 = ~ (1' (и+1Ь), Ь) с(1 =(/'(и+9,Ь), Ь) о = (/' (и), Ь) + 2 (/" (и+ 9аЬ) Ь, Ь), (/'(и+и) — У'(и), Ь) =(ам(и+8аЬ) Ь, Ь), где 0(9о 9ь, 8а(1.

Эти формулы вытекают из опре- делений 1 — 3 и доказываются дословно так же, как аналогичные формулы (2.3.1) — (2.3.4) из !'4). В частности, если 1/ — выпуклое множество, то эти формулы верны для любых и, и+Ь ен 1/, Определение 4. Множество (/ из линейного про- странства называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя своими точками и и о и отрезок (и, с] = (и,„= ао+ (1 — а) и, 0 = а ~ 1), соединяющий эти точки. Определение 5. Пусть 1/:-'В и функция У(и) принадлежит С' ((/). Скажем, что градиент Г (и) этой функции удовлетворяет условию Липшицп на множестве 1/ с константой 1.~0, если 1/'(и) — /'(о) )в*=1,(и — о)в при всех и, вен(/.

Класс таких функций будем обозна- чать через С' '((/). Функции из примеров 1 — 4 принадлежат классу С" на рассматриваемых пространствах, причем в примере 1 1.=2, в примере 2 1,=(А 1, в примере 3 1.=2(АаА)== (2(А)Р, в примере 4 /ь ь/л ~ 1/э 1.=2 ~ $ $ Д А (з, 1) А (э, 5) с(э~ й$с(/) !а а с ьв ~2~ ~ А'(в, 1) ь(вс(1.

ас Лемма 1. Пусть (/ — выпуклое множество из В, 1(и) в= Сьл ((/). Тогда ( У (и) — У (о) — (/' (о), и — о) ~ ( 1, ~ и — о (ь/2 при всех и, о ~(/. Показательство проводится дословно так же, как доказательство аналогичной леммы 2.3.1 из 141. 229 4. При исследовании экстремальных задач в банаховых пространствах важную роль играют такие понятия, как выпуклая и вогнутая функция, строго выпуклая, сильно выпуклая функция. Определение 6. Функция У(и), определенная на выпуклом множестве У, называется выпуклой на этом множестве, если У (ии+ (1 — а) о) еь У (и) + (! — а) ) (о) при всех и, оенУ и всех ага(0, !). Если в последнем неравенстве равенство возможно только при а=О и а= 1, то функция У (и) на:ывается строго выпуклой на У. Функцию / (и) называют вогнутой (строго вогнутой) на выпуклом множестве У, если ( — г'(и)) выпукла (строго выпукла) иа У.