Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981), страница 10

В самом деле, возьмем последовательность иь = ьш пМ, 0 < ! ( 1, А = 1, 2, В примере 1.1 было замечено, что (иэ) — э-0 слабо в У.,[0, Ц. Но,', ил(= !/!Г2, 2=1, 2,..., поэтому из (и,) нельзя выбрать последовательно.ть, которая по норме Е,[0, Ц сходилась бы к нулю. Следовательно, Н некомпактно в метрике ь',!О, Ц. П р и м е р 3. Множество Н = ! и — и (!) ~ С [О, Ц;,' и (!) ~ ~=. 1, 0= 1*== Ц вЂ” шар в С[0, Ц вЂ” некомпактно в метрике С[0, Ц.

Это может быть доказано с помощью тех же рассуждений, которые проводились в предыдущем примере, с учетом того, что из сходнмости в метрике С [О, Ц следует сходимость в метрике 7.,[0, Ц. 2. Заметим, что множества, подобные рассмотренным в примерах 1 — 3, часто встречаются в прикладных задачах оптимального управления. Отсутствие свойства компакт- ности этих множеств пе позволяет применять теорему 1 для доказательства существования оптимального управления в таких задачах. Поэтому желательно иметь такие теоремы Вейерштрасса в бапаховых и гильбертовых пространствах, которые не требуют компактности множества в метриках этих пространств.

Для формулировки таких теорем введем несколько понятий, связанных с понятием слабой сходимости в банаховом пространстве. О и р е д е л е н и е 4. Множество 1/ из банахова пространства В называется сл<ьбо компактным, если из любой последовательности (ил) в- =(/ можно выбрать хотя бы одну подпоследовательность (иь„), которая слабо в В сходится к некоторой точке о ен (/. Определение 5. Функцию,/(и), определенную на некотором множестве (/ из баиахова пространства В, называют слабо полунепрерывной снизу (сверху) в точке и =- (/, если для любой последовательности (ььь) ен (/, которая слабо в В сходится к точке и, имеет место неравенство 1!пь /(и,)==/(и) (!пп У(иь) =/(и)).

Функция / (и) называется слабо полунепрерывной снизу (сверху) на множестве (/, если опа слабо полунепрерывна снизу (сверху) в каждой точке и ~ (/. Функция У(и) называется слабо непрерывной в точке и ен (/ (на множестве (/), если она слабо полунспрерывна снизу и сверху в точке и (на множестве (/). Примеры слабо компактных множеств и слабо полунепрерывных функций будут приведены ниже.

О и р е д е л е н и е 6. Пусть  — банахово пространствс. Скажем, что последовательность <ил) ~ В сходится к множеству (/ слабо в В, если (иль< имеет хотя бы одну слабо сходящуюся подпоследовательность, причем все точки о, являющиеся слабым пределом какой-либо подпоследовательности последовательности (ил), принадлежат (/. Теорема 2. //усть (/ — слабо колтактное множество из банахова пространства В, функция /(и) определена, конечна и слабо полУнепРеРывна сниэУ на (.ь.

Тогда /э = = ьп(/(и) — оо, множество (/ =(и св (/: /(и) =,/э) и непусто, слабо компактно и любая минимпз ьрующая последовательность (и„) слабо сходится к (/ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную минимизирующую последовательность (и„): ил ~ У, юг=1, 2, ... ...,1пп У(и,) = У„. Так как (l — слабо компактное мног оо жество, то (иг) имеет хотя бы одну подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой точке из 1/.

Пусть и, ~ (7 †од из таких точек и пусть подпоследовательность (иг )слабо сходится к ил. Пользуясь определением нижней грани и слабая полун;прерывностью функци;, имеем ,7„( г' (и,) 1пп,( (иг ))= Игп /(и„) =,),„, т. е. ((и,) = 7,„. Отсюда следует, что 7,„) — со, С~ Кроме того, показано, что любая точка и„являющаяся слабым пределом какой-либо подпоследовательности последовательности (иг), принадлежит 1/ч.

Это значит, что (иг) слабо сходится к Сl„,. Остается доказать, что У слабо компак1но. Возьмем произвольную последовательность (о,) ~ У,. Так как (о„) ен У вЂ” компактное множество, то существует подпоследовательность (о„), слабо сходящаяся к некоторой точке о, ен У. Но У(о,) = 7„, й=1, 2, ..., поэтому (о~) — минимизирующая последовательность. По доказанному (о„) слабо сходится к У„, поэтому о ~ (l„. Это значит, что множество У слабо компактно.

Теорема 2 доказана. 3. Для удобства пользования теоремой 2 желательно иметь набор сравнительно легко проверяемых достаточных условий слабой компактности множеств и слабой полуиепрерывности снизу функций в банаховых пространствах. Приведем несколько таких условий. Определение 7. Множество (1 из банахова пространства называется слабо замкнутым, если оно содержит любую точку, явля1ощуюся слабым пределом какой-либо последовательности (и,) ен У.

Т е о р е м а 3, Всяког ограничгнног слабо замкнутое лгножгспко из рефлексивного банахова просгпранства слабо компактно. Доказательство этой теоремы можно найти, например, в 12001, стр. 34. Поскольку проверка слабой замкнутости множества не всегда проста, то на практике вместо теоремы 3 может оказаться более удобной следующая 60 Теорем а 4. Всякое ограниченное замкнутое выпуклое множество У иэ рефлексивного банахова пространства В слабо компактно, (Подчеркнем, что в этой теореме замкнутость множества понимается в сильном смысле, т.

е. в смысле метрики В, — это обстоятельство часто облегчает проверку условий теоремы 4 в приложениях.) Доказательство. Возьмем произвольную последовательность (ие) ен У, слабо сходящуюся к некоторой точке и. Покажем, что иенУ. Через М обозначим множество всевозможных конечных выпуклых комбинаций точек и„и„..., им ... Согласно теоремам 4.1.7 и 4.1.2 из [4), которые сохраняют силу и в банаховых пространствах, множество М и его сильное (в метрике В) замы. канне Л также выпуклы. Так как (/ выпукло и замкнуто, то М а Л: — У. Покажем, что и ен Л.

Допустим, что и ф М. Согласно теореме 2.12 тогда множество Л и ~очка и сильно отделимы. Это значит, что найдется элемент сенВ', сэьО, такой, что (с, и)<у= |п( (с, о)((с, о) е~М для всех о ~ Л. В частности, поскольку ие ен Л, то (с, и) ( у ( (с, и„) при всех й = 1, 2, ..., что противоречит слабой сходимости последовательности (и,) к точке и.

Следовательно, и ~ Л с= У. Тем самым установлена слабая замкнутость множества У. Кроме того, У ограничено по условию. Согласно теореме 3 тогда (/ слабо компактно. Приведем примеры слабо компактных множеств в пространстве /.,'(6). При мер 4. Пусть У=(и=и(/) =(и'(/), ..., и'(/)) ен ~/.э(6): ((и — и(ы=(~(и(/) — й(/)('й/)"(/г) — шар радиуса )х' с центром в заданной точке и=и(/). Возьмем произвольную последовательность (и„) ен У, сходящуюся к точке о=о(/) по норме /.,'(6). Тогда )о — й)(.'о — ил(+ +(и,— й(((о — ил((+/х, /г=1, 2, ... Отсюда при й со получим, что ,'(о — й((/с, т. е.

о~У. Замкнутость множества У в метрике /.;(6) установлена. Нетрудно видеть, что У выпукло и ограничено. Согласно теореме 4 множество У слабо компактно. Аналогично доказывается, что в любом гильбертовом пространстве шар слабо компактен. Пример 1 показывает, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве шар не может быть сильно компактным. П р и м е р 5. Пусть (/ = (и = и (() = (и' (/), ..., и' (/)) ~ яЦ(6): ои(() ==.и'(/) Я(/) почти всюду на б, /=1, г), где сс;(() (р;(/), /=1, г, — задаяные функции из Е.,(6). Покажем, что (/ замкнуто в метрике /,'(6).

Пусть последовательность (и„(/)) е-=(/ сходится к и=и(/) по норме Ь,"(6). Тогда найдется !11, стр. 388) подпоследовательность (и„(()), сходящаяся к и (/) почти всюду на б. Но а;(/) ~ ил~ (/) ( р; (/) почти всюду на б, ! = 1, г, т = 1, 2, ... Отсюда при т- со получим сс;(()(и'(/)(р;(/) почти всюду на 6 для всех /=1, г. Следовательно, и(() ен(/, т.

е. И замкнуто в метрике /в(6). Нетрудно видеть, что (/ выпукло и замкнуто. Согласно теореме 4 (/ слабо компактно. Из примера 2 видно, что множество (/ при а, (/) ~ 'р;(/) не является компактным в метрике /',(6). Приведем один критерий слабой полунепрерывности снизу функции.

Теорема 5. Пусть (/ — вьтуклое множество из банахова пространства В. Выпуклая функция У(и) слабо полу- непрерывна снизу на (/ тогда и только пюгда, когда /(и) полунепрерывна снизу на (/. Доказательство. Необходимость. Пусть /(и) слабо полунепрерывна снизу на (/.

Возьмем произвольные точку ия(/ и последовательность и,еи(/, сходящуюся к точке и в метрике В. Тогда (и,) сходится к и слабо в В, и !!гп./(и,).=--/(и). Полунепрерывность снизу на (/ функции /(и) в метрике В доказана. Заметим, что выпуклость /(и) здесь не использовалась. Даст аточ ность. Пусть /(и) полуиепрерывна снизу на (/. Возьмем произвольную последовательность (иь) ~(/, слабо в В сходящуюся к точке и ~ (/. Выбирая при необходимости подпоследовательность, можем считать, что !пп /(сси) = Игп /(ил). Как и при доказательстве теоремы 4, ь ~о ь со нетрудно установить, что точка и принадлежит замыканию выпуклой оболочки точек (иь, и„„, ... ), где й — любое фиксированное натуральное число.

Это значит, что для каждого номера /г=1, 2, ... найдутся целое число т~/г и вещественные числа а„;~0, /=/г, /г-!-1, ..., т, Ш ы ал„в = 1 такие, что последовательность о„= ~~ ал;и; г=в ~л будет сходиться к точке и в метрике В, т. е. „ол — и(-«О 52 при (г- со. Тогда в силу полунепрерывности снизу 1(ил в точке и имеем 1!в 1(ой) ) 1(и). Из выпуклости 1(и) й ю следует г ьл - г !г Х "-,.) = Х;.,г ~.г г=й г>й или 1(о„) «зцр 1(и,) при всех й=-1, 2, ... Однако г-. й !пп зцр 1(иг) = 1пп 1(ий) й гог)й й со поэтому, переходя к пределу в предыдущем неравенстве, получим 1 (и) =- 1! в 1 (ой) «1пп зцр 1 (и) = ! (в 1 (и„) = ! пп 1(и„). й ы й ,-к,г)й й й Слабая полунепрерывиость снизу на У функции 1(и) доказана.