Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981), страница 3

Приведем определения и обозначения некоторых конкретных банаховых и гильбертовых пространств, которые нам понадобятся в дальнейшем. В конечиомерном линейном вещественном пространстве Р" точек и = (и', ..., а") наряду с евклидовой норл ~и2 мой ~и)=( ~ ~и'!') могут ~ ыть введены различные друч=! / л гоч гие нормы. Например, полагая ~ и! = ~ ~,' иг!в ~ при 1~р <со или 'и', .= п1ах (и'(, получим различные 1.'.- ' ( л банаховы пространства Кр, 1(р < со.

Пространства Кр !2 и р,", где р-'+д-'=! при 1(р(со, д=! при р=оэ „,) = оа при р = 1, являются взаимно сопряженными. В частности, (К) = й," = Е". Заметим, что все нормы в й" зквнвалентны, т. е. если )ий и !и1п — какие-либо две нормы в Р", то найдутся числа сн с,)0 такие, что с,(и), ~ ~и!п(с,1ий при всех вен К". Заметим также, что в любом конечномерном банаховом пространстве понятия сильной и слабой сходимости равносильны. Через !я, ! ( р ( со, будем обозначать банахово пространство последовательностей и = (и', ..., и", ...) с конечной нормой ! и й = ~ У, ~ иь,'к) .

В случае р = оо под 1 а=~ понимают банахово пространство последовательностей и = (и', ..., и", ...) с конечной нормой ';и'~г =вар~и'~, х Можно показать, что 1)гп ,'~и 0 =',и "~ для всех и ен( ОЭ Сопряженным для (р, 1(р(со, пространством является пространство 1, где р, д связаны равенством р-г+д-'=1 при 1<р(со и д=+ ж при р=!. Описание сопряженного к ( пространства см. в !87, 110).

Пространство ( прн ! (р оо рефлексивно. Пространство 1, является гнльбертовым со скалярным произведением (и, о)и = иЪ' и с нормой (и "и =((и, и))ь'. ~=! Пусть 6 — некоторое фиксированное измеримое по Лебегу множество из евклидова пространства Е". Через 1.~, (6), где 1 == р ( оо, г — целое положительное число, будем обозначать банахово пространство измеримых вектор-функций и= и(Г) =( '(Г), ..., и" (Г)), Г ен 6, с конечной нормой ! и) = !') ~ и (Г) !г, г(1 ~ гк Р ( Е~ Если р = со, то через Е.' (6) будем обозначать банахово пространство ограниченных измеримых вектор-функций и=и(Г) =(и'(Г), ..., и'(()) с нормой ~ и!с~ = езззнр ~ и (1) ~а~ =!П1 знр, и (() 'а6 п~ в ю пев где о=о(Г) пробегает множество всех измеримых вектор- функций, совпадающих с и(Г) почти всюду на 6, Можно 13 показать, что 1пп ) и)с =1и)с для всех и ~Е„(б).

Если о Р г= 1, то вместо Е'(6) будем писать просто Ер(6), 1== ( р(+со. Если р= 2, то пространство Е;(6) является гильбертовым пространством со скалярным произведением / (и, о)с,= ~ (и ((), а (!)) ° й-~( ~Х, 'и'(1) о'(1),'д(; а а '~'=! тогда ~ и )г, = (и, и)ьп Пространство Е;, (6) прн 1 < р < <оо является рефлексивным, а при р=1 и р=со оно нерефлексивно. Сопряженным для Е' (6), 1 < р < оо, является пространство 1.,',(6), где 1 < д< со, р-'+а-'= 1, для 7,' (6) сопряженным является пространство Е",- (6); описание сопряженного пространства для Е' (6) см. в (87, 110;. Через С (6) будем обозначать банахово пространство непрерывных на замкнутом множестве б функций с нормой )и)с=янах, 'и(1) и это пространство нерефлексивно; ива описание сопряженного к нему пространства см.

в 187, 1101. Пусть множество 6 из Е" имеет цепустую внутренность. Через С (6) будем обозначать множество функций, бесконечно дифференцируемых на множестве 6. Говорят, что функция 1" (в)=7" (в„..., в„) впЕ,(б) имеет абабп)енную производную д1 (з))дв;=),.(з) по переменной в; в 6, если 1,. (в) ~ Ц (6) н '1 р (в) ~, (в) дз = — ~ гр., (в) 1' (в) дз а а для любой функции ф(з) ~ С" (6), обращающейся в нуль в некоторой приграничной полосе множества 6; здесь ср,, (в) — частная производная функции ~р(в) по переменной вп Через Н'(6) (или ЯГ,'(6)) принято обозначать гиль. бертово пространство функций 1"(в) ен Ез(6), обладающих обобщенными производными ), (з) ен Е,(6) по всем переменным в„ ..., в„, причем скалярное произведение в этом пространстве определяется так: а норма имеет вид У)н =((7", ))н)ц'.

14 Через Н" (С) [или )(7, (6)) обозначают гильбертово пространство функций [(з) е= Е! (6), обладающих всеми обобщенными частными производными до порядка л! включительно, принадлежащими Е! (6); скалярное произведение в Н (6) определяется равенством (1 И)и'"=- д ! "' !1(!) !) ! ' "' ! пд(!) !1з, !!3 !!! !!!! т!! а !!(е,„'-...ч-е (т да! ... дзл д! ... дз„ а ноРма имеет вид [[[и — — [(1, [)!! )!!'. Ниже нам понадобятся пространства Н, (6), т~1, представляющие собой обобщение пространств Н" (6) на случай г-мерных вектор-функций. Приведем соответствующие определения для случая, когда 6=-[а, Ь)= [(ен Е'. а~((Ь[, а(Ь.

Через Н, [а, Ь[ обозначим гильбертово пространство вектор-функций и= и(() =(и!((), ..., и'(1)) ен ы (, '[а, Ь[, обладающих обобщенными производными !!!и (!) Я!и! (!) и!и'(0 '! — ! =1, т, при!:адлежащими Л! !и' !и! Е! [а, Ь[; скалярное произведение в этом пространстве определяется равенством ь| !!! а норма равна / ь/ [и) „=[(и, и) „)!!'= ~ ~п(()р.+ ~ ) — () ( !(1 а ! =! Удобно считать, что Н,"[а, Ь[=Е,'[а, Ь~). Можно показать [35, 169, 204[, что если и(!) ен Н, [а, Ь[, т== 1, то и((), !!и (0 !!!!! Чи (!) — представляют собой абсолютно непрерывныг вектор-функции на отрезке [а, Ь[. Пусть Я=6к[0=1~Т), 6 ~ Е", Т вЂ” заданное положительное число.

Через Н"''Я) будем обозначать пространство функций ((з, !) ~ Е!(6), обладающих обобщен! ! е " '~ УЧ (а ными частными производными — —, —,' ен Е, (Я); д'!!" д'л" !5 0(1,-)-...+(„~т, ' е-=1,,(9, 1=1, д; это прод'1(ь 1) ди странство является гильбертовым со скалярным произведением ® Ын,е= т Ю = ~ ()(, 1), (, 1)) ., (1+ ~ ~ ) "' " "" 0 бз (1 'О "о и нормой )/~„„ь,=я, д)„,)п'. При постановках краевых задач для уравнений с частными производными и связанных с ними задач оптимального управления важное значение имеет понятие следа функции, обобщающее понятие значения функции для классов разрывных функций. Мы здесь ограничимся следующим определением (более общие определения см.

в 135, 157)). Определен не 2. Пусть Я=((з, 1): 0(з(1, 0( -.=1~Т) и пусть функция ге а(з, 1) ~=),ф), Функция д(з) е-=).,(0, Л называется следом функции г(з, 1) при 1=-т, если для любого е) 0 найдется число б,.ъ 0 такое, что для почти всех 1еи(0, Т"), для которых ~1 — т, <6, имеет место неравенство 1 )(з(з, 1) — а(з) ~ (з(' о Если след функции г(з, 1) при 1=т существует, то его будем обозначать через г(з, т), 0(з —.-1, или г(, т). Аналогично определяется след г (з, ) е- а (з, 1), 0-=1( Т, при каждом фиксированном з еи(0, 1).

Можно показать, что если след функции существует, то он определяется единственным образом. Если функция г (з, 1) непрерывна на 1',>, то след г(, 1) этой функции при каждом 1е-=(0, Т*) совпадает со значением этой функции, представляющим собой функцию г (з, 1) переменной з ~ (О, 1) при фиксированном 1. Пусть ге а(з, 1) ен1.,(Я). Напоминаем, что под элементом из А,(1)) понимается не одна функция, а класс эквивалентных функций, т.

е. функций, отличающихся друг от друга на множестве нулевой меры. Поскольку мера множества (l,=((з, 1): 0(з(1, 1=т) равна нулю, то эквивалентные функции на этом множестве могут прн- 16 нимать произвольные значения или даже могут быть ие определены. Поэтому говорить о значениях функции г(з, 1) ~ Е~ (11) при фикснрованном 1 или з не имеет смысла, а введенное выше понятие следа функции естественным образом обобщает понятие значения функции для функций из У~Я) Однако в общем случае нельзя ожидать, что функция из Е,(Щ будет иметь след при всех значениях 1~[0, Т] или з е= [О, Пример 2. Пусть г(з, 1)=0 при 0(э~1, Т1(2й)( <1~Т1(2(г — !), А= 1, 2, ..., г(з, 1) = ! при О==а(1; Т)(2И+ !) (1-Т((2И), й= ), 2, ...

Эта функция принадлежит Е,(!)), но при 1=0 не имеет следа. Для того чтобы функция г=г(э, 1) ен Е,Я) имела след при всех 1ен [О, Т], на нее нужно наложить дополнительные ограничения. Например, функция г(з, 1) ~ Е,(Щ, обладающая обобщенной производной г, (з, 1) ен 1., (1г), имеет след при каждом 1~[0, Т], и ее можно изменить на множестве двумерной меры нуль так, что она при всех 1~ [О, Т] будет иметь значения, совпадающие со следом почти всюду на отрезке О==.э(1.

Замечательно то, что в этом случае справедлива формула, обобщающая формулу Ньютона — Лейбница: ~ г~(з, 1) й =г(з, Ь) — г(з, а), я где г(з, Ь), г(з, а), О~э(1, — следы функции г(з, 1) прн 1= Ь и 1= а соответственно; а, Ь вЂ” любые числа из отрезка 0~1(Т, причем в формуле равенство имеет место для почти всех ген[О, 1]. Если дополнительно известно, что г(з, 1), г,(з, 1) ~ Е,(9), ! -= р(оо, то следы такой функции принадлежат Ер[0, 1] и непрерывны по 1 в метрике Е [0,1],т.е. ! пп ~ ~ г (э, 1) — г (з, т) )г г(з = 0 'о при всех т ~ [О, Т).

В частности, если г(з, 1) ен Н'(ф, то такая функция имеет следы г(, 1) ен1.,[0, 1] при всех 1я[0, Т] и г(з, .) енЕ,[0, Т] при всех з я [О, 1], причем указанные следы непрерывно зависят в метрике Е,[0, 1] и Е,[0, Т! соответственно.